数学必修1——根式教案
高中数学必修一人教A版 根式说课
提出概念
我们知道，如果 x ＝a，那么这个 通过类比，自 3 数x叫做a的平方根；如果 x a , 然地提出n次方 那么这个数x叫做a的立方根． 根的概念。 类似地，我们有如下结论：一般地，（由教师总结） 若 xn a(n 1, n N ) 则x叫做a的n次方根.
七、设计理念
n
，那么x怎么表示？ 2 3 5 5 ， 3
3
3 ，
( 5) 2 5
，
3
( 3)3 3 ，
n 那么 an ? （三）教师总结结论，并且给出根式、根指数、被 开方数等概念。
讲解例题
3
( 8)3 ;
(10) 2 ;
4
(3 ) ;
4
( a b ) 2 ( a b)
根式
一、教材分析
二、目标分析
三、重难点分析
四、学情分析
五、教法与学法
六、教学过程设计
七、设计理念 八、教学过程 九、板书设计
教材分析：
１．教材背景
根式这一节是人教版高中必修一第二章基本初等函数（1）的2.1节 指数函数2.1.1小节指数与指数幂的运算中的第一课时。2.1.1小节 是学习指数函数这一类重要函数的基础，也是初中知识中关于指数 幂和根式的重要扩充。教科书通过实际问题引入分数指数幂,说明 了扩张指数范围的必要性，为此先将平方根与立方根的概念扩充到 n次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念，然后进一步 介绍了分数指数幂及其运算性质，最后结合一个实例，通过有理指 数幂逼近无理系数幂的方法介绍了无理指数幂的意义，从而将指数 的取值范围扩充到了实数。
重点：n次方根的概念以及符号表示，
n次方根的性质 难点： 1、n次方根的符号表示 2、n次方根的性质
高一数学 根式教案必修一
n次方根的性质的理解
1.问题：次方根有哪些性质
2.形式结论：指出 的意义。
让学生答复 的意义，并计算 .
学生计算并考虑讨论。
分析整理并形成结论
n次方根理解的深化
1.比较 与 的区别与联络。
2.较复杂根式的计算。
教师提问题并通过实例引导学生总结归纳。
学生分组讨论形成结论。
n次根式的性质应用
城东蜊市阳光实验学校高一数学必修1根式
教学目的
知识与技能
理解n次方根概念及n次方根的性质。
过程与方法
会求或者者化简根指数为正整数的根式。
情感，态度与价值观
通过详细的情景，引发学生考虑，激发求知欲，让学生感受探究未知世界的乐趣，从而培养学生对数学的热爱情感。
重点难点
重点：利用n次根式的性质化简n次根式。
(1).定义〔2〕性质〔3〕应用举例
练习
3.小结
4.布置作业
教学反思
难点：n次根式的性质及应用.教法学法：来自论研究教学用具：多媒体
教学过程
教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
课题引入
多媒体展示问题情境；
提出问题
学生尝试答复以下问题
n次方根的定义和引用
1.计算 =-----； =-----； =----。 =----； =------； =-----。
计算算式。根据计算结果将平方根，立方根概念拓展。
计算各式公式
巡视学生做题，指出本卷须知。
学生动手做题，并总结求解步骤。
归纳小结
1.知识方面：n次方根的概念及n次方根的性质。
2.方法：化简求值借助分类讨论思想。
让学生总结本节内容，对知识方法进展完善。
高一数学教案根式5篇
高一数学教案根式5篇高一数学教案根式1数学教案-二次根式的除法教学建议知识结构：重点难点分析：是商的二次根式的性质及利用性质进行二次根式的化简与运算,利用分母有理化化简.商的算术平方根的性质是本节的主线，学生掌握性质在二次根使得化简和运算的运用是关键，从化简与运算由引出初中重要的内容之一分母有理化，分母有理化的理解决定了最简二次根式化简的掌握.教学难点是二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.二次根式的除法与乘法既有联系又有区别，强调根式除法结果的一般形式，避免分母上含有根号.由于分母有理化难度和复杂性大，要让学生首先理解分母有理化的意义及计算结果形式.教法建议：1. 本节内容是在有积的二次根式性质的基础后学习，因此可以采取学生自主探索学习的模式，通过前一节的复习，让学生通过具体实例再结合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质.教师在此过程中给与适当的指导，提出问题让学生有一定的探索方向.2. 本节内容可以分为三课时，第一课时讨论商的算术平方根的性质，并运用这一性质化简较简单的二次根式(被开方数的分母可以开得尽方的二次根式);第二课时讨论二次根式的除法法则，并运用这一法则进行简单的二次根式的除法运算以及二次根式的乘除混合运算，这一课时运算结果不包括根号出现内出现分式或分数的情况;第三课时讨论分母有理化的概念及方法，并进行二次根式的乘除法运算，把运算结果分母有理化.这样安排使内容由浅入深，各部分相互联系，因此及彼，层层展开.3. 引导学生思考“想一想”中的内容，培养学生思维的深刻性，教师组织学生思考、讨论过程中，鼓励学生大胆猜想，积极探索，运用类比、归纳和从特殊到一般的思考方法激发学生创造性的思维.教学设计示例一、教学目标1.掌握商的算术平方根的性质，能利用性质进行二次根式的化简与运算;2.会进行简单的二次根式的除法运算;3.使学生掌握分母有理化概念，并能利用分母有理化解决二次根式的化简及近似计算问题;4. 培养学生利用二次根式的除法公式进行化简与计算的能力;5. 通过二次根式公式的引入过程，渗透从特殊到一般的归纳方法，提高学生的归纳总结能力;6. 通过分母有理化的教学，渗透数学的简洁性.二、教学重点和难点1.重点：会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的除法运算，还要使学生掌握二次根式的除法采用分母有理化的方法进行.2.难点：二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.三、教学方法从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，在学习了二次根式乘法的基础上本小节内容可引导学生自学，进行总结对比.四、教学手段利用投影仪.五、教学过程(一) 引入新课学生回忆及得算数平方根和性质：(a≥0，b≥0)是用什么样的方法引出的(上述积的算术平方根的性质是由具体例子引出的.)学生观察下面的例子，并计算：由学生总结上面两个式的关系得：类似地，每个同学再举一个例子，然后由这些特殊的例子，得出：(二)新课商的算术平方根.一般地，有(a≥0，b 0)商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.让学生讨论这个式子成立的条件是什么a≥0，b 0，对于为什么b 0，要使学生通过讨论明确，因为b=0时分母为0，没有意义.引导学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a除以正数b求商，再开方求商的算术平方根，等号右边是先分别求被除数、除数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的商，根据商的算术平方根的性质可以进行简单的二次根式的化简与运算.例1 化简：(1) ; (2) ; (3) ;解∶(1)(2)(3)说明：如果被开方数是带分数，在运算时，一般先化成假分数;本节根号下的字母均为正数.例2 化简：(1) ; (2) ;解：(1)(2)让学生观察例题中分母的特点，然后提出，的问题怎样解决再总结：这一小节开始讲的二次根式的化简，只限于所得结果的式子中分母可以完全开的尽方的情况，的问题，我们将在今后的学习中解决.学生讨论本节课所学内容，并进行小结.(三)小结1.商的算术平方根的性质.(注意公式成立的条件)2.会利用商的算术平方根的性质进行简单的二次根式的化简.(四)练习1.化简：(1) ; (2) ; (3) .2.化简：(1) ; (2) ; (3)六、作业教材P.183习题11.3;A组1.七、板书设计高一数学教案根式2数学教案-二次根式的化简教学建议知识结构重难点分析本节的重点是的化简.本章自始至终围绕着二次根式的化简与计算进行，而的化简不但涉及到前面学习过的算术平方根、二次根式等概念与二次根式的运算性质，还要牵涉到绝对值以及各种非负数、因式分解等知识，在应用中常常需要对字母进行分类讨论.本节的难点是正确理解与应用公式.这个公式的表达形式对学生来说，比较生疏，而实际运用时，则要牵涉到对字母取值范围的讨论，学生往往容易出现错误.教法建议1.性质的引入方法很多，以下2种比较常用：(1)设计问题引导启发：由设计的问题1) 、、各等于什么2) 、、各等于什么启发、引导学生猜想出(2)从算术平方根的意义引入.2.性质的巩固有两个方面需要注意：(1)注意与性质进行对比，可出几道类型不同的题进行比较;(2)学生初次接触这种形式的表示方式，在教学时要注意细分层次加以巩固，如单个数字，单个字母，单项式，可进行因式分解的多项式，等等.(第1课时)一、教学目标1.掌握二次根式的性质2.能够利用二次根式的性质化简二次根式3.