10-习题课

dxdy e
D2 y2 D2
max{ x 2 , y 2 }
dxdy
x
e
D1
x 0
D1
x2
dxdy e dxdy
dy dy e dx xe dx ye dy e 1.
y2 1 y
dx e
0
x2
0
0
0
1
x2
0
1
y2
测 验 题
一,选择题: 1,0 dx 0
1 1 x 1 1 x
相关的知识点 1,强调积分是一个数值,只和被积函数和积 分区域有关,与积分变量的记法无关.
2,对于二重积分:
(1)根据被积函数和积分区域选择合适的坐 标系(直角坐标,极坐标).先作出图形,若 积分区域为扇形或圆,圆环,最好用极坐标; 若被积函数用直角坐标积分积不出,例如 ( e dx),试选择极坐标.(注意积分次序.)
D
a 2 x 2 y 2 dxdy .
1 ;
3
(A) (C)
(B) (D)
3
3 ; 4
3
3 2 1 2
; .
3,当 D 是( A )围成的区域时,二重积分 dxdy =1.
D
x 轴,y 轴及 2 x y 2 0 ;(B) x 1 , y 1 ; (A) 2 3 (C) x 轴,y 轴及 x 4, y 3 ;(D) x y 1, x y 1.
2 x 2y 1 1 x 2 y 2 dv 1dx 0 x 2 y 2 dy 0 dz 2 x 2y dx 2 dy 2 1 0 x y
[ln( 2 x 2 ) ln x 2 ]dx
2 1
ln 2.
例4 计算
其中 ( x z )dv, 由 z
2 2
x y 与
2 2
2 2 2
其余的可考虑选用直角坐标系.直角坐标系中 还有先一后二,先二后一(截面法)方法, 注意截面法所要求的条件.
二,典型例题
例1 计算
D
x 1 d . 其中 D 由 y x , y , x 2 2 y x
2
围成.
1 解 X-型 D : y x , 1 x 2. x 2 2 xx x2 y 2 d 1dx 1x y 2 dy D
2
1
0
dx dy
1 x
y
x
1 1 f ( x ) f ( y ) f ( z )dz [ f ( x )dx ]3 . 6 0
测验题答案
一, 1,D; 2,C; 3,A; 4,A; 5,B; 6,A; 7,A; 8,B,D; 9,B; 10,C. 3 2 4 5 40 2 2 二,1, ;2, ;3, R 9 R ;4, . 9 64 4 2 三,1, 0 dx x
x+y =1
dy f ( x , y )dx dy f ( x , y )dx
0 y 1 4 y
y
y
1 0.5 0.25
y=x2
y=x
1 x 2 0 x2 ____________________
dx
f x , y dy .
o
0.5
x
练习三( 2002年数学一, ):计算二重积分 7分
xe xy dxdy 的值为( A ).其中区域为 D 4,
D
0 x 1,1 y 0 .
1 (A) ; e 1 (C) ; e
(B) (D)
e
; 1 .
5,设 I
2
D ( x 2 y 2 )dxdy ,其中 由 x 2 y 2 a 2 所
D
6,设 是由三个坐标面与平面 x 2 y z =1 所围成的 空间区域,则 xdxdydz =( ).
z 1 x y 所围成的.
解 关于 yoz 面为对称,f ( x , y , z ) x 为 x 的 奇函数, 有 xdv 0.
( x z )dv zdv
(利用球面坐标)
d
0
2
4 0
d r cos r sin dr . 0 8
1 2
例5 计算
e dv, : x
2 2 3 a [(1 cos )3 1]d 3 0
22 a ( ). 9 2
3
1 例3 计算 2 dv,其中 是由六个顶点 : 2 x y A(1,0,0), B(1,1,0), C (1,1,2), D( 2,0,0), E ( 2,2,0), F ( 2,2,4) 组成的三棱锥台.
B 2 a 1 4 2 4 2 (A) d a rdr a ;(B) d r rdr a ; 0 0 0 0 2 2 a 2 a 2 3 2 d r dr a ;(D) d a 2 adr 2a 4 . (C) 0 0 0 0 3
a
围成,则I =(
).
A
1 (A) 48 1 (C) 24
x2 0
(2)在直角坐标系中,先作出图形,然后根据 被积函数,积分区域选择合适的积分次序, 选择时首先要保证被积函数能积出,其次使 积分区域尽量简单.
(3)含有绝对值号的,含有max{},min{}的,
根据图形划分区域去掉绝对值号.
(4)充分利用对称性来化简积分.
3,对于三重积分: (1)充分利用对称性来化简积分.
1 1 y
x
f ( x , y )dy ;
及平面 y o, z o, x z
2
所围成的区域 .
2, ( y 2 z 2 )dv , 其中 是由xoy 平面上曲线
y 2 x 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 x 5 所围 成的闭区域 . z ln( x 2 y 2 z 2 1) dv , 其中 是由球面 3, 2 2 2 x y z 1 x 2 y 2 z 2 1 所围成的闭区域 . 六,设 f ( x ) 在[0,1] 上连续,试证:
令h 0, 得t 100小时.
练习一( 2001年考研题,3分) : 交换积分次序
y
0 1 y
1
dy
2
1 0 f ( x , y )dx _____________
dx f ( x, y )dy
2
1 x
x=2 D x
O
-1
练习二( 2002年数学三, ) : 3分 交换积分次序
1 4 1 2 1 2
2 x2 x 9 3 ( ) 1 dx ( x x )dx . 1 1 y x 4
2
D
例2
计算 x y d . 其中 D 是由心脏线
2 2 D
r a(1 cos )和圆 r a 所围的面积(取圆外部).
