拱桥的设计

《课题学习：拱桥设计》
一、教学内容分析
本节课是《义务教育课程标准实验教科书·数学·九年级下册》（北师大版）《课题学习：拱桥设计》。

这是一节课题学习的课程，旨在使学生经历研究性学习的过程，体会数学在建筑上的应用，并把所学二次函数的知识运用到桥梁设计上。

学生在进行桥梁设计的过程中，经历查阅资料、访问专家、进行计算与设计、撰写研究报告、交流与改进等过程，从中培养学生的科学态度和人文精神。

二、学生学习情况分析
《课题学习：拱桥设计》是在学生系统学习了二次函数概念，基本掌握了二次函数的性质的基础上展开的。

学生已积累了用函数观点处理实际问题的初步经验。

所任班级的学生思维较为活跃，在探索式的课堂教学中能够积极思维,大胆发表自己的见解和看法，但要求学生独立探索完成拱桥设计还有一定的难度。

三、教学目标
(一)知识与技能目标：1、了解桥梁的种类、历史及桥梁设计方面的知识。

2、理解抛物线桥拱的形状与二次函数之间的关系。

(二)过程与方法目标：1、经历查阅资料或访问专家获得桥梁及桥梁设计方面的知识，初步获得科学研究的体验。

2、经历把实际问题抽象为数学模型进而用数学知识进行解决的过程，发展应用数学解决问题的能力。

(三)情感、态度与价值观目标：1、通过学习培养学生积极的情感态度与世界观，体会数学与生活的紧密联系和数学的应用价值。

2、通过合作交流解决问题，获得运用知识解决问题的成功体验，树立学好数学的自信心。

四、教学重、难点
1、教学重点：把拱桥问题抽象成数学函数问题，实现数学建模；利用二次函数知识进行拱桥设计。

2、教学难点：实现数学建模的过程。

3、教学准备：教师制作多媒体课件，学生准备收集好的桥梁资料、尺子、计算器等。

五、教学活动
（一）情境展示
提前一周让学生以走访、上网或访问专家的形式搜集桥梁图片及有关桥梁形状、历史、设计、建造等方面的知识。

以此丰富学生对桥的认识，为后继的拱桥设计做铺垫；同时也锻炼了学生的社会交往能力和信息处理能力。

【活动1】学生展示廊桥图片并介绍。

（宁德市屏南县万安
桥）（宁德市寿宁县杨梅州桥）
（宁德市屏南县千乘
桥）（宁德市周宁县登龙桥）
【活动2】学生展示图片，并对图片中桥梁进行介绍、分类，丰富对桥的认识。

【学生活动】展示并介绍：
（世界最大跨径斜拉桥苏通长江大桥）（材质特殊的桂林玻璃桥）
（《清明上河图》中所画的汴梁虹桥）（历史久远的卢沟桥）
（形成优美抛物曲线的颐和园十七拱桥）（现存最早、最好的赵州桥）
附：【图片介绍】
1、苏通长江大桥：是世界最大跨径斜拉桥，创造了4项斜拉桥世界纪
录。

