高中人教A数学选修2-3学案：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 含答案

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
自主预习·探新知
情景引入
幻方，在我国也称纵横图，它的神奇特点吸引了无数人为之痴迷．一天，时任台州地方官的杨辉外出巡游，遇到一学童，学童正在为老先生布置的题目犯愁：“把1到9的数字分行排列，不论竖着加，横着加，还是斜着加，结果都等于15”．杨辉看到这个题顿时兴趣大发，于是和学童一起研究起来，直至午后，两人终于将算式摆出来了．杨辉回到家后，反复琢磨，终于发现了规律，并总结成四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出．”就是说：先把1～9九个数依次斜排，再把上1下9两数对调，左7右3两数对调，最后把2,4,6,8向外面挺出，这样三阶幻方填好了．杨辉还系统研究了四阶幻方至十阶幻方，并且他还发现了著名的杨辉三角．
那么，杨辉三角与二项式定理中的二项展开式有何关系呢？
新知导学
1．杨辉三角的特点
(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数__相等__．
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的__和__，即C r n＋1＝
__C r－1
n
＋C r n__．
2．二项式系数的性质
对称性与首末两端“__等距离__”的两个二项式系数相等(即C m n＝C n－m
n
)．
增减性当k<__
n＋1
2__时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值
最大值当n是偶数时，中间一项二项式系数取得最大值__C n2
n
__
当n是奇数时，中间两项二项式系数相等，同时取得最大值__C n-12
n
＝C n+12
n
__
各二项式
系数的和
C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝__2n__.
C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝__2n－1__.
预习自测
1．二项式(x－1)n的奇数项二项式系数和是64，则n等于(C)
A．5B．6
C．7D．8
[解析]二项式(a＋b)n的展开式中，
奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，
∴2n－1＝64，∴n＝7.故选C．
2．(全国卷Ⅲ理，4)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(C)
A．－80B．－40
C．40D．80
[解析]因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C35·22＝－40，
x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C25·23＝80．
所以x3y3的系数为80－40＝40．
故选C．
3．已知(1＋2x)n的展开式中所有系数之和等于729，那么这
个展开式中x3项的系数是(B)
A．56B．160
C．80D．180
[解析]由条件知(1＋2)n＝729，∴n＝6，∴展开式的通项为T r＋1＝C r6(2x)r＝2r C r6x r，令r ＝3得23C36＝160．
4．(2020·深圳二模)若(x－
4
x)
n的展开式中各项系数的和为81，则该展开式中的常数项为__96__．
[解析]在(x－
4
x)
n中，令x＝1可得，其展开式中各项系数和为(－3)n，结合题意可得(－3)n＝81，解得n＝4．
∴(x－
4
x)
n的展开式的通项公式为：T r
＋1
＝C r4x4－r(－
4
x)
r＝(－4)r·C r4·x4－2r，
令4－2r ＝0，解得r ＝2.∴常数项为C 24×(－4)2＝96．
故答案为96．
互动探究·攻重难
互动探究解疑 命题方向❶
与杨辉三角有关的问题
典例1 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所指的数组成一个锯齿形
的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n 项和为S n ，求S 19．
[思路分析] 由数列的项在杨辉三角中的位置，将项还原为二项式系数，然后结合组合数的性质求和．
[解析] 由杨辉三角可知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23；第4项是C 13，…，第17项是C 210，第18项是C 110，第19项是C 2
11．
故S 19＝(C 12＋C 22)＋(C 13＋C 23)＋(C 14＋C 24)＋…＋(C 110＋C 210)＋C 211 ＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋…＋C 2
11)
＝
(2＋10)×9
2
＋C 312＝274． 『规律总结』 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
┃┃跟踪练习1__■
(1)如图，此数表满足：①第n 行首尾两数均为n ；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行第2个数是__n 2－n ＋2
2
__．
1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 … … …
(2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第__2n －1__行；第61行中1的个数是__32__．
[解析] (1)由图中数字规律可知，第n 行的第2个数是[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋1＝
n (n －1)
2＋1．
(2)观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n 次全行的数都为1的是第2n －1行；∵n ＝6⇒26－1＝63，故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第61行共有32个1．
命题方向❷
二项展开式的系数和问题
典例2 在(2x －3y )10的展开式中，求：
(1)各项的二项式系数的和；
(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和； (3)各项系数之和；
(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和． [解析] 在(2x －3y )10的展开式中：
(1)各项的二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210
＝1024．
(2)奇数项的二项式系数的和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29＝512，偶数项的二项式系数的和为C 110＋C 310＋…＋C 910
＝29＝512． (3)设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10(*)，各项系数之和即为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求解．令(*)中x ＝y ＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1．