通过本节的学习渗透分类讨论的数学思想和方法二、教学设计对比、归纳、总结三、重点和难点1.重点：理解并掌握二次根式的性质2.难点：理解式子中的可以取任意实数，并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式.四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片、多媒体六、师生互动活动设计复习对比，归纳整理，应用提高，以学生活动为主七、教学过程一、导入新课我们知道，式子 ( )表示非负数的算术平方根.问：式子的意义是什么被开方数中的表示的是什么数答：式子表示非负数的算术平方根，即，且，从而可以取任意实数.二、新课计算下列各题，并回答以下问题：(1) ; (2) ; (3) ;(4) ; (5) ; (6)(7) ; (8)1.各小题中被开方数的幂的底数都是什么数2.各小题的结果和相应的被开方数的幂的底数有什么关系3.用字母表示被开方数的幂的底数，将有怎样的结论并用语言叙述你的结论.答：(1) ; (2) ; (3) ;(4) ; (5) ; (6)(7) ; (8) .1.(1)，(2)，(3)各题中的被开方数的幂的底数都是正数;(4)，(5)，(6)，(7)各题中的被开方数的幂的底数都是负数;(8)题被开方数的幂的底数是0.2.(1)，(2)，(3)，(8)各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数都分别相等;(4)，(5)，(6)，(7)各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数分别互为相反数.3.用字母表示(1)，(2)，(3)，(8)各题中被开方数的幂的底数，有( )，用字母表示(4)，(5)，(6)，(7)各题中被开方数的幂的底数，有( ).一个非负数的平方的算术平方根，等于这个非负数本身;一个负数的平方的算术平方根，等于这个负数的相反数.问：请把上述讨论结论，用一个式子表示.(注意表示条件和结论)答：请同学回忆实数的绝对值的代数意义，它和上述二次根式的性质有什么联系答：填空：1.当 _________时， ;2.当时，，当时， ;3.若，则 ________;4.当时， .答：1.当时， ;2.当时，，当时， ;3.若，则 ;4.当时， .例1 化简 ( ).分析：可以利用积的算术平方根的性质及二次根式的性质化简.解，因为，所以，所以.指出：在化简和运算过程中，把先写成，再根据已知条件中的取值范围，确定其结果.例2 化简 ( ).分析：根据二次根式的性质，当时， .解 .例3 化简：(1) ( ); (2) ( ).分析：根据二次根式的性质，当时， .解 (1) .(2) .注意：(1)题中的被开方数，因为，所以 .(2)题中的被开方数，因为，所以 .这里的取值范围，在已知条件中没有直接给出，但可以由已知条件分析而得出.例4 化简 .分析：根据二次根式的性质，有.所以要比较与3及1与的大小以确定及的符号，然后再进行化简.解因为，，所以， .所以.三、课堂练习1.求下列各式的值：(1) ; (2) .2.化简：(1) ; (2) ;(3) ( ); (4) ( ).3.化简：(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) ( ).答案：1.(1)0.1; (2) .2.(1) ; (2) ; (3) ; (4) .3.(1)4; (2)1.5; (3)0.09; (4)-1; (5)4; (6)-1.四、小结1.二次根式的意义是，所以，因此，其中可以取任意实数.2.化简形如的二次根式，首先可把写成的形式，再根据已知条件中字母的取值范围，确定其结果.3.在化简中，注意运用题设中的隐含条件，如二次根式有意义的条件是被开方，这是隐含条件.五、作业1.化简：(1) ; (2) ;(3) ( ); (4) ( );(5) ; (6) ( ， );(7) ( ).2.化简：(1) ;(2) ( );(3) ( ， ).答案：1.(1)-30; (2) ; (3) ;(4) ; (5) ; (6) ; (7) .2.(1)2; (2)0; (3) .高一数学教案根式3二次根式一、教学目标1.了解二次根式的意义;2. 掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题;3. 掌握二次根式的性质和，并能灵活应用;4.通过二次根式的计算培养学生的逻辑思维能力;5. 通过二次根式性质和的介绍渗透对称性、规律性的数学美.二、教学重点和难点重点：(1)二次根的意义;(2)二次根式中字母的取值范围.难点：确定二次根式中字母的取值范围.三、教学方法启发式、讲练结合.四、教学过程(一)复习提问1.什么叫平方根、算术平方根2.说出下列各式的意义，并计算：，，，，，，，通过练习使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念.观察上面几个式子的特点，引导学生总结它们的被平方数都大于或等于零，其中，，，，表示的是算术平方根.(二)引入新课我们已遇到的，，，这样的式子是我们这节课研究的内容，引出：新课：二次根式定义：式子叫做二次根式.对于请同学们讨论论应注意的问题，引导学生总结：(1)式子只有在条件a≥0时才叫二次根式，是二次根式吗呢若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分.(2) 是二次根式，而，提问学生：2是二次根式吗显然不是，因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”.请学生举出几个二次根式的例子，并说明为什么是二次根式.下面例题根据二次根式定义，由学生分析、回答.例1 当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式分析：，，，、、、四个是二次根式. 因为a是实数时，a+10、a2-1不能保证是非负数，即a+10、a2-1可以是负数(如当a -10时，a+10 又如当0 a 1时，a2-1 0)，因此， p= 不是二次根式.例2 x是怎样的实数时，式子在实数范围有意义解：略.说明：这个问题实质上是在x是什么数时，x-3是非负数，式子有意义. 例3 当字母取何值时，下列各式为二次根式：(1) (2) (3) (4)分析：由二次根式的定义，被开方数必须是非负数，把问题转化为解不等式.解：(1)∵a、b为任意实数时，都有a2+b2≥0，∴当a、b为任意实数时，是二次根式.(2)-3x≥0，x≤0，即x≤0时，是二次根式.(3) ，且x≠0，∴x 0，当x 0时，是二次根式.(4) ，即，故x-2≥0且x-2≠0, ∴x 2.当x 2时，是二次根式.例4 下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：(1) ; (2) ; (3) ; (4)分析：这个例题根据二次根式定义，让学生分析式子中字母应满足的.条件，进一步巩固二次根式的定义，.即：只有在条件a≥0时才叫二次根式，本题已知各式都为二次根式，故要求各式中的被开方数都大于等于零.解：(1)由2a+3≥0，得 .(2)由，得3a-1 0，解得 .(3)由于x取任何实数时都有|x|≥0，因此，|x|+0.1 0，于是，式子是二次根式. 所以所求字母x的取值范围是全体实数.(4)由-b2≥0得b2≤0，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：b=0.(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)1.式子叫做二次根式，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式.2.式子中，被开方数(式)必须大于等于零.(四)练习和作业练习：1.判断下列各式是否是二次根式分析：(2) 中，，是二次根式;(5)是二次根式. 因为x是实数时，x、x+1不能保证是非负数，即x、x+1可以是负数(如x 0时，又如当x -1时=，因此(1)(3)(4)不是二次根式，(6)无意义.2.a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义五、作业教材P.172习题11.1;A组1;B组1.高一数学教案根式4最简二次根式教学建议1.教材分析本节是在前两节的基础上，从实际运算的客观需要出发，引出最简二次根式的概念，然后通过一组例题介绍了化简二次根式的方法.本小节内容比较少(求学生了解最简二次根式的概念并掌握化简二次根式的方法)，但是本节知识在全章中却起着承上启下的重要枢纽作用，二次根式性质的应用、二次根式的化简以及二次根式的运算都需要最简二次根式来联接.(1)知识结构(2)重难点分析①本节的重点Ⅰ.最简二次根式概念Ⅱ.利用二次根式的性质把二次根式化简为最简二次根式.重点分析本章的主要内容是二次根式的性质和运算，但自始至终围绕着二次根式的化简和运算.二次根式化简的最终目标就是最简二次根式;而二次根式的运算则是合并同类二次根式，怎样判定同类二次根式，是在化简为最简二次根式的基础上进行的.