双向6车道，全长35.673公里。

关于这座桥的建设光进行可行性分析就花费了十年的时间，修建的经费高达118亿人民币，可谓是中国的世纪工程之一。

其雄伟的身姿成为横跨在长江之上的一道亮丽风景。

2、桂林玻璃桥：是我国第一座采用特种水晶玻璃构架的实用性桥梁。

整座桥晶莹剔透，美轮美奂，是景区一道亮丽景观。

3、汴梁虹桥：是北宋画家张择端在《清明上河图》中所画的汴梁虹桥。

这座桥是单跨木构拱桥，是那一时期木拱桥的代表作。

4、卢沟桥：距今有800年历史了。

这座桥不仅在工程上有许多突出成就，而且桥上华表、桥栏和石狮等雕刻精美生动，常受到古今中外游人的赞美。

5、北京颐和园十七孔桥：其桥面中间高，两边低，形成优美的抛物曲线，飞跨于昆明湖之上，是园内一重要景点。

6、赵州桥：是一座弧形单孔石拱桥。

它是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史。

【教师活动】点评：通过对具有悠久历史的赵州桥、芦沟桥等古代桥梁的介绍，让我们体会到古代劳动人民的伟大智慧和高超技术；世界最大跨径斜拉桥苏通长江大桥的介绍，让我们意识到我国现有的综合国力的强大，我们应为身为中华儿女而感到自豪！
【设计意图】学生课前的搜集旨在丰富学生对桥的认识，为后继的拱桥设计做铺垫，同时锻炼了学生的社会交往能力和信息处理能力。

通过课堂展示与介绍，锻炼了他们的表达能力，也实现了资源共享。

从中也体现了数学的人文价值。

附：【分类】
按材质分: 木质桥、石桥、砖桥、混凝土桥、钢筋混凝土桥
按外观分: 梁桥、拱桥、斜拉桥、悬索桥、高架桥、组合体系桥
按用途分: 铁路桥、公路桥、管道桥、多用桥
按桥身能否活动分: 固定桥、开启桥、浮桥
拱桥按拱轴线不同可分为：圆弧拱桥、抛物线拱桥、悬链线拱桥。

【教师活动】在介绍的过程中教师有意识地引导学生从桥的材质、外观、用途等方面进行叙述，并对学生叙述中的关键词进行板书。

【学生活动】学生通过这些零散的板书结合自己课前对桥梁的认识，对桥梁从材质、外观、用途等方面进行分类。

在这教师特别指出本节课主要研究的是抛物线拱桥。

【设计意图】通过分类学生对桥有了系统的认识，并从中领会了数学分类思想。

【活动3】学生观看有关赵州桥设计及施工的动画短片，明确桥梁设计所应考虑因素。

【学生活动】观看并回答问题：在进行桥梁设计时应该考虑到哪些因素？（通行是否方便、力学分析、泄洪能力、美观等等）。

【教师活动】若学生得出结论有困难，教师可采用图片定格的方式让学生集中观察某个画面，从而发现得出结论。

【设计意图】希望学生通过观看，了解到桥梁设计是一个复杂的实际问题，除了应用数学知识之外，还要考虑种种因素。

同时可教导学生：考虑问题要全面、缜密，要努力学习更多更全面的知识才能更好地为社会为人类做贡献。

并且动画片的形式也增强了课堂的趣味性。

（二）建立模型
【活动4】经历从“实物—模型—函数图像—函数表达式”的抽象过程，实现数学建模。

（1）【问题】抛物线桥拱的形状由什么因素来决定？（跨度和拱高）
（上承式抛物线拱桥）（中承式抛物线拱
桥）（下承式抛物线拱桥）
【教师活动】为进一步认识拱桥三大类型并分析抛物线拱桥，教师选取三张具有代表性的抛物线拱桥进行呈现。

