2021-2022学年-有答案-广东省佛山市某校初三(上)10月月考数学试卷

2021-2022学年广东省佛山市某校初三（上）10月月考数学试
卷
一、选择题
1. 已知5x=6y(y≠0)，那么下列比例式中正确的是()
A.x
5=y
6
B.x
6
=y
5
C.x
y
=5
6
D.x
5
=6
y
2. 以下四组线段，成比例的是（）
A.2cm，3cm，4cm，6cm
B.2cm，4cm，6cm，8cm
C.3cm，4cm，5cm，6cm
D.4cm，6cm，6cm，8cm
3. 根据表的对应值，一元二次方程ax2+bx+c=0其中一个解的取值范围是( )
A.1.0<x<1.1
B.1.1<x<1.2
C.1.2<x<1.3
D.1.3<x<1.4
4. 在一个纸箱中，装有红色、黄色、白色的塑料球共200个.这些小球除颜色外其他都完全相同，将球充分摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回箱中，不断重复这一过程，小明发现其中摸到白色球、黄色球的频率分别稳定在15%和45%，则这个纸箱中红色球的个数可能有（）
A.30个
B.80个
C.90个
D.120个
5. 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是()
A.AD=CD
B.AC=BD
C.AD=BC
D.AB=DC
6. 小红、小明在玩“剪子、包袱、锤子”游戏，小红给自己一个规定：一直不出“锤子”．小红、小明获胜的概率分别是P1，P2，则下列结论正确的是（）
A.P1=P2
B.P1>P2
C.P1<P2
D.P1≤P2
7. 已知关于x的一元二次方程mx2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）
A.m<−1
B.m>1
C.m<1且m≠0
D.m>−1且m≠0
8. 电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一
上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（）
A.3(1+x)=10
B.3(1+x)2=10
C.3+3(1+x)2=10
D.3+3(1+x)+3(1+x)2=10
9. 如图，O是矩形ABCD的对称中心，M是AD的中点．若BC=8，OB=5，则OM的
长为()
A.1
B.2
C.3
D.4
10. 如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则
DN+MN的最小值为( )
A.6
B.8
C.12
D.10
二、填空题
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D为斜边AB的中点，AB=10cm，则CD的长为
________cm．
一元二次方程x(x−7)=0的解是________.
若2x=3y，且x≠0，则x+y
的值为________.
y
如图，AD//BE//CF，直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F,若AB=1,BC=3,DE=2，则DF的长为________.
若m是方程2x2−3x−1=0的一个根，则6m2−9m+2020的值为________．
在四张完全相同的卡片上分别印有等边三角形、平行四边形、矩形、正方形的图案，现将印有图案的一面朝下，洗匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为________．
如图，把边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45∘得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长为________.
三、解答题
解方程：2(x−4)2=x2−16.
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若∠AOD=50∘，求∠OAB的度数．
有长为30m的篱笆，如图所示，一面靠墙（墙足够长），围成中间隔有一道篱笆的长
方形花圃，当花圃的面积是72m2时，求AB的长．
某校九年级(2)班A，B，C，D四位同学参加了校篮球队选拔．
(1)若从这四人中随机选取一人，恰好选中B参加校篮球队的概率是________；
(2)若从这四人中随机选取两人，请用列表或画树状图的方法求恰好选中B，C两位同
学参加校篮球队的概率．
如图，AE // BF，AC平分∠BAE，交BF于点C，BD平分∠ABC，交AE于点D，连接CD．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB=5，AC=6，求AE，BF之间的距离．
一商品销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发
现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若每件商品降价2元，则平均每天可售出________件；
(2)当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为1600元？
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，过点C的直线MN // AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
(1)求证：CE=AD；
(2)当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)在(2)的条件下，当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC，CD交于点M，N．
(1)如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是________；
(2)如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线交点），则(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由；
(3)如图3，当点O在正方形的内部（含边界）的任意一点时，OM=ON都成立吗？若
成立，请说明理由；若不成立，请探究当点O的位置满足什么条件时，有OM=ON，
请说明理由．
参考答案与试题解析
2021-2022学年广东省佛山市某校初三（上）10月月考数学试
卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
比例的性质
【解析】
比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案．
【解答】
解：A，x
5=y
6
，则5y=6x，故此选项错误；
B，x
6=y
5
，则5x=6y，故此选项正确；
C，x
y =5
6
，则5y=6x，故此选项错误；
D，x
5=6
y
，则xy=30，故此选项错误.