因此本节以二次根式的概念和二次根式的性质为基础，内容虽然简单，在本章中却起着穿针引线的作用，教师在教学中应给于极度重视，不可因为内容简单而采取弱化处理;同时初二学生代数成绩的分化一般是由本节开始的，分化的根本原因就是对最简二次根式概念理解不够深刻，遇到相关问题不知怎样操作，具体操作到哪一步.②本节的难点是化简二次根式的方法与技巧.难点分析化简二次根式，实际上是二次根式性质的综合运用.化简二次根式的过程，一般按以下步骤：把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数;被开方数是多项式的要因式分解;使被开放数不含分母;将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面;化去分母中的根号;约分.所以对初学者来说，这一过程容易出现符号和计算出错的问题.熟练掌握化简二次根式的方法与技巧，能够进一步开拓学生的解题思路，提高学生的解题能力.③重难点的解决办法是对于最简二次根式这一概念，并不要求学生能否背出定义，关键是遇到实际式子能够加以判断.因此建议在教学过程中对概念本身采取弱化处理，让学生在反复练习中熟悉这个概念;同时教学中应充分对最简二次根式概念理解后应用具体的实例归纳总结出把一个二次根式化为最简二次根式的方法，在观察对比中引导学生总结具体解决问题的方法技巧.另外，化简运算在本节既是重点也是难点，学生在简洁性和准确性上都容易出现问题，因此建议在教学过程中多要求学生观察二次根式的.特点――根据其特点分析运用哪条性质、哪种方法来解答，培养学生的分析能力和观察能力――多要求学生注意每步运算的根据，培养学生的严谨习惯.2.教法建议素质教育和新的教改精神的根本是增强学生学习的自主性和学生的参与意识，使每一个学生想学、爱学、会学。
根式教案
第一课时根式教学目标：1、知识与技能理解n次方根概念及n次方根的性质.2、过程与方法会求或化简根指数为正数时的根式.3、情感态度与价值观通过具体的情景，引发学生思考，激发求知欲，让学生感受探究未知世界的乐趣，从而培养学生对数学的热爱情感.重点难点：重点：利用n次根式的性质化简n次根式.难点：n次根式的性质及应用.教学过程：一、课题引入多媒体展示课本问题1、问题2，展示问题情境，学生尝试求解，回答问题.二、n次根式概念的引出提出3个思考：思考1: 4的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？思考2：-27的立方根是什么？任何一个数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？思考3：一般地，常实数a的平方根、立方根是什么概念？学生回答思考1、思考2的问题，并在教师的指导下回答思考3.在以上3个思考基础上延伸提出:如果4x a=，5x a=，6x a=，参照上面的说法，这里的x分别叫什么名称？三、新课讲解类比以上x的称呼，归纳出n次方根的概念.1、n次根式：一般地，若n x a=，那么x叫做a的n次方根，其中n>1,且*n∈ .根式：我们把式子( n>1,且n∈ )叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有几个？当n为奇数时呢？n为奇数，a的n次方根有一个，为a为正数n为偶数，a的nn为奇数，a的n次方根有一个，为a为负数n为偶数，a的n次方根不存在.零的n次方根为零，记为=举例：16的4次方根为±2，-27的5次方根为，而-27的4次方根不存在。
小结：一个数到底有没有n次方根，我们一定要先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况。
2、根式的性质○1、3、5、4分别等于什么？一般地，n等于什么？归纳可得n a=○2于什么？当n为奇数时，a=当n为偶数时，a=小结：当n对值算具体的值，这样就避免出现错误。
最新整理高一数学教案根式.docx
最新整理高一数学教案根式
2.1.1第一课时根式学案
课前预习学案
一．预习目标
1.通过填写下面知识空白更好理解根式的概念
2.准确把握根式的性质
二．预习内容
1．ｎ次方根的定义：如果＝ａ，那么ｘ叫做．（其中ｎ＞１且）
2．根式：形如式子叫根式．这里ｎ叫做，叫做被开
数
3．根式的性质：（１）＝；（２）＝；（３）当ｎ是奇数时＝；当是偶数时＝．三．提出疑惑
通过以上自我预习你还有什么疑惑请写在下面的横线上
课内探究学案
（2）学习目标：1.理解n次根式.根式，根指数，被开方数等概念。
2.理解并记住方根的性质，并能熟练应用于相关计算中
学习重点：
（1）根式概念的理解。
（2）根式的化简
学习难点：
（1）根式的化简
二．课内探究
例１：化简下列根式：
（１）；（２）
（３）
例２：计算：
（１），
（２）
（３）
例３：求使等式＝成立的实数的取值范围．
三．当堂检测
１．以下说法正确的是（）
Ａ．正数的ｎ次方根是正数Ｂ．负数的ｎ次方根是负数
Ｃ．０的ｎ次方根是０Ｄ．ａ的ｎ次方根是
２．有意义，则的取值范围是（）
Ａ．Ｂ．且
Ｃ．Ｄ．
３．若
４．若＝－，则．
５．若，则ｎ的取值范围是．
课后练习与提高
1、当１＜ｘ＜３时，化简的结果是（）
Ａ．４－２ＸＢ．２Ｃ．２Ｘ－４Ｄ．４
2、已知，下列不等式（1）；(2)；(3)；(4)；(5)中恒成立的有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
3、若有意义，则ｘ的取值范围是（）。
根式讲学教案
根式讲学教案教案标题：根式讲学教案教学目标：1. 理解根式的概念和性质。
2. 掌握根式的基本运算法则。
3. 能够灵活运用根式解决实际问题。
教学重点：1. 根式的概念和性质。
2. 根式的基本运算法则。
教学难点：1. 根式的基本运算法则的灵活运用。
教学准备：1. 教师准备：课件、教学素材、教学工具。
2. 学生准备：课本、笔记工具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入根式的概念：回顾之前学过的平方根，引导学生思考平方根的性质和运算法则。
2. 提出问题：如果一个数的平方等于16，那么这个数是多少？二、概念讲解（15分钟）1. 定义根式：引导学生理解根式的概念，解释根式的符号和含义。
2. 根式的性质：介绍根式的性质，包括非负性、分解性和合并性。
3. 根式的简化：讲解如何简化根式，引导学生通过例题进行练习。
三、基本运算法则（20分钟）1. 根式的加减法：介绍根式的加减法运算法则，讲解如何合并同类项，通过例题进行演示和练习。
2. 根式的乘法：介绍根式的乘法运算法则，讲解如何合并同类项，通过例题进行演示和练习。
3. 根式的除法：介绍根式的除法运算法则，讲解如何化简分子和分母，通过例题进行演示和练习。
四、综合运用（15分钟）1. 实际问题解决：给出一些实际问题，引导学生运用所学的根式知识解决问题，例如计算边长、面积等。
2. 讨论和总结：学生分享解题思路和方法，教师引导学生总结根式的运算法则和解题技巧。
五、拓展练习（10分钟）1. 提供一些拓展题目，让学生巩固所学的根式知识。
2. 学生独立或小组完成练习题，教师巡回指导和解答疑惑。
六、课堂总结（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调根式的概念和基本运算法则。
2. 学生回答问题，巩固所学知识。
教学反思：本节课通过引导学生思考和解决实际问题的方式，提高了学生对根式概念和运算法则的理解和掌握程度。
在教学过程中，通过合理的教学安排和示范演示，激发了学生的学习兴趣和积极性。
根式教学设计
根式教学设计根式是高中数学中的重要内容之一，学习根式的目的是为了培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力，以及解决实际问题的能力。
下面我将以《根式简介》为主题，设计一节根式的教学课程。
一、课程目标：1. 了解和掌握根式的定义、性质和运算法则；2. 培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力；3. 能够运用根式解决实际问题。
二、教学过程：1. 导入（10分钟）：向学生展示一些实际问题，引导学生思考如何解决这些问题，引出对根式的需求和重要性。
2. 知识讲解（20分钟）：（1）介绍根式的定义：根式是由根号（√）和被开方数（被开方式）构成的数，即√被开方式，其中被开方数可能是一个整数、分数或者一个代数式；（2）介绍根式的性质：根式有唯一的实数解，根式可以转换为分数形式，根式的运算结果满足运算法则等；（3）介绍根式的运算法则：包括根式的加减乘除运算，以及简化根式的方法。
3. 案例分析（25分钟）：以一些实际问题为例，引导学生分析和解决问题。
如：甲乙两人的年龄之比为3:5，已知甲的年龄为9岁，求乙的年龄。
通过设乙的年龄为x，列方程3/5 = 9/√x，引导学生解这个方程。
4. 练习（25分钟）：布置一些练习题，要求学生独立完成。
根据练习题的难易程度，设计不同层次的练习题，包括计算和应用题。
例如：计算√5 + √6 与√(5+6) 的值，求解方程2/√x + 3/√(x+1) = 1。
