(完整版)2013年高考文科数学全国新课标卷2试题与答案

1. 2. 3. 4. 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
（全国卷II 新课标）
第I 卷 、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）已知集合 M = {x | — 3v x v 1}, N = { — 3,— 2,— 1,0,1}，贝U MH N =（ A. { — 2，一 1,0,1} 1 i A. 2 2 B 设x , y 满足约束条件 A. — 7 B △ ABC 的内角 A. 2、. 3+2 { — 3,— 2,— 1,0} C . { —
2,—
-2 D . . 1 1 0,
1 0,则z = 2x — 3y 的最小值是( y 3, .—5 1,0} A , B, C 的对边分别为 a , b , c ,已知 b = 2, 3+1
C ).
D . . { 一 3，一 2，一 1} 2
设椭圆C:笃 a 则C 的离心率为（ A. 6 5. B 2 y 2=1 (a > b > 0)的左、 b 2 2.3 2 右焦点分别为 F i , 6. 已知sin 2 cos 2 A. 6 B .3 C . 2
D . 执行下面的程序框图,
如果输入的 N= 4, 1 1 1 1
1 + - — — 1+ - A.
2
3
4 B 2
1 1 1 1 1
1 + - — — — 1+- C.
2
3
4
5 D 2 7. 2 3 那么输出的 1 b = log 52, B 设 a = log 32, A. a > c > b 一个四面体的顶点在空间直角坐标系
B 丄 6
.3
F 2,
S =( 1 n
-，则△ ABC 勺面积为（
）.
4
P 是C 上的点, PF 丄 F 1F 2, / PFF 2= 30 ° ,
c = log 23,则（
.b >c >a C . c >b >a O- xyz 中的坐标分别是（1,0,1） 以zOx 平面为投影面, D . c > a > b
9 . （0,1,1） ,（0,0,0），画该四面体三视图中的正视图时,
,（1,1,0）,
则得到的正视图可以为（
）.
10•设抛物线c ：y 2= 4x 的焦点为F,直线I 过F 且与C 交于A,B 两点•若| AF J = 3| BF |，则l 的方程为(
).
J。