(4)奇数项系数的和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10，偶数项系数的和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 8．
由(3)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1.①
令(*)中x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510.② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， 故奇数项系数的和为1
2(1＋510)；
①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， 故偶数项系数的和为1
2
(1－510)．
『规律总结』 求展开式的各项系数之和常用赋值法．
“赋值法”是求二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x ＝－1则可得各项系数绝对值之和．
┃┃跟踪练习2__■
(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
[解析] T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n ·25＝C 6n ·26⇒n ＝8． ∴(1＋2x )8的展开式中二项式系数最大的项为T 5＝C 48
(2x )4＝1 120x 4， 设第r ＋1项系数最大，
则有⎩⎪⎨⎪⎧
C r 8·
2r ≥C r －
18·2r －
1C r 8·2r ≥C r ＋18·
2r ＋
1， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧
8！·2r ！(8－r )！≥8！
(r －1)！(8－r ＋1)！，
8！r ！(8－r )！≥8！·2
(r ＋1)！(8－r －1)！
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
2(8－r ＋1)≥r ，
r ＋1≥2(8－r ) ⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
r ≤6，r ≥5⇒5≤r ≤6． 又∵r ∈N ， ∴r ＝5或r ＝6，
∴系数最大的项为T 6＝1792x 5，T 7＝1792x 6．
有关二项式系数和展开式的系数和的问题
典例3 设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100，求下列各式的值．
(1)a 0；
(2)a 1＋a 2＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；
(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2． [思路分析] 用赋值法求各系数的和．
[解析] (1)由(2－3x )100展开式中的常数项为C 0
100·2100，即a 0＝2100(或令x ＝0，则展开式
可化为a 0＝2100)．
(2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，① ∴a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100． (3)令x ＝－1，
可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100，② 与①联立相减可得
a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002
．
(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…＋a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)] ＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100) ＝(2－3)100×(2＋3)100＝1． 『规律总结』 1.各项的系数和
一般地，二项展开式f (x )中的各项系数和为f (1)，奇数项系数和为1
2[f (1)＋f (－1)]，偶数项
系数和为1
2
[f (1)－f (－1)]．
2．赋值法
“赋值法”是求二项展开式系数问题的常用方法，赋值就是对展开式中的字母用具体数值代替，注意赋的值要有利于问题的解决，赋值时可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．
┃┃跟踪练习3__■
(2020·深圳高二检测)已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7． 求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|． [解析] 令x ＝1，则
a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1① 令x ＝－1，则
a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37②
(1)∵a 0＝C 07＝1，
∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2． (2)由(①－②)÷2，得
a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094．
(3)由(①＋②)÷2，得
a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372
＝1 093．
(4)解法一：(1－2x )7的展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|
＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7) ＝1 093＋1 094＝2 187．
解法二：∵|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|是(1＋2x )7展开式中各项的系数和． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187．
学科核心素养 杨辉三角的应用
(1)二项式展开时，在指数不太大的情况下，直接利用杨辉三角展开比较简便．由于杨辉三角仅仅反映了二项展开式的各项系数的规律，因此还应该理解并掌握指数变化的规律．如(a ＋b )6的展开式中a 的指数，由首项的6次逐项下降为0次，b 的指数由首项的0次逐项上升为6次，各项中a ，b 的指数和为6，恰好等于二项式的指数．
(2)二项式系数仅指项的组合数，解决有关二项式系数的问题时，往往运用组合数公式．
典例4 如图所示，在杨辉三角中，猜想第n 条和第(n ＋1)条斜线上各数之和与
第(n ＋2)条斜线上各数之和的关系，并证明你的结论．
[思路分析] 利用“先从特殊到一般，再由一般到特殊”的思想发现结论，然后再证明它的一般性．
[解析] 第n 条和第(n ＋1)条斜线上各数之和等于第(n ＋2)条斜线上各数之和．证明如下：
第n 条斜线上各数之和为C 0n －1＋C 1n －2＋C 2n －3＋C 3n －4＋C 4
n －5＋…，
