光的衍射与偏振

根据光栅方程 (a b)sin k
对第k级光谱，角位置从 到k紫
光谱，即要求 的第(k+紫1)级纹在
，亦即
k 1紫 k 红
，要k红产生完整的 的第k级红条纹之后
由
(a b)sink红 k红
(a b)sink1 （k 1）紫
得
k红 (k 1)
I N2I0单
单缝衍射 轮廓线
0
4
8 sin (/d) 8 sin (/d)
光栅衍射
1.3 多光束干涉 明纹条件：
d sin k
（k = 0,1,2,3…）
---光栅方程
缝平面G 透 镜

d
L


观察屏 P
o
dsin 焦距 f
光栅衍射的谱线特点：
（1）主最大明纹的位置对称地分布在中央明纹的两侧，中央明纹 光强最大；（2）在相邻的两个主最大之间，有 若干光强很小的次 极大和极小，实际上在相邻的主极大之间形成一片暗区，即能获得 又细又亮暗区很宽的光栅衍射条纹。
由图示的几何关系得到：
a sin
0， 0
—— 中央明纹(中心)
B
S
*
a
Aδ f
·p

0
f
3、用费涅耳半波带法解释单缝衍射现象
B 半波带 a 半波带
A

λ /2
1
2
21′′
1 2
1′
2′
半波带 半波带
在波阵面上截取一个条状带，使它上下两边缘发的光 在屏上p处的光程差为λ /2，此带称为半波带。
能
不
能
分
能
分
辨
分
辨
辨
δφ
s1*
D δφ
s2*
在恰能分辨时，两个点光源源自文库透镜前所张的角度，称
为最小分辨角δφ。
圆孔衍射的第一级极小值由下式给出：
sinθ 1 =1.22
最小分辨角为：
δφ = sinθ 1 ~θ
λ
D 1=
1.22
λ
D
光学仪器的分辨本领： R 1 D
1.22
实例一：望远镜
两相邻半波带上对应点发的光在P 处干涉相消形成暗纹。
AC aSin 2
2
在波阵面上截 取一个条状带， 使它上下两边 缘发的光在屏
上p处的光程差 a
为λ /2，此带 称为半波带。
A . .. .C A1. A 2.
.
B
AC aSin 3
2
亮纹

x
P
f
三个半波带
A. A1.
-2( /a) -( /a) 0 /a 2( /a) sin
中央极大值对应的明条纹称 中央明纹。
中央极大值两侧的其他明条纹称 次极大。
中央极大值两侧的各极小值称暗纹。
（1）明纹宽度
A. 中央明纹
当 a 时 ， 1 级暗纹对应的衍射角
观测屏
1 sin1
衍射屏 透镜
D
λ
x2 x1 Δ x
D

S1 *
0
I
S2 *
望远镜最小分辨角


1
1.22

D
望远镜分辨本领 R 1 D
1.22
D R
例: 在通常的明亮环境中，人眼瞳孔的直径约为3 mm，问人眼的最小分辨角是多大？如果纱窗上两 根细丝之间的距离 l=2.0mm，问离纱窗多远处人眼
恰能分辨清楚两根细丝？
[例]（1）如果单缝衍射的第一暗条纹发生在衍射角
30 的方位上，问狭缝必须窄到什么程度？
（2）如果所用单缝宽度a=0.5mm,在焦距f=1m的透镜
的焦平面上观测衍射条纹，问中央明纹多宽？其它明纹多
宽？（设所用单色光源波长为


5000

A
。）
解：（1）对第一级暗纹，有 a sin1
dE(p)

dS ·
r
·
Q
p
E

P


S
CK (
r
)
cos(t-
2
r
)dS
S
3. 菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射
3.1 菲涅耳衍射
菲涅耳衍射是指当光源和观察屏，或两者之一离
障碍物（衍射屏）的距离为有限远时，所发生的衍
射现象。
光源
·观察屏
衍射屏
菲涅耳衍射
3.2 夫琅禾费衍射
夫琅禾费衍射指光源和观察屏离障碍物的距离 均为光学无限远时，所发生的衍射现象。
.
.
.
.C
a A 2.
A 3.

x
B.
P
f
AC aSin 4 暗纹
2
四个半波带
•当将缝分成三个“半波带”
B
a
P 处近似为明纹中心
A λ /2
•当将缝分成四个“半波带”
B
a
P 处干涉相消形成暗纹
A λ /2
4.明暗纹条件
结论 分成偶数半波带为暗纹，分成奇数半波带为明纹。
a sin = +kλ a sin = + (2 k +1)λ2