5. 总结（10分钟）：对本节课的内容进行回顾总结，强调根式的重要性以及今天所学习的知识点。
三、教学手段：1. 板书和展示：在课堂上使用板书和教学展示讲解根式的定义、性质和运算法则，以及解题方法和步骤等。
2. 互动讨论：在课堂上通过提问、讨论和解答问题等方式，激发学生的学习兴趣和思考能力，加强师生互动。
3. 解题实例：通过讲解案例和布置练习题等方式，让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
四、教学资源：1. 教材和习题册：教师准备适合高中学生的数学教材和习题册，以便教学内容的引导和练习。
新教材人教A版高中数学必修第一册 4.1.1根式 精品学案
第1课时根式1．理解n次方根、n次根式的概念．2．正确运用根式运算性质化简、求值．3．体会分类讨论思想、符号化思想的作用．1．根式的概念一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号na表示．(2)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，记为±na，负数没有偶次方根．(3)0的任何次方根都是0，记作n0＝0.式子na叫做根式，其中n(n>1，且n∈N*)叫做根指数，a叫做被开方数．2．根式的性质根据n次方根的意义，可以得到：(1)(na)n＝a.(2)当n是奇数时，na n＝a；当n是偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.温馨提示：(na)n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而(na n)中a∈R.1．若x4＝3，这样的x有几个，如何表示？[答案] 有2个，表示为±432．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意实数的奇次方根只有一个．( )(2)正数的偶次方根有两个且互为相反数．( )(3)当n∈N*时，(n－16)n都有意义．( )(4)(3－π)2＝π－3.( )[答案] (1)√(2)√(3)×(4)√题型一根式的意义【典例1】下列说法正确的个数是( )①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，na对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，na只有当a≥0时才有意义．A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知m10＝2，则m等于( )A.102 B．－102C.210D．±102[思路导引] 利用n次方根的概念求解．[解析] (1)①16的4次方根应是±2；②416＝2，所以正确的应为③④.(2)∵m10＝2，∴m是2的10次方根．∴m＝±102.[答案] (1)B (2)Dn(n>1)次方根的个数及符号的确定(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个．(2)根式na的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定：①当n为偶数时，na为非负实数；②当n为奇数时，na的符号与a的符号一致．[针对训练]1．16的平方根为________，－27的5次方根为________．[解析] ∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为5－27.[答案] ±45－272．若x－2有意义，则实数x的取值范围是________．[解析] 要使4x－2有意义，则需x－2≥0，即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．[答案] [2，＋∞)题型二简单根式的化简与求值【典例2】化简下列各式：(1) 5(－2)5；(2)4(－10)4；(3)4(－9)2；(4) 4(a－b)4.[思路导引] 利用na n的性质进行化简．[解] (1) 5(－2)5＝－2.(2) 4(－10)4＝|－10|＝10.(3) 4(－9)2＝434＝3.(4) 4(a－b)4＝|a－b|＝⎩⎪⎨⎪⎧a－b(a≥b)，b－a(a<b).根式的化简求值注意以下2点(1)首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．[针对训练]3．计算下列各式的值：(1) 3(－4)3；(2) 6(3－π)6；(3) 3(1＋2)3＋4(1－2)4；(4) 4(2x＋y)4.[解] (1) 3(－4)3＝－4.(2) (3－π)6＝|3－π|＝π－3.(3) 3(1＋2)3＋4(1－2)4＝(1＋2)＋(2－1)＝2 2.(4) 4(2x＋y)4＝|2x＋y|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y，y≥－2x，－2x－y，y<－2x.题型三有限制条件的根式化简【典例3】设x∈[1,2]，化简(4x－1)4＋6(x2－4x＋4)3.[思路导引] 借助根式的性质去掉根号并化简．[解] (4x－1)4＋6(x2－4x＋4)3＝(4x－1)4＋6(x－2)6∵1≤x≤2，∴x－1≥0，x－2≤0.∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝(x－1)＋(2－x)＝1.[变式] 若本例中的“x∈[1,2]”改为“x∈[2,3]”，其他条件不变，化简求值．[解] (4(x－1))4＋6(x2－4x＋4)3＝(4x－1)4＋6(x－2)6∵2≤x≤3，∴x－1>0，x－2≥0，∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3.有限制条件根式的化简策略(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．[针对训练]4．若n<m<0，则m2＋2mn＋n2－m2－2mn＋n2等于( )A．2m B．2nC．－2m D．－2n[解析] 原式＝(m＋n)2－(m－n)2＝|m＋n|－|m－n|，∵n<m<0，∴m＋n<0，m－n>0，∴原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m.[答案] C5．设－2<x<2，求x2－2x＋1－x2＋4x＋4的值．[解] 原式＝(x－1)2－(x＋2)2＝|x－1|－|x＋2|，∵－2<x <2， ∴当－2<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋2)＝－2x －1， 当1≤x <2时，原式＝x －1－(x ＋2)＝－3，∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，－2<x <1，－3，1≤x <2.课堂归纳小结1．一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数或偶数这两种情况．n 为奇数时，n 次方根只有一个；n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，负数没有偶次方根.2.掌握两个公式：(1)(na )n＝a ；(2)n 为奇数，na n＝a ，n 为偶数，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.1．以下说法正确的是( ) A ．正数的n 次方根是正数 B ．负数的n 次方根是负数 C ．0的n 次方根是0(n ∈N *) D ．a 的n 次方根是na[解析] 当n 为偶数时，正数的n 次方根为一正一负，故A 错误；当n 为偶数时，负数的n 次方根无意义，故B 错误；当n ∈N *时，0的n 次方根为0，故C 正确；当n 为偶数，a <0时，na 无意义，故D 错误．[答案] C2．81的4次方根是( ) A ．2 B ．±2 C ．3D ．±3[解析] ∵(±3)4＝81，∴81的4次方根为±3. [答案] D3．下列各式正确的是( ) A.6(－3)2＝3(－3) B.4a 4＝aC.622＝32 D ．a 0＝1[解析]6(－3)2＝632＝33，4a 4＝|a |，a 0＝1，条件为a ≠0.故A 、B 、D 错．[答案] C4．已知(4a ＋1)2＝－4a －1，则实数a 的取值范围是________． [解析] ∵(4a ＋1)2＝|4a ＋1|＝－4a －1， ∴4a ＋1≤0，∴a ≤－14.[答案] ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－14 5．已知4a 4＋4b 4＝－a －b ，求4(a ＋b )4＋3(a ＋b )3的值． [解] 因为4a 4＋4b 4＝－a －b . 所以4a 4＝－a ，4b 4＝－b ， 所以a ≤0，b ≤0，所以a ＋b ≤0，所以原式＝|a ＋b |＋a ＋b ＝－(a ＋b )＋a ＋b ＝0.