第(n ＋1)条斜线上各数之和为C 0n ＋C 1n －1＋C 2n －2＋C 3n －3＋C 4n －4＋…，
第n 条斜线上各数与第(n ＋1)条斜线上各数之和为：
(C 0n －1＋C 1n －2＋C 2n －3＋C 3n －4＋C 4n －5＋…)＋(C 0n ＋C 1n －1＋C 2n －2＋C 3n －3＋C 4n －4＋C 5n －5＋…)＝C 0
n ＋(C 0n －1＋C 1n －1)＋(C 1n －2＋C 2n －2)＋(C 2n －3＋C 3n －3)＋(C 3n －4＋C 4n －4)＋…＝C 0n ＋1＋C 1n ＋C 2n －1＋C 3n －2＋C 4
n －3
＋…．
这正好是第(n ＋2)条斜线上各数之和．
『规律总结』 破解此类题的关键：一是归纳思想，即由前面几行所得的结果猜想出一般的结论；二是性质的应用，利用二项式系数的性质，证明所猜想的结论是正确的．
易混易错警示
注意区分项数与项的次数
典例5 已知(2x －1)n 的展开式中，奇次方项系数的和比偶次方项系数的和小
316，求C 2n ＋C 4n ＋C 6n ＋…＋C n n 的值．
[错解] 设f (x )＝(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，且奇次项系数的和为A ，偶次项系数的和为B ，则A ＝a 0＋a 2＋a 4＋…，B ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，由条件得B －A ＝316，又f (1)＝a 0＋a 1＋…＋a n ＝B ＋A ＝1，f (－1)＝a 0－a 1＋…＋(－1)n a n ＝A －B ＝－316，
∴A ＝1
2
(1－316)．
即C 2n ＋C 4n ＋C 6n ＋…＋C n n ＝12(1－316)－1＝－12
(1＋316)． [辨析] 上述解答有两处错误，一是混淆了奇数项与奇次方项，偶数项与偶次方项；二是
没有弄清C 2n ＋C 4
n ＋…＋C n n 的准确含义．
[正解] 设f (x )＝(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n ，且奇次方项系数和为A ，偶次方项系数和为B ，则依题意可得，A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋…，且B －A ＝316，
令x ＝－1得，f (－1)＝(－3)n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ＝(a 0＋a 2＋…)－(a 1＋a 3＋…) ＝B －A ＝316＝(－3)16， ∴n ＝16．
从而C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＋C n n ＝C 016＋C 216＋C 416＋…＋C 1616＝216－
1＝215． ∴C 2n ＋C 4n ＋…＋C n n ＝215－1．
[误区警示] 在二项展开式中，要正确理解与区分：(一)第n 项，第n 项的次数，第n 项的二项式系数；(二)项数与项的次数(如奇数项与奇次方项，偶数项与偶次方项)．
课堂达标·固基础
1．(2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( B ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2
[解析] (2－
x )8展开式的通项
T r ＋1＝C r 8·
28－
r ·(－x )
r
＝C r 8·
28－
r ·(－1)r ·x r
2 .由r
2
＝4得r ＝8． ∴展开式中x 4项的系数为 C 88＝1．
又∵(2－x )8展开式中各项系数和为(2－1)8＝1， ∴展开式中不含x 4项的系数的和为0．
2．在(2x －3x )n (n ∈N *)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有系数之和为( D )
A ．32
B ．－32
C ．0
D ．1
[解析] 由题意得2n ＝32，得n ＝5.令x ＝1，得展开式所有项的系数之和为(2－1)5＝1.故选D ．
3．若(1－2x )2 019＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 019x 2 019
(x ∈R )，则a 12
＋a 22
2＋…＋a 2 019
2
2 019的值为(
D )
A ．2
B ．0
C ．－2
D ．－1
[解析] (1－2x )2 019＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 019·x 2 019，令x ＝12，则(1－2×12)2 019＝a 0＋a 12＋a 2
22＋…
＋
a 2 01922 019＝0，其中a 0
＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 019
22 019
＝－1． 4．如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，他们是由正整数倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：11＝12＋12，12＝13＋16，
13＝14＋112，…，则第n (n ≥3)行第3个数字是__2
n (n －1)(n －2)
(n ∈N *，n ≥3)__． 1
1 1
2 12 1
3 16 13 1
4 112 112 14
15 120 130 130 120 15 …
[解析] 依题意得第n －1行第一个数为1n －1，第n 行第一个数为1n ，第n 行第二个数为
1
n －1－1n ，第n －1行第二个数为1n －2－1n －1，第n 行第三个数为(1n －2－1n －1)－(1n －1－1
n )＝2
n (n －1)(n －2)
．
5．在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和．
[解析] 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9．
(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29
．
(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1， ∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1． (3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，
令x ＝1，y ＝－1，可得：a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59， 将两式相加除以2可得：
a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即为所有奇数项系数之和．
(4)解法一：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9，
令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59．
解法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9展开式中各项系数和，令x ＝1，y ＝1得： |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59．。