【学生活动】学生凭借之前对桥梁的认识，能够知道这三座桥分别属于上承式、中承式、下承式抛物线拱桥。

也有学生提出：它们都是抛物线拱桥，但桥拱的形状却不太一样，有的跨度大、有的小，有的拱高高、有的低。

此时教师因势利导反问学生：“这些抛物线桥拱的形状由什么因素来决定？”通过观察学生很容易得出其主要决定因素是跨度和拱高。

（图中标识）
（2）实现从“实物—模型”的转化
桥梁建造前都要有设计图。

在这给学生呈现了三类抛物线拱桥的对应模型：
比较三个模型学生可直观发现他们仅是桥面所处的位置不同。

教师引导学生思考：若不考虑桥面所处位置，且在桥拱形状相同的前提下可否把这三种情况归结为一种模型进行讨论？答案是肯定的。

（图片移动）
（3）围绕以下三个问题的展开，实现从“模型—函数图像—函数表达式”的转化。

【问题一】：我们知道二次函数的图象是抛物线，那么抛物线桥拱形状与我们所学的二次函数图像之间有什么关系？
【问题二】：在已知跨度和拱高的前提下，可否求出桥拱对应的函数表达式？
【问题三】：根据跨度和拱高可求出桥拱对应的函数表达式，反之函数表达式y＝ax?＋bx＋c的系数是如何影响桥拱的跨度和拱高，从而影响桥拱形状的？
【设计意图】这个年龄段的学生独立思考和探索的愿望和能力较强，所以在这设置了问题情境，给学生提供了充分探索与交流的空间。

通过对问题串的解决，发展他们的创新意识和实践能力，实现从“模型—函数图像—函数表达式”的转化。

分析问题一：教师采用多媒体辅助教学，在抛物线桥拱模型上建立平面直角坐标系，实现模型到函数图像的转化。

这时学生产生疑问：“直角坐标系可以建立在其它位置吗？”由学生组内讨论解决，让学生明确可选择在不同位置上建立直角坐标系。

“那么是否有最优方案？”带着这个疑问，给学生提出了第二个问题。

对于问题二：学生根据已学的二次函数知识可知：要求出函数表达式，得已知图像上点的坐标，那么如何由已知条件得到点的坐标。

这时教师可引导学生把跨度、拱高转化成线段的长度，从而得到对应点的坐标，即可求解得到函数表达式。

学生通过观察结合已有的知识可知：根据建立的直角坐标系的位置的不同，求解函数表达式的难易程度就不同，所得的函数表达式也不同。

以此引导学生应该合理恰当的建立直角坐标系，从而使问题的求解过程直观简洁。

针对问题三：教师可采用几何画板的可操作性来形象演示：通过改变函数表达式y＝ax?＋bx＋c系数的值从而影响抛物线形状和位置。

通过演示学生易发现：当b=0时，抛物线形状与位置直接由系数a、c的值决定。

至此学生经历了：从“实物—模型—函数图像—函数表达式”的抽象过程，实现了数学建模。

【设计意图】利用多媒体丰富的表现形式把抽象的数学概念转化为学生容易接受的直观形式，从而顺畅地把桥梁问题抽象成数学问题。

让学生形象感受了数学中数形结合的思想。

并且实现了本节课数学建模这难点的突破。

根据新课改理念，为了发展学生应用数学知识解决实际问题的能力，设置了第三个教学环节。

（三）拱桥设计
【活动5】出示情境
“福安市区，龟湖河穿城而过，为连接市区与阳头新开发区现急需在河上架设一座公路桥，桥下是一条宽46m的河流，河面距所要架设的公路桥桥面的高度是12m。

专家分析，架抛物线型拱桥是最佳选择。

请按专家的建议，小组合作，设计一座公路桥。

要求：①作出拱桥设计图（图中标出桥的跨度、桥拱最高点距桥面的距离等有关数据）；②说明设计思路（如：你受到了哪些启发，考虑了哪些因素，遇到了哪些困难，如何克服的等）；
③求出桥拱抛物线的表达式。

”
教师以本市群益桥为背景，经过适当的刻画，表达成一个数学问题，目的是激发学生学习兴趣，体验数学走入生活的魅力。

为引导学生更好的分析这个实际问题可设置以下两个问题，通过对问题的思考从而实现明确解题目标和降低思维难度的目的。

【问题一】这个情境需要我们解决的是什么问题？有何具体要求？
【问题二】你将如何将此实际问题转化成数学模型，进而求出桥拱对应的函数表达式？
（四）交流方案
【活动6】由小组派代表利用投影展示自己的设计，展示内容为：①设计思路及设计图②由设计图抽象出的数学模型③函数表达式及求解过程
【问题】这种设计的优越性在哪儿？不足是什么？如何改进？
在展示过程中，教师问题的形式引导学生深入地去思考和剖析自己或同学的设计，从而达到完善设计方案的目的。