课后作业(二十五)复习巩固一、选择题1．已知x 5＝6，则x 等于( ) A. 6 B.56 C ．－56D ．±56[解析] 由x 5＝6可知x ＝56. [答案] B2．下列各式正确的是( ) A.(－3)2＝－3 B.a 2＝a C.22＝2D.3(－2)3＝2[解析] 由于(－3)2＝3，a 2＝|a |, 3(－2)3＝－2，故A 、B 、D 错误． [答案] C3.(a －b )2＋5(a －b )5的值是( ) A ．0B ．2(a －b )C ．0或2(a －b )D ．a －b[解析] 若a ≥b ，则原式＝a －b ＋a －b ＝2(a －b )， 若a <b ，则原式＝b －a ＋a －b ＝0，故选C. [答案] C4．若2<a <3，化简(2－a )2＋4(3－a )4的结果是( ) A ．5－2a B ．2a －5 C ．1D ．－1[解析] 由于2<a <3，所以2－a <0,3－a >0， 所以原式＝a －2＋3－a ＝1.故选C. [答案] C5．当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果为( ) A ．2x －5 B ．－2x －1 C ．－1D ．5－2x[解析] 由2－x 有意义得x ≤2.所以x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9＝|x －2|－|x －3|＝(2－x )－(3－x )＝－1.[答案] C 二、填空题6．若x ≠0，则|x |－x 2＋x 2|x |＝________.[解析] ∵x ≠0，∴原式＝|x |－|x |＋|x ||x |＝1.[答案] 17．化简：b －(2b －1)(1<b <2)＝________. [解析] 原式＝(b －1)2＝b －1(1<b <2)． [答案]b －18．若(2a －1)2＝3(1－2a )3，则实数a 的取值范围为________． [解析](2a －1)2＝|2a －1|，3(1－2a )3＝1－2a .因为|2a －1|＝1－2a ，故2a －1≤0，所以a ≤12.[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 三、解答题 9．化简：(1) (e ＋e －1)2－4＋(e －e －1)2＋4(e≈2.7)； (2) (x －2)2＋6(x ＋2)6.[解] (1)原式＝e 2＋2＋e －2－4＋e 2－2＋e －2＋4 ＝(e －e －1)2＋(e ＋e －1)2 ＝e －e －1＋e ＋e －1＝2e≈5.4.(2)原式＝|x －2|＋|x ＋2|.当x ≤－2时，原式＝(2－x )＋[－(x ＋2)]＝－2x ； 当－2<x <2时，原式＝(2－x )＋(x ＋2)＝4； 当x ≥2时，原式＝(x －2)＋(x ＋2)＝2x . 综上，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－2，4，－2<x <2，2x ，x ≥2.10．已知a <b <0，n >1，n ∈N *，化简n(a －b )n＋n(a ＋b )n. [解] ∵a <b <0，∴a －b <0，a ＋b <0. 当n 是奇数时，原式＝(a －b )＋(a ＋b )＝2a ；当n 是偶数时，原式＝|a －b |＋|a ＋b |＝(b －a )＋(－a －b )＝－2a . ∴n(a －b )n＋n(a ＋b )n＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ，n 为奇数，－2a ，n 为偶数.综合运用11．下列式子中成立的是( ) A ．a －a ＝－a 3B ．a －a ＝－a 3C ．a －a ＝－－a 3D ．a －a ＝a 3[解析] 要使a －a 有意义，则a ≤0，故a －a ＝－(－a )－a ＝－(－a )2(－a )＝－－a 3，故选C. [答案] C12.7＋43＋7－43等于( ) A ．－4B ．2 3C ．－2 3D ．4[解析]7＋43＋7－43＝(2＋3)2＋(2－3)2＝(2＋3)＋(2－3)＝4.[答案] D13．化简(a －1)2＋(1－a )2＋3(1－a )3的结果是( ) A ．1－a B ．2(1－a ) C ．a －1D ．2(a －1)[解析] ∵a －1有意义，∴a －1≥0，即a ≥1.∴(a －1)2＋(1－a )2＋3(1－a )3＝(a －1)＋|1－a |＋(1－a )＝(a －1)＋(a －1)＋(1－a )＝a －1，故选C.[答案] C14．设f (x )＝x 2－4，若0<a ≤1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝________.[解析] f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2－4＝a 2＋1a2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a . 由于0<a ≤1，所以a ≤1a.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝1a－a .[答案] 1a－a15．求使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围． [解] ∵(a －3)(a 2－9) ＝(a －3)(a －3)(a ＋3)＝(a －3)2(a ＋3)＝|a －3|a ＋3.∴要使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )·a ＋3成立，必须有⎩⎪⎨⎪⎧|a －3|＝3－a ，a ＋3≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－a ≥0，a ＋3≥0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，a ≥－3，⇒－3≤a ≤3.故a 的取值范围是[－3,3]．。
最新高中数学根式教案
2.1.1 指数与指数幂的运算第一课时根式教案根式一、课型：新课二、教学目标1、知识与技能：理解根式的概念，掌握n次方根的表示方法和根式的性质。
2、过程与方法（1）采用由特殊到一般的方法，即：由平方根、立方根，运用类比的方法过渡到n次方根。
（2）由n次方根与根式之间的联系，从n次方根过渡到根式。
三、教学重难点重点：（1）n次方根的表示方法。
（2）根式的基本性质。
难点：根式的基本性质的运用。
四、教学方法：讲授法、类比分析法、引导探究法。
五、教具：彩色粉笔(红色)、小黑板等。
六、教学过程(一)、引入新课同学们，我们在初中学习了平方根、立方根，并且用了a ±、3a 形式的式子来分别表示了它们。
那么，一个数有没有四次方根、五次方根…n 次方根呢？如果有，这些方根该用什么形式的式子来表示呢？为了解决这些问题，让我们一起来学习本堂课的内容—根式。
师：首先，请同学们回忆一下平方根、立方根的定义。
它们是怎样定义的呢？（在副版上板书平方根、立方根的定义）。
通过平方根、立方根的定义我们知道：由于24(2)=±，3273=，所以我们把2,3±分别称为4的平方根，3称为27的立方根。
同学们想一下：45=812=323±±，，（3）和2又分别称为 81、32的什么呢？类似的，若n x =a,我们就把x 叫做a 的n 次方根。
(二)、讲解新课一、n 次方根1、定义：一般地， n x =a(n>1,且n N +∈),则x 叫做a 的n 次方根。
师：(分析定义)定义告诉我们，如果一个数的n 次方等于a,则这个数就叫做a 的n 次方根。
以前学过的平方根、立方根就是当n=2、3时的特殊的n 次方根。
a 的n 次方根，如何用含a 的式子来表示呢？下面我们就一起来探究一下n 次方根的表示方法。
2、n 次方根的表示师：同学们知道一个数的平方根、立方根的个数以及表示形式是不同的，一个数的n 次方根的个数以及表示形式会不会随着n 值的不同而不同呢？实际上，一个数的n 次方根的个数以及表示形式会随着n值的不同而有所区别。
初中数学实数教案根式
初中数学实数教案根式教案标题：初中数学实数教案-根式教学目标：1. 理解根式的概念和性质。
2. 掌握根式的化简和运算方法。
3. 能够应用根式解决实际问题。
教学重点：1. 根式的化简和运算方法。
2. 根式在实际问题中的应用。
教学难点：1. 根式的运算规则和性质。
2. 如何应用根式解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学素材、教学工具等。
2. 学生准备：教材、笔记本、计算器等。
教学过程：Step 1：导入新知1. 引入根式的概念：通过提问和示例引导学生回顾平方根的概念，并引入根式的概念。
2. 通过实例展示根式的表示形式，如√a、∛a等，并解释根号下的数字称为被开方数。
Step 2：根式的化简1. 介绍根式的化简规则，包括同底数相乘、同底数相除、同底数相加、同底数相减等。
2. 通过示例演示根式的化简过程，引导学生掌握化简的方法和技巧。
