圆的基本性质九年级上ppt课件

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B =OA2-OP2
OP ∙ OQ=OP ∙(OP+PQ) =OP2-OP ∙ PQ =OP2- PC ∙ PB
弦相交定理
D
B
M
N
P
A
C
圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 即:在⊙O中;弦AB,CD相交于点P,那么PA·PB=PC·PD
连接BD、AC,则∠B=∠C,∠A=∠D ∴ △PBD ∽△PBA ∴ PA·PB=PC·PD
根据分析,添加辅助线
找出各等量角
∠ACB=∠AFB=∠AFC=∠ABC(等弧对应等圆周角) ∠BED=2∠CED=BAC(已知)
∠BFC+∠BAC=180°(内接四边形对角互补)
条件中存在“两角互 补”,且2倍关系
三角形中角平分线割成的两个 三角形的边的关系如下图
2 ∠EFC+ 2∠CED=180°
∵ CD过圆心O,∴ ∠CAD=90° ∵ ∠B=∠D(同圆共弧) ∴ ∠OCA=∠BPF ∵ ∠OCA=∠OAC ∠2=∠BPF ∴ ∠2=∠OAC (使两△相似的条件)
下面从相交弦定理(圆内的两条相交弦, 被交点分成的两条线段的积相等。)试试。
Q
CG 2P
O
A
1
F
E
∵ PC ∙ PB=PG ∙ PE =(OA-OP)(OA+OP)
M A
E
F
O∙
B
DC
外心:三角形三条边的垂直平方线 的交点,三角形外接圆的圆心。
【分析】OA是半径,要证明EF⊥OA,只要 证明EF平行于OA的切线即可。
证明:作AM⊥OA,垂直为A
由题意,得:∠BFC=∠CEB=90° ∴ B、C、F、E四点共圆 ∴ ∠AEF=∠ACB
∵ ∠MAB=∠ACB (为什么) ∴ ∠ MAB =∠AEF ∴ EF//MA
【分析】对于给定的圆⊙(0,r)。若一点P到O的距离OP<r,则P在⊙(0,r)内。若一点Q到O的距离OQ>r,则Q在⊙ (0,r)外。
解:过P1, P2, P3,…… P99, P100中每两点都作它们的垂直平分线,这样画出的垂直平分线有有线条。在平面上任取一点 O,不在上述所画的直线上。根据中垂线的性质知:OP1,OP2,……,OP100两两不等,不妨从小到大排成一个顺序,就有:
题8:如图,已知△ABC中,AB=AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点,且∠BED=2∠CED=∠BAC。求证:BD=2CD
A
E
D
BG
C
F
A
12
S1 S2
B
D
C
已知:AD平分∠BAC 结论:S1:S2=AB:AC=BD:DC (等高模型)
【分析】从图中我们可以看出,角与角之间的等量关系,应该是解决这个题目的关键。 而在圆中找角的等量关系,圆心角和圆周角能够与线段和弧发生关系。所以,找出等弧 或等弦的圆心角或圆周角,往往是一种辅助手段。
易 错 1、射影定理的线段选择 点
圆中涉及半径、弦、弦心距的有关计算,往往 作弦心距构造Rt△,利用勾股定理求解。
考 点
1、弦长的计算 2、射影定理 3、直角三角形构造
题2:已知,点A在⊙O上,⊙A与⊙ O相交于B,C两点,点D是⊙A上一点,直线BD与⊙O相交于点E。 1)如图1,当点D在⊙O外时,试判断△CED的形状,并证明你所得结论; 2)如图2,当点D在⊙O内时,上述结论是偶还能成立?并说明理由。
Q
C 3P
2
O
1
A
B
F
D
OA2=OP·OQ 转换成比例关系
是否有对应三角形 有:△OAQ∽ △OPA
∠AOQ=∠POA(成立)
待证:∠1=∠Q
∠AOF=∠3(圆周/心角) ∠2=∠BPF=∠QPC
∵ OQ⊥AB ∴ OQ垂直平分AB
∠AOF=∠1+∠2 ∠3=∠Q+∠QPC
题目给定的唯一条件是OQ垂直AB,而在 圆中,过圆心的弦所对应的角是直角,所以 可以构建一条直径,来找圆中角的关系。
B
图1
C E
DO A
B
1)证明:连接BA,交⊙A于点D’,并连结CD’、AC
∵ ∠CEB=∠CAB (等弧的圆周角相同)
∴ ∠CED=∠CAD’
∵ ∠D=∠D’ D’ ∴ ∠ECD=∠ACD’
∴ △ACD’∽ △ECD
解法二: ∠CED=∠CAB=2∠D’ ∠CED=∠D+∠DCE
∵ AC=AD’
∠D=∠D’
∠AOB=2∠ACB
半圆(或直径)所对的圆周角是直角 90°的圆周角所对的弦是直径
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等; 相等的圆周角所对的弧也相等