故选B.
2.
【答案】A
【考点】比例线段【解析】
根据成比例选段的定义，若a、b、c、d是成比例选段，则有a
b =c
d
，据此即可判断．
【解答】
解：A，2
3=4
6
，则是成比例线段，选项正确；
B，2
4≠6
8
，则不是成比例线段，选项错误；
C，3
4≠5
6
，则不是成比例线段，选项错误；
D，4
6≠6
8
，则不是成比例线段，选项错误．
故选A.
3.
【答案】
B
【考点】
估计一元二次方程的近似解
【解析】
利用x=1.1时，ax2+bx+c<0，而x=1.2时，ax2+bx+c>0可判断当1.1<x< 1.2时，ax2+bx+c=0．
【解答】
解：∵x=1.1时，ax2+bx+c=−0.59<0，
x=1.2时，ax2+bx+c=0.84>0，
∴当1.1<x<1.2时，ax2+bx+c=0，
即一元二次方程ax2+bx+c=0其中一个解的取值范围是：1.1<x<1.2．
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
【解答】
解：∵共200个球，其中摸到白色球、黄色球的频率分别稳定在15%和45%，
∴红球所占的比例为100%−15%−45%=40%.
设盒子中共有红球x个，则x
200
×100%=40%，
解得：x=80．
故选B.
5.
【答案】
C
【考点】
菱形的判定
三角形中位线定理
【解析】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF // AD且EF=1
2
AD，
同理可得GH // AD且GH=1
2AD，EH // BC且EH=1
2
BC，然后证明四边形EFGH是平
行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形解答．【解答】
解：还应满足AD=BC．
理由如下：∵E，F分别是AB，BD的中点，
∴EF // AD且EF=1
2
AD，
同理可得：GH // AD且GH=1
2AD，EH // BC且EH=1
2
BC，
∴EF // GH且EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形. ∵AD=BC，
∴1
2AD=1
2
BC，
即EF=EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故选C．
6.
【答案】
A
【考点】
列表法与树状图法
【解析】
根据题意画出相应的树状图，找出小红、小明获胜的情况数，进而求出P1，P2的值，比较即可．
【解答】
解：根据题意画出树状图，如图所示：
所有等可能的情况数有6种，其中小红获胜的情况有2种，小明获胜的情况有2种，
则P1=P2=2
6=1
3
，
故选A．
7.
【答案】
D
【考点】
根的判别式
【解析】
因为关于x的一元二次方程x2−m＝2x有两个不相等的实数根，所以△＝4+4m>0，解此不等式即可求出m的取值范围．
【解答】
解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x−1=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=22−4×m×(−1)=4+4m>0，且m≠0
即m>−1且m≠0.
故选D.
8.
【答案】
D
【考点】
由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】
设平均每天票房的增长率为x，根据三天后累计票房收入达10亿元，即可得出关于x的
一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：3+3(1+x)+3(1+x)2=10．
故选D.
9.
【答案】
C
【考点】
矩形的性质
三角形中位线定理
勾股定理
【解析】
先由矩形的性质得出AB=CD，根据勾股定理求出AB，再求出OM是△ACD的中位线，即可得出OM的长．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，OA=1
2AC，OB=1
2
BD，AC=BD，
∴AC=BD=2OB=10，
∴AB=√102−82=6，
∴CD=6.
∵O是矩形ABCD的对称中心，M是AD的中点，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=1
2
CD=3.
故选C．
10.
【答案】
D
【考点】
轴对称——最短路线问题
【解析】
要使DN+MN最小，首先应分析点N的位置．根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．知点D的对称点是点B，连接MB交AC于点N，此时DN+MN最小值即是BM的长．
【解答】
解：根据题意，连接BD，BM，则BM就是所求DN+MN的最小值，
在Rt△BCM中，BC=8，CM=6
根据勾股定理得：BM=√62+82=10，
即DN+MN的最小值是10.