Step 3：根式的运算1. 介绍根式的运算规则，包括根式的加法、减法、乘法和除法。
2. 通过示例演示根式的运算过程，帮助学生理解和掌握根式的运算方法。
Step 4：应用实际问题1. 提供一些实际问题，如建筑斜坡的倾斜角度、电线杆的高度等，引导学生运用根式解决问题。
2. 引导学生分析问题，提取关键信息，建立数学模型，并通过计算求解问题。
Step 5：总结与拓展1. 总结根式的概念、化简和运算方法。
2. 提出一些拓展问题，让学生进一步巩固和扩展所学内容。
教学评价：1. 课堂练习：布置一些练习题，检验学生对根式概念、化简和运算方法的掌握程度。
2. 个人评价：观察学生在课堂上的表现，评价他们的参与度和理解程度。
教学延伸：1. 为学生提供更多的根式运算练习题，巩固所学知识。
2. 引导学生探究更复杂的根式运算和应用问题，提高他们的综合应用能力。
教学反思：本节课通过引入根式的概念，结合化简和运算方法，帮助学生理解根式的含义和性质。
通过应用实际问题，培养学生的数学建模能力。
初中数学根号教案
初中数学根号教案一、教学目标1. 让学生理解根号的概念，掌握根号的基本性质和运算方法。
2. 培养学生运用根号解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学内容1. 根号的概念：平方根、立方根等。
2. 根号的性质：根号下的数等于它的平方根的平方，根号与分数的运算等。
3. 根号的运算：加减乘除、乘方等。
4. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：根号的概念、性质和运算方法。
2. 难点：根号在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解根号的概念、性质和运算方法。
2. 运用举例法，让学生通过实际例子理解根号的应用。
3. 利用练习法，巩固学生对根号的掌握。
4. 采用小组讨论法，培养学生的合作精神和沟通能力。
五、教学步骤1. 引入：讲解平方根的概念，让学生了解平方根的定义和性质。
2. 讲解立方根：引导学生从平方根的概念中拓展出立方根的概念，并掌握立方根的性质。
3. 根号的性质：讲解根号的基本性质，如根号下的数等于它的平方根的平方，根号与分数的运算等。
4. 根号的运算：讲解根号的加减乘除、乘方等运算方法，并通过例题让学生熟悉这些运算。
5. 实际问题中的应用：让学生通过解决实际问题，运用根号的知识，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
6. 课堂练习：布置一些有关根号的练习题，让学生巩固所学知识。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
六、课后作业1. 完成练习册上的相关题目。
2. 查找有关根号的实际问题，下节课分享。
七、教学反思通过本节课的教学，学生应掌握根号的概念、性质和运算方法，并能运用根号解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生从实际问题中发现根号的作用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
同时，要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保教学效果。
高中数学教案 必修1 第五讲 根式
博途教育学科教师辅导讲义(一）学员姓名: 年级：高一日期：辅导科目：数学学科教师：刘云丰时间：课题第五讲：指数函数授课日期教学目标1、理解根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算，理解掌握分数指数幂的意义并能进行基本的运算；2、掌握指数函数的概念、图像和性质。
教学内容指数函数〖教学重点与难点〗◆教学重点：分数指数幂和根式概念的理解.掌握并运用分数指数幂的运算性质.运用有理指数幂性质进行化简、求值.指数函数的概念、图象和性质.◆教学难点：分数指数幂及根式概念的理解.有理指数幂性质的灵活应用.对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质.〖教学过程〗一、指数与指数幂的运算（一）创设情景,引入新课1：问题情景据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%，那么，在2001~2020年，各年的GDP 可望为2000年的多少倍2：学生根据已有的经验和知识独立探究，教师巡视，进行个别指导3：老师在黑板上列出第一年到第四年，引导学生观察，比较，概括，并找同学说明自己的想法。
（二）复习整数指数幂指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过把它进一步向前发展。
请同学们回顾一下指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定义:．然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义，分别写出 及 ，同时追问这里的由来。
(三)根式 1.n 次方根的定义若x n ＝a （n ＞1且n ∈N*），则x 叫a 的n 次方根. 比较平方根、立方根 .得：偶次方根有下列性质：在实数范围内，正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方根；奇次方根有下列性质：在实数范围内，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数. 零的n 次方根为零。
这样，我们便可得到n 次方根的性质 2.n 次方根的性质x ＝⎪⎩⎪⎨⎧=±+=kn a k n a n n 2,12,（k ∈N*）其中n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数.注：根式是n 次方根的一种表示形式，并且，由n 次方根的定义，我们可以得到根式的运算性质.3.根式的运算性质①（n a ）n ＝a ②n n a ＝⎩⎨⎧.|,|;,为偶数为奇数n a n a［例1］求下列各式的值(1)33)8(- （2）2)10(- (3)44)3(π-（4）2)(b a -（a ＞b ）解：(1) 33)8(-＝－8 (2) 2)10(-＝｜－10｜(3) 44)3(π-＝｜3－π｜＝π－3 (4) 2)(b a -＝｜a －b ｜＝a －b （a ＞b ）根指数n 为奇数的题目较易处理，而例题侧重于根指数n 为偶数的运算，说明此类题目容易出错，应引起大家的注意.为使大家进一步熟悉根式性质的运用，我们来做练习题.变式训练(1)532- （2）4)3(- （3）2)32(-（4）625-（四）正数的正分数指数幂的意义1、n m nm a a = (a ＞0,m ,n ∈N*,且n ＞1)注意两点，一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化. 另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. 2.规定 (1) nm n m aa1=- (a ＞0,m ,n ∈N*,且n ＞1)(2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 3.有理指数幂的运算性质 (1)a r ·a s =a r +s (a ＞0,r ,s ∈Q) (2)(a r )s =a r ·s (a ＞0,r ,s ∈Q)(3)(a ·b )r =a r ·b r (a ＞0,b ＞0,r ∈Q)说明：若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.（四）例题讲解 ［例2］求值：832，10021-,(41)-3,(8116)43-.［例3］用分数指数幂的形式表示下列各式：a 2·a ,a 3·32a ,a a (式中a ＞0)二、指数函数及其性质（一）创设情境，引入课题做游戏：我每天给你10元钱，你第一天给我1角钱，第二天给我2角钱，第三天给我4角钱，……按这个规则下去，互相给一个月，有哪位同学愿意与我一同做这个游戏呢？这个游戏中谁更合算？问题：（1）某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个。
人教版高中数学必修第一册根式教案