圆内接四边形
D O
A
如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上,那么这个四边形叫做圆的内 接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆。 C
圆内接四边形的对角互补(∠A+∠C=180°, ∠B+∠D=180° ) B
∴ OA⊥EF
A
B
41
3
O2
C
∵ ∠1+∠4=∠3+∠4=90° ∴∠1=∠3 ∵ ∠2=∠3, 2∠B=∠2+∠3 ∴ ∠3=∠B ∴ ∠1=∠B
半径或直径与圆内的某条直线垂直,可以转化 为与切线的垂直。
考 点
1、圆的直径、半径和切线之间的 关系。 2、切线与弦夹角等于对应圆周角
题5:如图,OQ⊥AB,求证:OA2=OP·OQ
直径 经过圆心的弦
2
3 由圆引出 的概念
圆心 定点O
1
点与圆
P” P
r
P’ O
点与圆的 位置关系
d<r,则点在圆内 d=r,则点在圆上 d>r,则点在圆外
三角形的外接圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆
r
O 三角形的外心
三角形的外接圆:经过三角形各顶点的圆 三角形的外心:这个外接圆的圆心,是三角形三条垂直平分线的交点
任意一个正多边形都有一个外接圆
弧长与扇形面积
弓形 l n°
弓形面积公式:S弓形=S扇形±S△
题1:如图,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,以点C为圆心,CA为半径画弧交AB于D,求AD的长。
B
D M
C
A
【分析】首先需要搞明白AD是圆的弦,且已知条件 中有直角三角形存在。所以应首先考虑弦心距。
概念
P C
在同一平面内,线段OP绕它的一个固定端点O旋转一周,另一 端点P所经过的封闭曲线叫做圆,记作“⊙O”,读做“圆O”。
O
A
B
等圆 半径相等的两个圆
相等的弧 能够重合的圆弧
5
优弧
劣弧
4
弧 圆上任意两点间的部分 半圆 圆的任意一条直径的两个端点分成的两条弧
半径 线段OP
弦 连接圆上任意两点的线段
BF:FC=BD:DC
∠ECF=90° 作∠BEF的平分线 EG⊥BF,且△EGF≌△ECF 作∠BEF的平分线
BD=2CD
题9:如图,已知过⊙O的弦BC的中点A作二弦PQ,RS,连结PS,RQ分别交BC于点M,N。求证:AM=AN
P
R
BM
1 5
S
4A
·O
H
C N
3 1
6Q K
【分析】这是一个蝴蝶模型,有很多证法。下面我们利用圆的对 称性,通过构造轴对称图形的方法来证明。
若弦MN⊥DC,且DC是过圆心的直径,则有PM2=PC ·PD
A
P
E
B
C
D
【分析】阴影部分面积是梯形减去一个扇形 组成的。
考 1、两圆的公切线 点 2、图形的分割与组合
O1 C
A O2
BD
【分析】因为AD、AC分别是⊙O1、⊙O2切线,所以连接AO1 、AO2 ,于是有CA⊥A O1 , DA⊥A O2 。要求得阴影部分的面积,需要得到⊙O1的半径。又AB是公共弦,所以连接 BO1 、BO2 构建两个过圆心的三角形,通过公共弦与两圆的半径关系求解。
∵ DE=DB ∴ ∠E=∠DBE ∴ ∠ADB=2∠E ∵ ∠ADB=∠AMB=2∠AMN
∠AMN=∠ACN ∴ ∠CAN=∠E ∴ CN∥BE
证C为中点
∴ AC=CE=CD+DE(中位线定理)
考 1、圆心角与圆周角定理 点 2、弦长、弧长与对应角间的关系
题4:如图,已知△ABC的垂足三角形为△DEF,O为△ABC的外心,求证:OA⊥EF
【分析】点D是一个动点,要判断△CED的形状,可
D
以让D点在⊙A上转动,并在特殊位置进行观察。
C E
D’ 即,我们将BD绕B点旋转,使D落在⊙O的外面。此 时,当BD经过A时,为特殊位置。
O
A
因为A为圆心,所以AC=AD’,则△CED为等腰三角形
∴ ∠E=∠CAD’,∠EDC=∠D’ ∴ △ACD’∽ △ECD 从而,可得到ED=EC,△CED是 等腰三角形。
定理1 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。 定理2 平分弧的直径垂直平分弧所对应的弦
据垂经定理及推论可知对于一个圆和一条直线来说,如果具备:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦;(4)平分 弦所对的优弧;(5)平分弦所对的劣弧。上述五个论断中的任何两个作为条件都可推出其他三个结论。