故选D．
二、填空题
【答案】
5
【考点】
直角三角形斜边上的中线
【解析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=1
2
AB．
【解答】
解：∵∠ACB=90∘，D为斜边AB的中点，
∴CD=1
2AB=1
2
×10=5．
故答案为：5．
【答案】
x1=0，x2=7
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
利用因式分解法解答即可得到方程的根．【解答】
解：x(x−7)=0，
x=0或x−7=0，
即x1=0，x2=7，
故答案为：x1=0，x2=7，．
【答案】
5
2
【考点】
比例的性质
【解析】
根据已知得出x=3
2
y，进而代入求出答案．【解答】
解：∵2x=3y，且x≠0，∴x=3
2
y，
∴x+y
y =
3
2
y+y
y
=5
2
．
故答案为：5
2
.
【答案】
8
【考点】
平行线分线段成比例
【解析】
直接利用平行线分线段成比例定理进而得出结论．【解答】
解：∵AD // BE // CF，
∴AB
BC = DE
EF
.
又∵AB=1，BC=3，DE=2，
∴1
3=2
EF
，
解得EF=6，
∴DF=DE+EF=2+6=8.
故答案为：8.
【答案】
2023
【考点】
一元二次方程的解
【解析】
根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：2m2−3m−1=0，
∴2m2−3m=1，
∴原式=3(2m2−3m)+2020=2023.
故答案为：2023.
【答案】
1
2
【考点】
列表法与树状图法
轴对称图形
【解析】
根据轴对称图形的定义得到等边三角形、矩形和圆是轴对称图形，然后用A、B、C、D 分别表示等边三角形、平行四边形、矩形、圆，画树状图展示所有12种等可能的结果数，其中抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形有6种，再利用概率的定义计算即可．【解答】
解：等边三角形、矩形和正方形是轴对称图形，
用A，B，C，D分别表示等边三角形、平行四边形、矩形、正方形，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形有6种结果，
所以抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为6
12=1
2
．
故答案为：1
2
.
【答案】
2√2
【考点】
旋转的性质
正方形的性质
勾股定理
【解析】
当AB绕点A逆时针旋转45度后，刚回落在正方形对角线AC上，可求三角形与边长的差B′C，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求B′O，OD，从而可求四边形AB′OD 的周长．
【解答】
解：连接B′C，如图，
∵旋转角∠BAB′=45∘，∠BAC=45∘，
∴B′在对角线AC上.
∵AB=AB′=1，用勾股定理得AC=√2，
∴B′C=√2−1，
在等腰Rt△OB′C中，OB′=B′C=√2−1，
∴OC=√2OB′=√2(√2−1)=2−√2，
∴OD=1−OC=√2−1,
∴四边形AB′OD的周长是：2AD+OB′+OD
=2+√2−1+√2−1=2√2．
故答案为：2√2.
三、解答题
【答案】
解：2(x−4)2=(x+4)(x−4)，
2(x−4)2−(x−4)(x+4)=0，
(x−4)[2(x−4)−(x+4)]=0，
(x−4)(x−12)=0，
x−4=0或x−12=0，
∴x1=4，x2=12 .
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
2(x−4)2=(x+4)(x−4)
2(x−4)2−(x−4)(x+4)=0 (x−4)[2(x−4)−(x+4)]=0 (x−4)(x−12)=0
x−4=0或x−12=0
∴x1=4，x2=12 .
【解答】
解：2(x−4)2=(x+4)(x−4)，2(x−4)2−(x−4)(x+4)=0，(x−4)[2(x−4)−(x+4)]=0，(x−4)(x−12)=0，
x−4=0或x−12=0，
∴x1=4，x2=12 .
【答案】
解：∵在矩形ABCD中，
∴AC=BD，OA=1
2AC，OB=1
2
BD，
∴OA=OB．
∵∠AOD=50∘，
∴∠AOB=180∘−∠AOD=130∘，
∴∠OAB=∠OBA=180∘−130∘
2
=25∘ .