根式●教学目标(一)教学知识点1.n次方根定义.2.根式概念.(二)能力训练要求1.理解n次方根定义.2.理解根式的概念.3.正确运用根式运算性质化简、求值.4.了解分类讨论思想在解题中的应用.(三)德育渗透目标1.掌握由特殊到一般的归纳方法.2.培养学生认识、接受新事物的能力.●教学重点根式概念.●教学难点根式概念的理解.●教学方法学导式本节是指数与指数函数的入门课，概念性较强，为突破根式概念理解这一教学难点，关键在于使学生理解n次方根定义，故结合学生在初中已经熟悉的平方根、立方根的概念，由特殊逐渐地过渡到一般的n次方根定义，使学生易于接受，并且引导学生主动参与了教学活动.在得出根式概念后，要引导学生注意它与n次方根的关系，并强调说明根式是n次方根的一种表示形式，加强学生对概念的理解.●教具准备幻灯片四张第一张：整数指数幂概念、运算性质(记作§2.5.1 A)第二张：n次方根举例(记作§2.5.1 B)第三张：根式性质推导(记作§2.5.1 C)第四张：本节例题(记作§2.5.1 D)●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］在初中，我们已经学习了整数指数幂的概念及其性质.现在，我们一起来看屏幕.(打出幻灯片§2.5.1 A)［师］因为a m ÷a n 可看作a m ·a －n ，所以a m ÷a n ＝am －n 可以归入性质(1)；又因为(b a )n 可看作a n ·b -n ，所以（b a ）n ＝n n b a 可以归入性质(3).我们复习这部分内容是为下一节学习分数指数幂打基础. ［师］另外，我们在初中还学习了平方根、立方根这两个概念.(打出幻灯片§2.5.1 B)［师］我们一起来看，若22＝4，则2叫4的平方根；若23＝8，2叫8的立方根；若25＝32，则2叫32的5次方根，类似地，若2n ＝a ，则2叫a 的n 次方根.这样，我们可以给出n 次方根的定义.Ⅱ.讲授新课1.n 次方根的定义(板书)若x n ＝a （n ＞1且n ∈N *），则x 叫a 的n 次方根.［师］n 次方根的定义给出了，我们考虑这样一个问题，x 如何用a 表示呢?(提示学生看幻灯片§2.5.1 B ，并叫学生回答).［生］正数的平方根有两个且互为相反数，负数没有平方根；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数.［师］跟平方根一样，偶次方根有下列性质：在实数范围内，正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方根；跟立方根一样，奇次方根有下列性质：在实数范围内，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数.这样，我们便可得到n 次方根的性质2.n 次方根的性质(板书)x ＝⎪⎩⎪⎨⎧=±+=kn a k n a n n 2,12,（k ∈N *） 其中n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数.［师］请大家注意，根式是n 次方根的一种表示形式，并且，由n 次方根的定义，我们可以得到根式的运算性质.3.根式的运算性质(板书) ①（n a ）n＝a ②n n a ＝⎩⎨⎧.|,|;,为偶数为奇数n a n a ［师］关于性质的推导，我们一起来看屏幕：(打出幻灯片§2.5.1 C)[师］性质②有一定变化，即对于n应分奇数与偶数两种情况来讨论，大家应重点掌握，接下来，我们通过例题来熟悉根式运算性质的应用.(打出幻灯片§2.5.1 D）［例1］求下列各式的值(1)33)8(-（2）2)(-10(3)44)(ba-（a＞b）-（4）2)3(π解：(1) 33)8(-＝－8(2) 2)(-＝｜－10｜10(3) 44)3(π-＝｜3－π｜＝π－3(4) 2)a-＝｜a－b｜＝a－b（a＞b）(b［师］根指数n为奇数的题目较易处理，而例题侧重于根指数n为偶数的运算，说明此类题目容易出错，应引起大家的注意.为使大家进一步熟悉根式性质的运用，我们来做练习题.Ⅲ.课堂练习 (1)532- （2）4)3(-（3）2)32(- （4）625-解：(1) 532-＝55)2(--＝－2 (2) 4)3(-＝22)3(-＝（－3）2＝9 (3) 2)32(-＝｜2－3｜＝3－2 (4) 625-＝22)32()3(322)2(-=+⋅-2 ＝｜2－3｜＝3－2Ⅳ.课时小结［师］通过本节学习,大家要能在理解根式概念的基础上,正确运用根式的运算性质解题.Ⅴ.课后作业（一）求下列各式的值： (1)327- （2）2)4(-π（3）6a （4）2)31(xx -- 解：（1）327-＝33)3(-＝－3 (2) 2)4(-π＝｜π－4｜＝4－π (3) 6a ＝23)(a ＝｜a 3｜ (4) 2)31(x x --＝｜x x --31｜＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><--<≤--31,3131,31x x x x x x x 或（二）1.预习内容：课本P71～P72.2.预习提纲：(1)根式与分数指数幂有何关系?(2)整数指数幂运算性质推广后有何变化?●板书设计。
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2022最新高一数学教案根式5篇最新x|≥0，因此，|x|+0.1>0，于是，式子是二次根式. 所以所求字母x的取值范围是全体实数.(4)由-b2≥0得b2≤0，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：b=0.(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)1.式子叫做二次根式，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式.2.式子中，被开方数(式)必须大于等于零.(四)练习和作业练习：1.判断下列各式是否是二次根式分析：(2) 中，，是二次根式;(5)是二次根式. 因为x是实数时，x、x+1不能保证是非负数，即x、x+1可以是负数(如x<0时，又如当x<-1时=，因此(1)(3)(4)不是二次根式，(6)无意义.2.a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?五、作业教材P.172习题11.1;A组1;B组1.高一数学教案根式4最简二次根式教学建议1.教材分析本节是在前两节的基础上，从实际运算的客观需要出发，引出最简二次根式的概念，然后通过一组例题介绍了化简二次根式的方法.本小节内容比较少(求学生了解最简二次根式的概念并掌握化简二次根式的方法)，但是本节知识在全章中却起着承上启下的重要枢纽作用，二次根式性质的应用、二次根式的化简以及二次根式的运算都需要最简二次根式来联接.(1)知识结构(2)重难点分析①本节的重点Ⅰ.最简二次根式概念Ⅱ.利用二次根式的性质把二次根式化简为最简二次根式.重点分析本章的主要内容是二次根式的性质和运算，但自始至终围绕着二次根式的化简和运算.二次根式化简的最终目标就是最简二次根式;而二次根式的运算则是合并同类二次根式，怎样判定同类二次根式，是在化简为最简二次根式的基础上进行的.因此本节以二次根式的概念和二次根式的性质为基础，内容虽然简单，在本章中却起着穿针引线的作用，教师在教学中应给于极度重视，不可因为内容简单而采取弱化处理;同时初二学生代数成绩的分化一般是由本节开始的，分化的根本原因就是对最简二次根式概念理解不够深刻，遇到相关问题不知怎样操作，具体操作到哪一步.②本节的难点是化简二次根式的方法与技巧.难点分析化简二次根式，实际上是二次根式性质的综合运用.化简二次根式的过程，一般按以下步骤：把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数;被开方数是多项式的要因式分解;使被开放数不含分母;将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面;化去分母中的根号;约分.所以对初学者来说，这一过程容易出现符号和计算出错的问题.熟练掌握化简二次根式的方法与技巧，能够进一步开拓学生的解题思路，提高学生的解题能力.③重难点的解决办法是对于最简二次根式这一概念，并不要求学生能否背出定义，关键是遇到实际式子能够加以判断.因此建议在教学过程中对概念本身采取弱化处理，让学生在反复练习中熟悉这个概念;同时教学中应充分对最简二次根式概念理解后应用具体的实例归纳总结出把一个二次根式化为最简二次根式的方法，在观察对比中引导学生总结具体解决问题的方法技巧.另外，化简运算在本节既是重点也是难点，学生在简洁性和准确性上都容易出现问题，因此建议在教学过程中多要求学生观察二次根式的.特点――根据其特点分析运用哪条性质、哪种方法来解答，培养学生的分析能力和观察能力――多要求学生注意每步运算的根据，培养学生的严谨习惯.2.教法建议素质教育和新的教改精神的根本是增强学生学习的自主性和学生的参与意识，使每一个学生想学、爱学、会学。
高中数学根式的教案
高中数学根式的教案
一、教学目标：
1. 理解根式的概念，掌握根式的运算规则；
2. 能够使用根式进行加减乘除运算；
3. 能够化简含有根式的算式。
二、教学重点与难点：
1. 理解根式的概念，掌握根式的运算规则；
2. 对含有根式的算式进行化简。
三、教学准备：
1. 教材：高中数学教科书；
2. 教具：黑板、彩色粉笔、毛毯、学生练习册。
四、教学过程：
1. 引入：通过一个实例引入根式的概念，让学生理解根式的含义。
2. 概念讲解：讲解根式的定义、性质和运算规则。
3. 例题演练：通过一些例题演练，让学生掌握根式的加减乘除运算。
4. 拓展练习：让学生在课堂上完成一些拓展性练习，提高他们对根式运算的熟练度。
