高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 全称量词与存在量词 1.3.1 全称量词与全称命题 1.3.

2.特称命题 “有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等都有表示个别或一部分 的含义,这样的词叫作存在量词,含有存在量词的命题,叫作特称命 题. 【做一做2】 下列命题不是特称命题的是( ) A.有些实数没有平方根 B.能被5整除的数也能被2整除 C.存在x∈{x|x>3},使x2-5x+6<0 D.有一个m,使2-m与|m|-3异号 答案:B
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)不等式m+f(x)>0可化为m>-f(x),即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4. 要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可. 故存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时,只 需m>-4. (2)不等式m-f(x)>0可化为m>f(x),若存在一个实数x,使不等式 m>f(x)成立,只需m>f(x)min.
【做一做 3】 给出下列命题:
①任意 x∈R, ������是无理数; ②任意������, ������∈R,若 xy≠0,则 x,y 中至少
有一个不为 0;③存在实数既能被 3 整除又能被 19 整除.
其中真命题为
.(填序号)
解析:①是假命题,例如 4是有理数;②是假命题,若 xy≠0,则 x,y
题型一 题型二 题型三 题型四
题型三 利用全称命题、特称命题求参数范围
【例3】 已知函数f(x)=x2-2x+5. (1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立?并 说明理由. (2)若存在一个实数x,使不等式m-f(x)>0成立,求实数m的取值范围. 分析:可考虑用分离参数法,转化为m>-f(x)对任意x∈R恒成立和 存在一个实数x,使m>f(x)成立.
(3)是特称命题.存在A={3},使A⫋{1,2,3}成立,所以该命题是真命
题.
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练2】 下列命题中是真命题的是( ) A.存在m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数 B.存在m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数 C.任意m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数 D.任意m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数 解析:对于选项A,存在m∈R,即当m=0时,f(x)=x2+mx=x2是偶函数. 故A是真命题. 答案:A
3.全称命题与特称命题的真假判断 (1)要判定一个特称命题为真,只要在给定集合中找到一个元素x, 使命题p(x)为真;否则命题为假.要判定一个全称命题为真,必须对给 定的集合中每一个元素x,p(x)都为真;但要判定一个全称命题为假, 只要在给定的集合内找到一个x0,使p(x0)为假即可. (2)真假判断思维导图:
1.3.1 全称量词与全称命题 1.3.2 存在量词与特称命题
1.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词和存在量词的含 义.
2.理解全称命题和特称命题的概念,能正确地判断全称命题和特 称命题的真假.
1.全称命题 “所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等都是在指定范围内, 表示整体或全部的含义,这样的词叫作全称量词,含有全称量词的 命题,叫作全称命题. 【做一做1】 下列命题中是全称命题并且是真命题的是( ) A.菱形的四条边相等 B.若2x是偶数,则任意x∈N C.任意x∈R,x2+2x+1>0 D.π是无理数 解析:选项A,C是全称命题,但选项C是假命题. 答案:A
又f(x)=(x-1)2+4,∴f(x)min=4,∴m>4.
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二
特称命题的判断
【例2】 判断下列命题是否为特称命题,并判断其真假.
(1)存在一个
x∈R,使1 ������-1 Nhomakorabea=
0;
(2)存在一组m,n的值,使m-n=1;
(3)至少有一个集合A,满足A⫋{1,2,3}.
分析:用特称命题的概念来判定.要判定特称命题“存在x∈M,使
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)是全称命题.因为2是素数,但2不是奇数, 所以该命题是假命题. (2)是全称命题.因为对任意x∈N,2x+1都是奇数,所以该命题是真 命题. (3)是全称命题.由平行四边形的性质可知,该命题是真命题.
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练1】 判断下列命题的真假. (1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P; (2)存在一个函数,既是偶函数又是奇函数; (3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示; (4)存在一个实数x,使得等式x2+x+8=0成立; (5)任意x∈R,x2-3x+2=0; (6)存在x∈R,使x2-3x+2=0.
全都不为 0;③是真命题.
答案:③
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 全称命题的判断
【例1】 判断下列命题是否为全称命题,并判断其真假. (1)所有的素数都是奇数; (2)对任意x∈N,2x+1是奇数; (3)每一个平行四边形的对角线都互相平分. 分析:依据全称命题的概念来判定.要判定全称命题“对任意 x∈M,p(x)成立”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成 立,要判定全称命题是假命题,只需找到M中一个元素x0,使p(x0)不成 立即可.
p(x)成立”是真命题,只需在集合M中找到一个x,使p(x)成立,如果在
集合M中,使p(x)成立的元素不存在,那么它是假命题.
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)是特称命题.不存在
x∈R,使
1 ������-1
=
0
成立,所以该命题是
假命题.
(2)是特称命题.当m=4,n=3时,m-n=1成立,所以该命题是真命题.
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)是真命题. (2)是真命题.如函数f(x)=0既是偶函数又是奇函数. (3)是假命题.如边长为 1 的正方形,对角线的长度为 2, 不能用正有理数表示. (4)是假命题.方程x2+x+8=0的判别式Δ=-31<0,故该方程无实数 解. (5)是假命题.只有当x=2或x=1时,等式x2-3x+2=0才成立. (6)是真命题.x=2或x=1,都使得等式x2-3x+2=0成立.