3
2紫

3 2

4 107
m

6 107 m

600nm
d sin k
复色光
屏
φ
0
x
f
三级光谱 二级光谱 一级光谱
[例2] 用每厘米有5000条的光栅，观察钠光谱线， =5890Å。问：（1）、光线垂直入射时；（2）、 光 线以30度角倾斜入射时，最多能看到几级条纹？
由 a sin k
1
0
Δ x0
I
D0
得：
1
a
f
（1）明纹宽度
角宽度为
D0

21

2

a
线宽度为
观测屏
衍射屏 透镜
x2
λ
D
x1
1
0
D0
Δx Δ x0
f
Dx0

2
f
. tg1

2
f1
2
f

a


a
B. 次极大
Dx
f
a

1 2
Dx0
前提仍然是 很小
（2） 缝宽变化对条纹的影响
f
衍射光相干叠加
I
衍射的影响： 多缝干涉条纹各级主极大的强度不再相等，而
是受到了衍射的调制。主极大的位置没有变化。
光栅衍射
I0单 I单
N 4 , 单缝衍射光强曲线
d 4a
-2
-1
0
1
多光束干涉光强曲线
sin2N/sin2
N2
2 sin (/a)
-8
-4
光栅衍射 光强曲线
-8
-4
0
4
解：（1） 据光栅公式 (a +b) sinφ = kλ
a

sin 30
106 m 0.01mm
（2）设第一级暗纹距中央明纹中心为 x1 ，则
x1

f1

f

a
5107 103 1mm 0.5
中央明纹 的宽度为
Dx0

2x1

2
f a


2mm
其它明 纹宽度
[例]在某个单缝衍射实验中，光源发出的光有两种波长
1和2 ，若 1 的第一级衍射极小与 2的第二级衍射极
解 以视觉感受最灵敏的黄绿光来讨论，其波长
=550nm，人眼最小分辨角
R
1.22
d
2.2 104 rad
设人离纱窗距离为S，则

l
s
恰能分辨 R
s l 9.1m
R
光栅衍射
1. 光栅衍射
1.1 基本概念
• 光栅—大量等宽等间距的平行狭缝(或反射面)
构成的光学元件。
包络线为单缝衍射
的光强分布图
中
次极大
央 亮
纹
极小值
主极大 亮纹
k=-6 k=-4 k=-2 k=0 k=2 k=-5 k=-3 k=-1 k=1 k=3
k=4 k=5
k=6
1.4 缺级
由于单缝衍射的影响，在应该出现干涉极大（亮纹） 的地方，不再出现亮纹，称为缺级。
出现缺级必须满足下面两个条件：
(a +b) sinφ = kλ
1
·p
S
*
光源
衍射屏
夫琅禾费衍射
观察屏
单缝的夫琅禾费衍射
1. 单缝夫琅禾费衍射的光路图
缝平面 透镜L
透镜L
B
S
*
a

Aδ f
f
观察屏
·p
0
S: 单色线光源 AB a：缝宽 : 衍射角
单缝的夫琅禾费衍射
2. 单缝夫琅禾费衍射的光程差计算
单缝的两条边缘光束 A→P 和B→P 的光程差，可
ab
ab
或 k红 （k 1）紫
7.6107 k 410（7 k 1）
所以只有 k才满1 足上式，所以只能产生一个完
整的可见光谱，而第二级和第三级光谱即有重叠
出现。
设第二级光谱中波长为 的 光与第三级中紫光开始重
叠，这样
(k 1) k紫
k 2,代入得
缺级： k
= 3,6,9,...
光栅衍射
判断缺级条件
思考
2. 光栅光谱
复色光照射光栅时，谱线按波长向外侧依次分开 排列，形成光栅光谱。

光栅分光镜
例1： 利用一个每厘米刻有4000条缝的光栅，在白光 垂直照射下，可以产生多少完整的光谱？问哪一级光 谱中的哪个波长的光开始与它谱线重叠？
解: 设
紫 400nm 4 107 m 红 760nm 7.6 107 m
小相重合，求：（1）这两种波长之间有何关系？ （2）这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其
它极小相重合？
解：（1）由单缝衍射暗纹条件，得
a sin 1 1 a sin 2 2 2
1 2
1 2 2
（2） a sin 1 k11 2k12
如 1 2