1)
—(x 1)
A. y = x — 1 或 y = — x + 1 B
.y =
3
或y = 3
f (x 1)
£ (x 1)
(x 1)
¥(x 1)
C. y = 3
或 y = 3
D .
y =
2
或y = 2
11.已知函数 f (x ) = x 3+ ax 2
+ bx + c , 下列结论中错误的是(
).
A.
? x0 € R f(x0) = 0
B. 函数y = f(x)的图像是中心对称图形
C. 若x0是f(x)的极小值点，贝U f(x)在区间(一a, x0)单调递减
D.
若x0是f(x)的极值点，贝U f ' (x0) = 0
12.若存在正数x 使2x (x -a ) v 1成立，则a 的取值范围是(
).
积为 ___________
..
_ n
n ..
16.函数y = cos(2 x +0 )( —n< ©Vn )的图像向右平移 一个单位后，与函数y = sin 2x — 的图 2 3
像重合，则 0 = _____________ .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)已知等差数列｛a n ｝的公差不为零，a 1 = 25,且a 1, an , a 13成等比数列. (1) 求｛a n ｝的通项公式；
(2) 求 a 1 + a 4 + a ? + — + a 3n —2.
A. ( -m,+m )
(—2,+^)
+ ^)
4小题，每小题5分. 中任意取出两个不同的数，其和为
、填空题：本大题共 13. 从 1,2,3,4,5 14.
已知正方形 ABCD 勺边长为2, E 为CD 勺中点，5的概率是
uuu
15.已知正四棱锥
O- ABCD 勺体积为M2 ，底面边长为 .3 , 则以O 为球心,
OA 为半径的球的表面
18.（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABG- ABC中，D, E分别是AB BB的中点.
⑴证明：BC平行面A,CD
⑵设AA1 AC CB 2, AB 2 2,求三棱锥C ADE的体积
B
19. (本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t该产品获利润500元,
未售出的产品，每1 t亏损300元•根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图
所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品.以X(单位：t,100 < X w 150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
(1)将T表示为X的函数；
⑵根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率.
20. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2、、2在y轴上截得线段长为2 3
(1) 求圆心P的轨迹方程；
(2) 若P点到直线y= x的距离为—，求圆P的方程.
2
21. (本小题满分12分)已知函数f(x) = x2e「I
(1)求f (x)的极小值和极大值；
⑵当曲线y =f(x)的切线I的斜率为负数时，求I在x轴上截距的取值范围.
3
5
22. （本小题满分10分）选修4— 1:几何证明选讲
如图，ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线 CD 于点D, E F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC- AE =DC- AF, B ,
E , F, C 四点共圆.
23.（本小题满分10分）选修4— 4:坐标系与参数方程 已知动点P, Q 都在曲线 C ：
x 2cost
(t 为参数)上，对应参数分别为 t = a 与t = 2 a (0 V a < 2 n ),
y 2s in t
M 为PQ 的中点.
（1）求M 的轨迹的参数方程；
⑵将M 到坐标原点的距离 d 表示为a 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.
24.）（本小题满分10分）选修4— 5:不等式选讲 设a , b , c 均为正数，且 a + b + c = 1.证明：
,, 1
（1） ab + bc + ca w — ；
2
c
> 1. a
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
（全国卷II 新课标）
第I 卷
一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.
答案：C
解析：由题意可得，MH N ^ { — 2,— 1,0} •故选C. 2. 答案：C
解析： T = 1 — i ,「• -^ = |1 — i| = A /2 .
1 i
h i|
3.
答案：B
1
二 &ABC = absin
2
5. 答案: 解析: D 如图所示，在Rt △ PFF 2中，| F 1F 2| 设 |PF = x ,则 | PF | = 2x , |PF 2| z 由 tan 30
IF 1F 2I 2c 2.3 c .
3
而由椭圆定义得，| PF | + | PF 2| = 2a = 3x , c
，3c 3
6. 答案: 解析: 由半角公式可
得,
2
cos
7t
解析: 如图所示，约束条件所表示的区域为图中的阴影部分，而目标函数可化为
2 y = — x,
3
代入目标函数得， Z min = 2 X 3— 3X 4=—
当z 最小时，直线在y 轴上的截距最大，故最优点为图中的点 6.
4. 答案：B
n 解析：A =n — ( B+ C ) = n
12
由正弦定理得-^―
sin A 2sin
12
sin B '
7n sin B
. n
sin 6
x=3
-，先画出I o ：
3
1 cos 2
答案：B
解析：由程序框图依次可得，输入 N = 4,
T = 1, S = 1, k = 2;
T - , S 1 + 1, k = 3；
2 2
b .
9.
答案：A
解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系 O-xyz 的图像为下图:
则它在平面 zOx 的投影 即正视图
，故选A.
10.
答案：C
解析：由题意可得抛物线焦点 F (1,0)，准线方程为x =- 1.
当直线I 的斜率大于0时，如图所示，过 A B 两点分别向准线 x =- 1 作垂线，垂足分别为 M N,则由抛物线定义可得，|AM = |AF , |BN =| BF |.
设 | AM = | AF | = 3t (t > 0) , | BN = | BF | = t , | BK | = x ，而 | GF = 2,
1
1 T
S 1 +
3 2
2 T — 1
S 1
4 3 2
输出S 1 1 1 2 3 2
&
答案： D
解析: ,k = 4； 3 2
1 丄 _1_
2
3 2
4 3
■/ log 25> log 23 > 1,
log 23 > 1 >
1
>
log 2 3
> 0,即 log 2 5
log 23> 1> log 32> log 52>0,「. c > a >
1 sin 2
2
2
7.
为
在厶AM 知，由 |NB| |BK| 得
t x
|AM | | AK |， 3t x 4t
解得x = 2t ,则 cos / NB = 1 NB 1
t
1
|BK |
x 2，
•••/ NBK= 60°, 则/ GF = 60°，即直线 AB 的倾斜角为60°
斜率 k = tan 60 ° = J 3，故直线方程为y =J3(x —1) • 当直线I 的斜率小于0时，如图所示，同理可得直线方程为 y = , 3( x -1)，故选C.
14. 答案：2
uuu uur uuu uuur
解析：以AB, AD 为基底，则AB AD 0 , uuu 1 uuu uuur uur uuur uuu 而 AE —AB AD , BD
AD AB ,
11. 答案：C 1,+m
)，故a >— 1时，存在正数x 使原不等式成立. 第n 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。