5. 练习册作业：布置相关的练习册作业，让学生巩固所学知识。
五、教学反馈：
1. 定期进行课堂小测，检测学生对根式的理解和掌握程度；
2. 鼓励学生积极提问，及时澄清他们对根式的疑惑。
六、板书设计：
1. 根式的定义；
2. 根式的运算规则；
3. 根式的化简方法。
七、教学总结：
通过本节课的学习，学生应该对根式的概念有深入的理解，掌握根式的运算规则，并能够熟练地进行根式的运算和化简。
在以后的学习中，要多加练习，提高对根式的运用能力。
高中数学根号教案
高中数学根号教案
教学目标：
1. 了解根号的概念和性质
2. 熟练运用根号的运算规则
3. 能够解决简单的根号运算题
教学重点：
1. 根号的基本概念
2. 根号的运算规则
教学难点：
1. 根号的性质理解
2. 根号的应用
教学准备：教案、教学PPT、练习题
教学过程：
一、导入新课
1. 引入根号的概念，让学生看图案例，谈谈对根号的认识
2. 通过实际生活中的例子引导学生认识根号的作用和意义
二、讲解根号的概念和性质
1. 定义根号，引导学生理解根号的概念
2. 讲解根号的性质，包括乘法、除法、加法和减法规则等
三、练习根号运算
1. 带领学生进行一些简单的根号运算题，在黑板上展示解题过程
2. 带领学生解决一些中等难度的根号题目，引导学生多角度思考
四、巩固知识点
1. 综合应用根号的运算规则，让学生解决一些综合性较强的根号题目
2. 引导学生讨论根号在实际生活中的应用
五、拓展延伸
1. 给学生一些拓展题目，让他们深入理解根号的运算规则
2. 提供一些有趣的根号问题，激发学生的兴趣，让他们深入思考
六、作业布置
1. 布置一些根号练习题作为课后作业
2. 鼓励学生在生活中找到更多的根号应用实例，与同学分享和讨论
教学反思：根号作为高中数学的重要内容，对于学生数学思维的培养有着重要的作用。
在
教学过程中，要注重培养学生对根号的理解和运用能力，激发学生的兴趣，帮助他们建立
数学运算规则的基础。
同时，要多提供实际生活中的应用案例，增强学生的实际操作能力。
希望通过本节课的教学，学生可以对根号有更深入的理解和掌握。
高一数学根式教学
高一数学根式教学一、教学任务及对象1、教学任务本教学任务围绕高一数学中的根式教学展开，旨在使学生深入理解根式的概念，掌握根式的性质和运算规则，并能熟练运用根式解决实际问题。
通过本课程的学习，学生将能理解根式与分数、小数之间的关系，掌握根式的化简、运算以及应用等技能，从而提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
2、教学对象教学对象为高中一年级学生，他们在先前的数学学习中已经掌握了基本的算术运算，具有一定的代数基础，但对于根式的理解可能还不够深入。
此外，学生在学习过程中可能存在对根式运算的恐惧和困惑，因此，教师需要针对这些问题进行有针对性的教学设计，帮助学生克服困难，激发他们的学习兴趣。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解根式的定义，掌握根式的性质，包括根式的有理化、分母有理化等方法。
（2）熟练掌握根式的加减乘除运算规则，并能解决实际问题。
（3）掌握根式与分数、小数之间的转换，提高数学运算能力。
（4）能够运用根式解决几何、物理等学科中的问题，提高跨学科综合运用能力。
2、过程与方法（1）通过实例引入根式的概念，让学生在实际问题中感受根式的意义，培养学生从具体到抽象的思维能力。
（2）采用探究式教学方法，引导学生主动发现根式的性质和运算规则，提高学生的自主学习和合作学习能力。
（3）通过变式练习，让学生在解决不同类型问题的过程中，掌握根式的应用方法，培养学生灵活运用知识的能力。
（4）利用数学软件或图形计算器等工具，帮助学生直观地理解根式的性质和运算过程，提高数学学习兴趣。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学学习的兴趣和热情，使他们能够积极主动地参与根式学习。
（2）通过根式学习，让学生体会数学的严谨性和逻辑性，培养他们认真、细致的学习态度。
（3）引导学生认识到数学知识在实际生活中的应用价值，增强学生的实践意识和创新精神。
（4）培养学生面对困难时，勇于克服、积极进取的精神风貌，使他们能够在学习中不断进步，树立正确的价值观。
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§2.1.1 指数与指数幂的运算
根 式
一、教学目标
1、知识与技能：理解根式的概念，掌握n 次方根的表示方法和根式的性质。
2、过程与方法：
（1）采用由特殊到一般的方法，即：由平方根、立方根，运用类比的方法过渡到n 次方根。
（2）由n 次方根与根式之间的联系，从n 次方根过渡到根式。
3、情感态度与价值观：
通过本节课的引导探究，使学生利用原有的概念来理解一个新的概念的定义，从而明确一类事物的共同特征，学会概念同化，提高自主学习的能力，培养学生用联系观点看问题。
三、教学重难点
重点：（1）n 次方根的表示方法。
（2）根式的基本性质。
难点：根式的基本性质的运用。
四、教学方法：讲授法、类比分析法、引导探究法。
五、教具：彩色粉笔(红色)、多媒体等。
六、教学过程
(一)、复习引入
1、整数指数幂
整数指数包括正整数指数、零指数、负整数指数
个
n a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅ ()()01;0≠=∈*a a N n =-n a ()*∈≠N n a ,0。
2、整数指数幂的运算性质 ()=⋅n m a a 1 ()Z n m ∈,；()()=n m a 2 ()Z n m ∈,
()=n m a
a 3 ()0,,≠∈a Z n m ()()=m a
b 4 ()Z m ∈ (二)、讲解新课
1、根式
知识回顾：中学的平方根和立方根是如何定义的呢？
一般地，如果n
x =a ，那么x 叫做a 的平方根，
a 的正平方根叫做a 的算术平方根，正数有两个平方根，
负数没有平方根，0的平方根是0，0的算术平方根也是0。
一般地，如果x 3=a x 叫做a 的立方根。
类比上述两定义，一般地，如果
一个数的四次方等于a ，则这个数叫做a 的四次方根；
一个数的五次方等于a ，则这个数叫做a 的五次方根；…… 定义形成：
一、n 次方根
1、定义：一般地， n x =a(n>1,且n N +∈),则x 叫做a 的n 次方根。
2、n 次方根的表示
8的3次方根为（ ）-8 的3次方根为（ ）
16的4次方根为（ ） -16 的4次方根为（ ）
0 的n 次方根为（ ）
（1）当n 为奇数时，a ()a R ∈的n 次方根只有一个，即：n a 。
（2）当n 为偶数时，
1。
、a 的n 次方根有两个，即：n a ±
2。
、0a <,a 的n 次方根不存在。
（3）0的n 次方根为0，记作：0n =0.
二、根式
1、定义：形如n a （n>1,且n *N ∈）的式子叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被
开方数。
师：我们来看看关于根式的定义需要注意些什么？
（1）当n 为偶数时，要求a ≥0. (2)n a 与a 的,n 次方根的关系。
n 的分类
a 的n 次方根的符号表示 a 的取值范围 n 为奇数
n a R a ∈ n 为偶数 ±n a 0≥a
【师生探究】n n a a =一定成立吗？（各小组讨论）
【注意】n n a 与n n a )(的区别：
①n n a 是实数n a 的n 次方根，是一个恒有意义的式子，与n 的奇偶无关，但是这个式子的值与n 的奇偶有关。
当n 为大于1的奇数时，n n a =a ；当n 为大于1的偶数时，n n a =a 。
②n n a )(是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值由n 的奇偶性决定。
当n 为大于1的奇数时，n n a )(=a ，R a ∈；当n 为大于1的偶数时，n n a )(=a ，0≥a 。
由此看只要n n a )(有意义，其值恒等于a ，即n n a )(=a 。
2、性质
（1）()n
n a a =
（2）1、当n 为奇数时，n n
a a = 2、当n 为偶数时，,0,0n n a a a a a a ⎧⎪⎨⎪⎩≥-<==
（三）练习巩固
例1、求下列各式的值.
（1） 338⎛⎫ ⎪⎝⎭- （2）()554a -
（3）()443π- （4）()4433a -
练一练： 1、下列各式中, 不正确的序号是( ).
2、随堂练习
（四）、课堂小结
一、n 次方根 1、定义 2、n 次方根的表示
二、根式
1、定义
2、性质：（1）性质1 （2）性质2 （五）、板书设计
根 式
一、n 次方根 二、根式
（2）性质2 1、定义 1、定义
2、n 次方根的表示
例题： 2、性质
（1）性质1
()()36391026)3()5(2)4(--()()()()443377)33(3;1,33)2(;2)1(-≤--a a a 4162=±①55(3)3-=-②55(3)3-=-③105(3)3-=-④44(3)3
-=⑤。