f

a
知
Dx
波长越长，条纹宽度越宽。
例题: 水银灯发出的波长为546nm的绿色平行 光，垂直入射于宽0.437mm的单缝，缝后放置一焦 距为40cm的透镜，试求在透镜焦面上出现的衍射条 纹中央明纹的宽度。
解 两个第一级暗纹中心间的距离即为中央明 纹宽度，对第一级暗条纹（k=1)求出其衍射角
λ a sin λ
( k = 1，2 ，... ) 暗纹 ( k = 1，2 ，... ) 明纹
中央明纹
上述暗纹和中央明纹(中心)的位置是准确的，其余明 纹中心的实际位置较上稍有偏离。
5. 衍射图样
衍射图样中各级条纹的相对光强如图所示.
1 I / I0 相对光强曲线
0.017 0.047
0.047 0.017
点光源经过光学仪器的小圆孔后，由于衍射的影响， 所成的象不是一个点而是一个明暗相间的圆形光斑。中央 最亮的亮斑即为爱里斑。
爱里斑
s1 *
D δφ
s2 *
瑞利判据：如果一个点光源的衍射图象的中央最亮处刚 好与另一个点光源的衍射图象第一个最暗处相重合，认 为这两个点光源恰好能为这一光学仪器所分辨。
恰
缝间光束干涉极大条件
a sinφ = kλ’ 单缝衍射极小条件
缺级条件为：
(a +b) a
=
k
k’
单缝衍射 第一级极 小值位置
光栅衍射 第三级极 大值位置
缺级
k=-6 k=-4
k=-2 k=0
k=2
k=4
k=6
k=-5 k=-3
k=-1 k=1
k=3
k=5
若：
(a +b) 3 a = 1=
kk’，
• 种类：
透射光栅
反射光栅
d
d
• 光栅常数
a是透光（或反光）部分的宽度
b是不透光(或不反光)部分的宽度
d=a+b
光栅常数
光栅衍射
1.2 光栅的衍射图样
包络线为单缝衍射
的光强分布图
中
央
次极大
亮
纹
极小值
主极大 亮纹
k=-6 k=-4
k=-2 k=0
k=2
k=4
k=6
k=-5 k=-3
k=-1 k=1
1. 光的衍射现象
屏幕
阴 影
屏幕
直线传播
衍射现象
惠更斯——菲涅耳原理
2. 惠更斯—菲涅耳原理
波传到的任何一点都是 子波的波源，各子波在空间 某点的相干叠加，就决定了 该点波的强度。
dE CK ( ) dS cos(t - 2r)
r

C — 传播因子, K(θ) —倾斜因子
惠更斯en 菲涅耳
1.619λ sinθ R
sinθ
1
= 0.61
λ
r
=
1.22
λ
D
2.光学仪器的分辩本领
在光学成象问题中，有两种讨论方法：
几何光学 :
(经透镜) 物点 象点 物(物点集合) 象(象点集合)
波动光学 :
(经透镜) 物点 象斑 物(物点集合) 象(象斑集合)
距离很近的两个物点的象斑有可能重叠，从而分辨不清。
k=3
k=5
光栅衍射
1.2 光栅的衍射图样
不考虑衍射时(每缝通过的光可以用几何光学描述), 多缝干涉的光强分布图：
多光束干涉光强曲线
sin2N/sin2
N2
-8
-4
0
4
8 sin (/d)
设光栅的每个缝宽均为a，在夫琅禾费衍射下，每 个缝的衍射图样位置是相重叠的。
光栅衍射
透镜
θ
a
λd
θ
θ
a sin1
式中 很1小
1 sin1 a
中央明纹的角宽度
21 2 a
透镜焦面上出现中央明纹的宽度
Dx

2
ftg1

2
f 1

2 f
a

2546109 0.4 0.437103
1.0 103 m
中央明纹的宽度与缝宽a成反比，单缝越窄，中 央明纹越宽。
由
Dx

1 2
Dx0

f

a
知，缝宽越小，条纹宽度越宽
I
0
sin
当 a 时， Dx ，此时屏幕呈一片明亮；
当 a 时0，
D此x 时屏0，幕上只显出单
一的明条纹 单缝的几何光学像。
∴几何光学是波动光学在/a0时的极限情形
（3） 波长对条纹宽度的影响
仍由
Dx

1 2
Dx0
a sin 2 k2 2 则 2k1 k2的各级暗纹均重合。
圆孔衍射 光学仪器分辨本领
1. 圆孔的夫琅禾费衍射
衍射屏

透镜L 观察屏
1
圆 孔孔
径为D
f
中央亮斑
(爱里斑)
圆孔衍射光强分布
I
爱里斑占整个 入射光束总光 强的84%
第一级暗环的衍射角满足：
1.116 λ
R
0
0.610λ
R