圆心角
N
O
A
C
圆心角定理
R
M
B
推理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对应的弧相等,所 对的弦也相等。
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、 两个弦心距中有一对量相等,那么它们所对应的其余各对 量都相等。
任一对相等,另 外三对也相等
圆周角
圆周角 C
圆周角定理
O
A
圆心角 B
C
A
B
推论
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。
C
B
O
PA
图1 Q
PQ
C
B
A
O
图2
Q C
B
O AP
图3
【分析】由题目可知,P、Q分别是由绕点C旋转的一条 直线与直线AB和圆相交的动点。因为Q在圆上,所以 OQ=r(半径)。下面,我们来演示CP旋转的过程。
证明:并延长AD于E,使DE=DB,连接CN、BE、MB
证N为中点
A
N
B
【分析】一条线段与另两条线段的长度和做 比较,应把两条线段之和建构成等效的一条 线段。或者在一条线段上截取与另两条中的 一条相等的线段。即做“图形重建”。
由已知条件可知,N是中点,若建构CN是三 角形的中位线,则C也是三角形上一边的中点。
证明:过点S作SH⊥OA的延长线于点H,并延长SH交圆于点K, 连接AK、NK、QK
∵ A是BC的中点,且O为圆心 ∴ OA⊥BC 且AS=AK(垂径定理)
∴ ∠4=∠5=∠6=∠NAK ∵ R、S、K、Q四点共圆 ∴ ∠5+∠RQK=180° ∴ ∠RQK+∠CAK=180° ∴ A、K、Q、N四点共圆 ∴ ∠2=∠3 ∵ ∠1=∠3 ∴ ∠1=∠2 ∴ △AMS≌△ANK ∴ AM=AN
考 点
1、圆的特点——轴对称图形 2、垂径定理 3、圆周角
请考虑用其它方法来解决
题10:在波平如镜的湖面,高出半尺的地方长着一朵红莲,它孤零零地直立在那里,突然被狂风吹倒一边,有一位渔人亲眼 看见,它现在有两尺远离开那生长地点。请你来解决一个问题,湖水在这里有多少深浅?
A
0.5
B
C2
O
【分析】根据题目意思画出示意图,如左图。OC为 水深,OA为直立的红莲,AC为水面上的部分。
解:连接AO1 、AO2 、 BO1 、BO2
当出现切线时,往往可以考虑添 加过切点的半径或直径。
切线与弦的夹角等于该弦对应的 圆周角。
∵ DA切⊙O1于点A ∴ ∠DAO1 =90° ∵ ∠DAB=30°
∴ ∠BAO1 =60° ∴ △ABO1是等边三角形 ∴ O1的半径为10
考 点
1、圆的切线、公共弦与半径关系 2、圆周角与圆心角 3、勾股定理
圆的内接三角形
图形的旋转
经过旋转所得的图形和原图形全等 对应点到旋转中心的距离相等,任何一对对应点与旋转中心连 线所成的角度等于旋转的角度。
垂径定理
C
O
rAD来自BE两条定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对应的弧。
已知条件:O为圆心,CE为过O的直径,CE⊥AB
弦心距:圆心到圆的一条弦的距离(OD的长是弦AB的弦心距)
OP1<OP2< …… < OP100
按照这样的要求,就可以做出符合要求的圆。
题12:如图,直线AB经过⊙O的圆心,且与⊙O相交于A,B两点,点C在⊙O上,且∠AOC=30°,点P是直线AB上一个动点 (与点O不重合),直线PC与⊙O相交于点Q,问是否存在点P,使得QP=QO?如果存在,那么这样的点P共有几个?并相应求出 ∠OCP的大小;如果不存在,请说明理由。
解:设OC=x,则OA=x+0.5 ∵ A到B是荷花扫过的圆弧 ∴ ∠BCO=90° ∴ x2+22=(x+0.5)2 解得:x=3.75尺
题11:平面上有100个点P1, P2, P3,…… P99, P100,试说明,可以画一个圆,使得圆内恰有k个点,另外100-k(1≤k<100) 个点均在该圆外部。
∴ CE=DE
∴ ∠D=∠DCE
∴ △CED是等腰三角形。
2)与1)类似,找出特殊位置。添加与1)一样的辅助线
∠CAB+∠E=180°, ∠CDB+∠D’=180°(为什么)
1、圆周角定理
考 点
2、圆内接四边形中角的关系 3、图形的运动思想的运用 4、从特殊位置找到结论,再进行
推理的解题技巧
M
E CD
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