解
D
x 2 y 2 d
a ( 1 cos )
2 2 d
0
a
r rdr
z
2
y z 1.
2 2
解 被积函数仅为 z 的 y 2 1 z 2,故采用"先二后一" 法.
e
z
dv 2 e dv
z 上
1 0
2 [ dxdy]e z dz
D( z )
2 (1 z 2 )e z dz 2.
0
1
例6 设有一高为h( t )( t为时间)的雪堆在融化过程中, 2( x 2 y 2 ) 其侧面满足方程 h( t ) z (设长度为厘米, h( t ) 时间为小时),已知体积减少的速率 与侧面积成正 比,(比例系数 .9 , 问高为130厘米的雪堆全部融化 0 ) 需要多少时间?
f ( x , y )dy =( D )
1
(A) 0 dy 0 f ( x , y )dx ;
1
(B)0 dy 0
1 1
1 x 1 y
f ( x , y )dx ;
(C) 0 dy 0 f ( x , y )dx ; (D)0 dy 0 f ( x , y )dx . 2 2 2 2,设 D 为 x y a ,当a ( B )时,
解 在 xoy 面上的投影为梯形 ABED ,
是以梯形 ABED 为底, 以梯形 ACFD 为顶的柱体.
梯形 ACFD 所在平面过 x 轴,
z
C
F
y
B
O
设其方程为 y z 0,
E
A
D
x
又因过 C (1,1,2) 点, 得其方程为 z 2 y 0.
: 1 x 2; 0 y x ; 0 z 2 y .
40 0 y sin x ,0 x . I dx x y dy 0 0 9 y D 2, arctan d ,其中 是由直线y 0 及圆周 x D x 2 y 2 4, x 2 y 2 1 , y x 所围成的在第一象
sin x 2 2
D
2
限内的闭区域 .
I
( y 2 3 x 6 y 9)d ,其中 D 是闭区 3,
4 0
d
3 2 rdr 64 1
2
域: x y R
2 2
D
2
4,
D
4 R 9 R 2 4 d r sin dr2 9R 2 2 0 D 4 x y 2 d ,其中 : x y 3 .
2 0 R
D1
I 4 y 2 9 d
2 2 2
3
I d
0
2
2
0
2 r rdr
1 2 2
h2 ( t ) x y 2 h( t )
2
1 z z dxdy
2 x 2 y
2
h2 ( t ) x y 2
2
16( x 2 y 2 ) 1 dxdy 2 h (t )
dh 13 dV 由题意, 0.9 S , dt 10 dt 13 h(t ) t C , h(0) 130, 10 13 h(t ) t 130, 10
0 d0 rdr 0 zdz ;(B) I 0 d0 rdr r zdz ; 2 1 1 1 2 z (C) I d dz rdr ; (D) I dz d zrdr . 0 0 r 0 0 0
(A) I
立体,则正确的解法为( B )和( D ).
2 1 1 2
1
1
二,计算下列二重积分: 1, ( x 2 y 2 )d ,其中 D 是闭区域:
(2) 选择合适的积分区域: 一般地,当积分区域在坐标面上的投影区域是 圆或者扇形域,被积函数含有式子x2+y2时,用柱 坐标计算比较简单(x2+y2=r2).注意投影的区域 尽可能的简单.
2 2
z 2a x 2 y 2 例 求由曲面 x y az 和 (a 0)所围立体的体积.
若 的边界曲面与球面有关,而被积函 数中含有 x y z 的因子,则以选用 球面坐标系.
2 2 3 x
f ( x , y )dy ;
2 2 y y2
2, dy
1 0 a
y2
0
f ( x , y )dx dy
1
0
f ( x , y )dx ;
; ;
1 (B) ; 48 1 (D) . 24
z2 x2 y2 7,设 是锥面 2 2 2 ( a 0, b 0, c 0) 与平面 c a b x 0, y 0, z c 所围成的空间区域在第一卦限 xy dxdydz =( A ). 的部分,则 z 1 2 2 1 2 2 a b c; a b b; (A) (B) 36 36 1 2 2 1 b c a; c ab . (C) (D) 36 36 I zdv ,其中为z 2 x 2 y 2 , z 1 围成的 8,计算
e
D
max{ x 2 , y 2 }
dxdy , 其中D {( x , y ) : 0 x 1,0 y 1}.
y
解:D1 {( x , y ) : 0 x 1,0 y x }, D2 {( x , y ) : 0 x 1, x y 1},
D2
o D1
I e
1
max{ x 2 , y 2 }
2
2
0
d
3 2
5 r 2 rdr . 2
2
三,作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: 1, 0 dy 0 f ( x , y )dx 1 dy 0
1 2y 3 3 y
f ( x , y )dx ;
2, 0 dx
1 a
1 1 x 2
3, 0 d 0 f ( r cos , r sin )rdr . 四,将三次积分 0 dx x dy x f ( x , y , z )dz 改换积分次序为 x y z. 五,计算下列三重积分: 1, y cos( x z )dxdydz , :抛物柱面 y x
解: V为雪堆的体积,为雪堆的侧面积, 设 S 则
V
h( t )
0
dz
dxdy h( t ) [h2 (t ) h(t )z ]dz 0 2 1 2 x 2 y 2 [ h ( t ) h( t ) z ]
2
4
h 3 ( t ).
S
2
2 2 [h2 ( t ) 16r ] rdr 13 2 h (t ). 0 12 h( t )