(完整)双曲线的方程及其几何性质

双曲线的标准方程及其几何性质
一、双曲线的标准方程及其几何性质。

1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数(大于零，小于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F 1、F 2是焦点,两焦点间的距离｜F 1F 2|是焦距，用2c 表示，常数用2a 表示. (1）若｜MF 1｜-|MF 2｜=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线. (2)若｜MF 1|—｜MF 2｜=—2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线.
(3)若2a =2c 时,动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线。

（4）若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在.
2。

双曲线的标准方程：22
a x -22
b y =1(a ＞0,b ＞0）表示焦点在x 轴上的双曲线;
22a y -22b
x =1(a ＞0，b ＞0)表示焦点在y 轴上的双曲线。

判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2
的系数的符号，焦点在系
数正的那条轴上。

4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。

（1）通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x （或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式∆，则有：⇔>∆0直线与双曲线相交于两个点；⇔=∆0直线与双曲线相交于一个点；⇔<∆0 直线与双曲线无交点．
（2）若得到关于x (或y ）的一元二次方程,则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．
(3)直线l 被双曲线截得的弦长2212))(1(x x k AB -+=或2212))(1
1(y y k
-+
，其中k 是直线l 的斜率，),(11y x ，),(22y x 是直线与双曲线的两个交点A ，B 的坐标,且
212212214)()(x x x x x x -+=-，21x x +，21x x 可由韦达定理整体给出．
二、例题选讲
例1、中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲
线方程为 ( ）
A ．x 2
－y 2
＝1 B ．x 2
－y 2
＝2 C ．x 2
－y 2
＝错误! D ．x 2
－y 2
＝错误!
解析：由题意，设双曲线方程为x 2
a
2－错误!＝1(a >0)，则c ＝错误!a ，渐近线y ＝x ，
∴错误!＝错误!，∴a 2
＝2。

∴双曲线方程为x 2
－y 2
＝2. 答案：B
例2、根据以下条件,分别求出双曲线的标准方程．
（1)过点)2,3(-P ，离心率2
5=
e ． （2）1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，双曲线离心率为2且︒=∠6021PF F ，
31221=∆F PF S ．
解:（1)依题意，双曲线的实轴可能在x 轴上，也可能在y 轴上，分别讨论如下．
如双曲线的实轴在x 轴上，设12222=-b y a x 为所求． 由25
=e ，得4522=a c ． ①
由点)2,3(-P 在双曲线上，得
12922=-b a ．②， 又222c b a =+，由①、②得12
=a ,4
12=b ． ③ 若双曲线的实轴在y 轴上,设122
22=-b
y a x 为所求． 同理有4522=a c ，19222=-b a ,222c b a =+．解之，得
2
17
2-
=b （不合,舍去）． ∴双曲线的实轴只能在x 轴上,所求双曲线方程为1422=-y x ．
(2）设双曲线方程为122
22=-b
y a x ，因c F F 221=，而2==a c e ，由双曲线的定义,得c a PF PF ==-221．由
余弦，得21212
2212cos 2)2(PF F PF PF PF PF c ∠⋅⋅-+=)60cos 1(2)(212
21︒-⋅⋅+-=PF PF PF PF ，
∴21224PF PF c c ⋅+=．又31260sin 2
1
2121=︒⋅=
∆PF PF S F PF ，∴4821=⋅PF PF ． ∴4832
=c ，162
=c ,得42
=a ，122
=b ．∴所求双曲线的方程为11242
2=-
y x ． 三、巩固测试题
1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ D )
A ．椭圆
B ．线段
C ．双曲线
D ．两条射线
2．方程1112
2=-++k
y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是
( D ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k
3． 双曲线14122
2
22=--+m
y m x 的焦距是 ( C ) A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关
4．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线122
22=-b
y a x 有
（ D ）
A ．相同的虚轴
B ．相同的实轴
C ．相同的渐近线
D ． 相同的焦点
5．过双曲线
19
162
2=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ A ） A ．28 B ．22 C ．14 D ．12 6．双曲线错误!－错误!＝1的焦点到渐近线的距离为 ( )
A ．2错误!
B ．2
C 。