【考点】
三角形内角和定理
矩形的性质
等腰三角形的性质
【解析】
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【解答】
解：∵在矩形ABCD中，
∴AC=BD，OA=1
2AC，OB=1
2
BD，
∴OA=OB．
∵∠AOD=50∘，
∴∠AOB=180∘−∠AOD=130∘，
∴∠OAB=∠OBA=180∘−130∘
2
=25∘ .
【答案】
解：设AB长为xm，则BC长为(30−3x)m.
根据题意得：x(30−3x)=72，
x2−10x+24=0，
解得：x1=4,x2=6.
答：AB的长4m或6m．
【考点】
一元二次方程的应用——几何图形面积问题
【解析】
设AB长为xm，则BC长为(30−3x)m根据题意得：x(30−3x)=72x2−10x+24=0解得：x1=4,x2=6.答：AB的长4m或6m．
【解答】
解：设AB长为xm，
则BC长为(30−3x)m.
根据题意得：x(30−3x)=72，
x2−10x+24=0，
解得：x1=4,x2=6.
答：AB的长4m或6m．
【答案】
1
4
(2)列表格：
共有12种等情况数，其中恰好选中B，C两位同学参加校篮球队的有2种，
则P(恰好选中B，C两位同学参加校篮球队)=2
12=1
6
．
【考点】
列表法与树状图法
概率公式
【解析】
（1）直接根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意列出图表得出所有等情况数和选中B、C两位同学参加校篮球队的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】
解：(1)∵九年级(2)班A，B，C，D四位同学参加了校篮球队选拔．
∴从这四人中随机选取一人，恰好选中B参加校篮球队的概率是1
4
.
故答案为：1
4
.
(2)列表格：
共有12种等情况数，其中恰好选中B，C两位同学参加校篮球队的有2种，
则P(恰好选中B，C两位同学参加校篮球队)=2
12=1
6
．
【答案】
(1)证明：∵AE // BF，
∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA.
∵AC，BD分别是∠BAD，∠ABC的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，
∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，
∴AB=BC，AB=AD，
∴AD=BC.
∵AD // BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AD=AB，
∴四边形ABCD是菱形.
(2)解：过A作AM⊥BC于M，则AM的长是AE，BF之间的距离，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC=1
2AC=1
2
×6=3.
∵AB=5，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理得：BO=4，∴BD=2BO=8，
∴菱形ABCD的面积为1
2×AC×BD=1
2
×6×8=24.
∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB=5，
∴5×AM=24，
∴AM=24
5
，
即AE，BF之间的距离是24
5
．【考点】
菱形的面积
菱形的判定
【解析】
（1）根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，求出∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB=BC=AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案；
（2）先求出BD的长，求出菱形的面积，即可求出答案．
【解答】
(1)证明：∵AE // BF，
∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA.
∵AC，BD分别是∠BAD，∠ABC的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，
∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，
∴AB=BC，AB=AD，
∴AD=BC.
∵AD // BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AD=AB，
∴四边形ABCD是菱形.
(2)解：过A作AM⊥BC于M，则AM的长是AE，BF之间的距离，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC=1
2AC=1
2
×6=3.
∵AB=5，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理得：BO=4，∴BD=2BO=8，
∴菱形ABCD的面积为1
2×AC×BD=1
2
×6×8=24.
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=5，
∴5×AM=24，
∴AM=24
5
，
即AE，BF之间的距离是24
5
．
【答案】
24
(2)设每件商品降价x元时，该商品每天的销售利润为1600元，由题意得：(50−x)(20+2x)=1600，
整理得：x2−40x+300=0，
∴(x−10)(x−30)=0，
∴x1=10，x2=30.
∵每件盈利不少于25元，
∴x2=30应舍去．
答：每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1600元．
【考点】
一元二次方程的应用
【解析】
（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价2元，则平均每天可多售出2×2＝4（件），即平均每天销售数量为20+4＝24（件）；
（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种商品利润列出方程解答即可．
【解答】
解：(1)根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价2元，
则平均每天可多售出2×2=4（件），即平均每天销售数量为20+4=24（件）．故答案为：24．
(2)设每件商品降价x元时，该商品每天的销售利润为1600元，
由题意得：(50−x)(20+2x)=1600，
整理得：x2−40x+300=0，
∴(x−10)(x−30)=0，
∴x1=10，x2=30.
∵每件盈利不少于25元，
∴x2=30应舍去．
答：每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1600元．
【答案】
(1)证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC // DE，
∵MN // AB，即CE // AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD.
(2)解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD // CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90∘，D为AB中点，
∴CD=BD，
∴平行四边形BECD是菱形.
(3)解：当∠A=45∘时，四边形BECD是正方形，理由是：
∵∠ACB=90∘，∠A=45∘，
∴∠ABC=∠A=45∘，
∴AC=BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A=45∘时，四边形BECD是正方形.
【考点】
平行四边形的性质与判定
正方形的判定
菱形的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC // DE，
∵MN // AB，即CE // AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD.
(2)解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD // CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90∘，D为AB中点，
∴CD=BD，
∴平行四边形BECD是菱形.
(3)解：当∠A=45∘时，四边形BECD是正方形，理由是：∵∠ACB=90∘，∠A=45∘，
∴∠ABC=∠A=45∘，
∴AC=BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A=45∘时，四边形BECD是正方形.
【答案】
OM=ON
(2)仍成立．
理由：如图2，
连接AC，BD，则
由正方形ABCD可得，∠BOC=90∘，BO=CO，∠OBM=∠OCN=45∘，∵ ∠MON=90∘，
∴ ∠BOM=∠CON.
在△BOM和△CON中，
{∠OBM=∠OCN, BO=CO,
∠BOM=∠CON,
∴ △BOM≅△CON(ASA)，
∴ OM=ON.
(3)当点O在正方形的内部（含边界）的任意一点时，OM=ON不一定都成立，当点O的位置在对角线AC上时，有OM=ON．理由是：
如图3，过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，垂足分别为E，F，
则∠OEM=∠OFN=90∘，
∵ 点O的位置在对角线AC上，即OC平分∠C，
∴ OE=OF.
又∵ ∠C=90∘，
∴ ∠EOF=90∘=∠MON，
∴ ∠MOE=∠NOF.
在△MOE和△NOF中，
{∠OEM=∠OFN, OE=OF,
∠MOE=∠NOF,
∴ △MOE≅△NOF(ASA)，
∴ OM=ON.
【考点】
全等三角形的性质与判定
正方形的性质
【解析】
左侧图片未给出解释
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解：(1)若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是：OM=ON；理由：如图1，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=AD，∠1=∠D=∠BAD=90∘.
∵ ∠MON=90∘，
∴ ∠2+∠4=∠3+∠4，
∴ ∠2=∠3.
在△ABM和△ADN中，
{∠2=∠3, AB=AD,∠1=∠D,
∴ △ABM≅△ADN(ASA)，∴ OM=ON.
故答案为：OM=ON. (2)仍成立．
理由：如图2，
连接AC，BD，则
由正方形ABCD可得，∠BOC=90∘，BO=CO，∠OBM=∠OCN=45∘，∵ ∠MON=90∘，
∴ ∠BOM=∠CON.
在△BOM和△CON中，
{∠OBM=∠OCN, BO=CO,
∠BOM=∠CON,
∴ △BOM≅△CON(ASA)，
∴ OM=ON.
(3)当点O在正方形的内部（含边界）的任意一点时，OM=ON不一定都成立，当点O的位置在对角线AC上时，有OM=ON．理由是：
如图3，过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，垂足分别为E，F，
则∠OEM=∠OFN=90∘，
∵ 点O的位置在对角线AC上，即OC平分∠C，
∴ OE=OF.
又∵ ∠C=90∘，
∴ ∠EOF=90∘=∠MON，
∴ ∠MOE=∠NOF.
在△MOE和△NOF中，
{∠OEM=∠OFN, OE=OF,
∠MOE=∠NOF,
∴ △MOE≅△NOF(ASA)，
∴ OM=ON .
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