错误!
D ．1
解析：双曲线错误!－错误!＝1的焦点为（4,0)或(－4,0)．渐近线方程为y ＝错误!x 或y ＝－错误!x .由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d ＝错误!＝2错误!.
7．以椭圆1582
2=+y x 的焦点为顶点，椭圆的顶点为焦点的曲线的方程为（ ）A A ．15322=-y x B ．13522=-y x C ．181322=-y x D ．151322=-y x 8．过点P （4,4)且与双曲线x 216－y 2
9＝1只有一个交点的直线有 ( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
解析：如图所示，满足条件的直线共有3条．
9．经过两点)3,72(),26,7(B A --的双曲线的方程为 ( )C
A ．
1257522=-y x B ．1257522=-x y C ．1752522=-y x D ．175252
2=-x y 10．已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)，，(40)，
，则双曲线方程为( ） A ．
221412x y B ．
2
21124x y C ．
2
21106x y D ．
2
21610
x y
11．已知P 是双曲线
19162
2=-y x 上的一点，21,F F 是双曲线的两个焦点，且 12021=∠PF F 则21F PF ∆的面积为 （ )D
A ．316
B ．39
C ．34
D ．33
12．双曲线222516400x y -=的实轴长等于 ，虚轴长等于 ,顶点坐标为 ， 焦点坐标为 ，渐近线方程为 ,离心率等于 ．
13．直线1+=x y 与双曲线13
22
2=-y x 相交于B A ,两点，则AB =________ 12．64
14．过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线14
22
=-y x 的弦所在直线方程为 。

13．0543=-+y x
15．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m = 。

双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,∴ m<0，且双曲线方程为2214
x y -+=，∴ m=1
4-.
16．已知双曲线的离心率e ＝错误!，且与椭圆错误!＋错误!＝1有共同的焦点，求该双曲线的方程．
解：在椭圆中,焦点坐标为（±错误!，0),
∴c ＝错误!，又e ＝错误!＝错误!＝错误!，∴a 2
＝8,b 2
＝2. ∴双曲线方程为错误!－错误!＝1。

17．已知1F 、2F 是双曲线1422
=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足 9021=∠PF F ,求21PF F ∆的面积．
解:∵P 为双曲线14
22
=-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点．∴4221==-a PF PF ,52221==c F F
∵ 9021=∠PF F ，∴在21F PF Rt ∆中，202
212
2
2
1==+F F PF PF ∵()162212
22
12
21=-+=-PF PF PF PF PF PF ，∴1622021=-PF PF ，∴221=⋅PF PF
∴12
1
2121=⋅=
∆PF PF S PF F
18．已知在平面直角坐标系xOy
中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为 (2,0)D ，
点11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
（1）求该椭圆的标准方程；（2)若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程； 18.(1）由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=3，则半短轴b=1。

又椭圆的焦点在x 轴上， ∴椭圆的标准方程为14
22
=+y x (2)设线段PA 的中点为M(x ，y ） ，点P 的坐标是(x 0,y 0),
由
x=2
10+x
得
x 0=2x －1 y=2
210+
y y 0=2y －
2
1 由，点P 在椭圆上，得
1)2
1
2(4)12(22=-+-y x ， ∴线段PA 中点M 的轨迹方程是1)4
1
(4)21(22=-+-y x .
19．已知椭圆C 的焦点F 1（－22,0)和F 2（22,0），长轴长6，设直线2+=x y 交 椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。

解：由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上,其中c=22,a=3，从而b=1,所以其标准方程是：
2
2
19x y +=。

联立方程组22192
x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得, 21036270x x ++=。

设A （11,x y )，B(22,x y )，AB 线段的中点为M （00,x y ）那么： 12185
x x +=-,0x =1
29
25x x += 所以0y =0x +2=15。

也就是说线段AB 中点坐标为(-95，1
5)。

20．求两条渐近线为02=±y x 且截直线03=--y x 所得弦长为3
3
8的双曲线方程。

解：设双曲线方程为x 2
-4y 2
=λ。

联立方程组得: 22x -4y =30
x y λ⎧⎨--=⎩，消去y 得，3x 2
-24x+(36+λ）=0
设直线被双曲线截得的弦为AB ，且A （11,x y ),B （22,x y )，那么：12122
83632412(36)0x x x x λλ+=⎧
⎪+⎪
=
⎨⎪∆=-+>⎪⎩
那么：|AB ｜
==解得： λ=4,所以,所求双曲线方程是：2
214
x y -=
21．中心在原点，焦点在x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点21,F F ，且
132||21=F F ，椭圆的半长轴与双曲线的半实轴之差为4,离心率之比为3︰7。

（1）求这两条曲线的方程；
（2）若P 为这两条曲线的一个交点，求21cos PF F ∠的值。

21、解：（1）设椭圆的方程为1212212=+b y a x ，双曲线方程为122
2
222=-b y a x ，半焦距为13=c ，
由已知得：⎩⎨
⎧==⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪
⎨⎧==-23,677/3/4
22112
121b a b a a c a c a a ,故两条曲线分别为：
1364922=+y x 及14
92
2=-y x （2)设θ=∠21PF F ，由余弦定理得：
52||cos ||||2||||221212221==-+F F PF PF PF PF θ……①
由椭圆定义得：196||||2||||212
221=++PF PF PF PF ……②
由双曲线定义得：36||||2||||212221=-+PF PF PF PF ……③ ② – ① 得：72)cos 1(||||21=+θPF PF ， ① – ③ 得:8)cos 1(||||21=-θPF PF 所以
5
4
cos 9cos 1cos 1=⇒=-+θθθ。