第 13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第 22题〜第
24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分. 13. 答案：0.2 解析：该事件基本事件空间 Q = {(1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (3,4) , (3,5), 2
(4,5)}共有 10 个，记 A =“其和为 5”= {(1,4) , (2,3)}有 2 个，.P (A ) = = 0.2. 10
2
g
|AO I 掳， S 球=4n R = 24n. 5 n
石
+ — + 2k n, 3
得 5^+2k n , k € 6 5 n
6 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.
解：(1)设｛a n ｝的公差为d .
由题意， = a 1a 13,
即(a 1+ 10d )2 = a 1(a + 12d ).
于是 d (2a 1 + 25d ) = 0.
又 a 1 = 25,所以 d = 0(舍去)，d =— 2.
故 a n =- 2n + 27.
(2)令 S= a 1 + a 4 + a 7 + …+ a 3n - 2.
由(1)知a 3n -2=- 6n +31,故｛ a sn^｝是首项为25,公差为一6的等差数列.
从而 S n = — (a 1 + a 3n -2) = — ( 一 6n + 56) = 一 3n + 28n .
2 2
18.
(1) 证明：BC//平面ACD
⑵ 设AA = AC= CB= 2, AB= 2.2，求三棱锥 JA 1DE 的体积. 解：⑴连结AC 交
AQ 于点F ,则F 为AC 中点.
又D 是AB 中点，连结DF,贝U BC// DF 因为DF ?平面AQD BC 乙平面ACD 所以
BC //平面AQD
(2) 因为ABC-ABC 是直三棱柱，所以 AA 丄CD 由已知 AC= CB D 为AB 的中
点，所以 CDL AB
又 AA Q AB= A ,于是 CDL 平面 ABBA 1.
解析：y
n =cos(2 x + 0 )向右平移—个单位得， 2 y cos 2 x =cos(2 x - n sin 2x + n 二sin 2x 2
n ，而它与函数y 2 sin 2x n 3 的图像重合，令 2x + 0 -=2x 2 1 UUU UULT U ULT
UUU UUU UUU AE BD (—AB AD) (AD AB) uuu 2 15.答案: 2
24 n
UUL T 2 AD 1 22 22 2. 2 解析：如图所示，在正四棱锥 O- ABCDh
1 V — ABCD = X S 正方形 ABCD 3
•IOO = 1 X 3 (.3)2 X|OO =匸, 在 Rt △ OOA 中，OA= 100』|AQ|2 .6 ,
16.答案:
k €
Z , 又一nW 0Vn,・
由 AA i = AC= CB= 2, AB 2 罷得/ ACB= 90°, CD 罷,A 1D 品,DE ^3 , AE = 3, 故 A i D 2+ DE = AE 2,即卩 DEL A i D. 1 1 所以VC- ADE=丄 丄 晶 J3 J 2 = 1. 3 2 19. 解：(1)当 X € [100,130)时，T = 500X - 300(130 — X ) = 800X - 39 000. 当 X € [130,150]时，T = 500X 130= 65 000. 800X 39000,100 X 130, 所以T 65000,130 X 150. ⑵ 由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120W X W 150. 由直方图知需求量 X € [120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润 T 不少于57 000元的概率 的估计值为0.7. 20. 解：(1)设P (x , y )，圆P 的半径为r . 由题设 y 2+ 2= r 2, x 2+ 3= r 2. 从而 y 2+ 2 = x 2+ 3. 故P 点的轨迹方程为y 2-x 2= 1. (2)设Rx 。

，y 。

) •由已知得 以0 y 0 | V2 又P 点在双曲线y 2— x 2 = 1上，
故圆P 的方程为x 2+ (y - 1)2 = 3或x 2+
21.
解：(1) f (x )的定义域为(—8,+s ),
f '( x ) = — e - x x (x — 2).①
当 x € ( — a, 0)或 x € (2 ,+s )时, 从而得 由)<02 此时，圆 由x 0 2
y 0 此时，圆 |x 0 2 y 1 y 2
x y °l 1,
2
x 0
h 得 1 1. X ° y 0,
1.
P 的半径r = 3
1,得 1 y 0 2 x 0 x ° y 0 P 的半径r 0,
1.
、
2
(y +1) = 3.
所以I 在x 轴上的截距为n(t ) = t f(t)
f'(t) 3.
f '(x ) v 0;
当x € (0,2)时，f '(x) > 0.
所以f (x)在(-a, 0) , (2 ,+a)单调递减，在(0,2)单调递增. 故当x = 0时，f (x)取得极小值，极小值为f(0) = 0;
一2
当x = 2时，f (x)取得极大值，极大值为f(2) = 4e .
(2)设切点为(t , f(t)),
则I 的方程为y= f'(t)(x—t) + f(t).
由已知和①得t € (-a, 0) U (2 ,+a ).
2 一
—(x丰0)，则当x€ (0，+a )时，h(x)的取值范围为[2\ 2 ,+a )；
令h(x)= x
x
当x € (-a, - 2)时，h(x)的取值范围是(一a, —3).
所以当t € ( —a, 0) U (2 ,+a )时，mt)的取值范围是(一a, 0) U [ 2、. 2 3 ,+a ).
综上，I在x轴上的截距的取值范围是(—a, 0) U [ 2.2 3 , +a ).
请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂 黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.
22.
解：⑴ 因为ABC 外接圆的切线, 所以/ DCB=Z A.
因为B , E F , C 四点共圆,
所以/ CFE=Z DBC 故/ EFA=Z CFE= 90°
所以/ CBA= 90°, 因此。

人是厶ABC 外接圆的直径.
⑵连结CE 因为/ CBE= 90°,
所以过B , E , F , C 四点的圆的直径为 CE
由 DB= BE 有 CE= DC 又 BC = DB- BA^ 2DB ,所以 CA = 4DB + BC =6DB .
而D C = DB- DA= 3D B ,故过B , E F , C 四点的圆的面积与△ ABC 外接圆面
积的比值为
由题设知 BC
FA DC EA
23.
解：⑴依题意有P (2cos 因此 M cos a + cos 2 a , x M 的轨迹的参数方程为 y ⑵M 点到坐标原点的距离
d = . x 2 当a =，
24. 2 2 2 2 2 2
解：(1)由 a + b A2 ab , b + c A2 bc , c + a A2ca ,
/口 2 2 2 得 a + b + c A ab + bc + ca . 由题设得(a + b + c )2= 1,即 a , 2sin sin a CO S sin a ) , Q 2cos 2 a , 2sin 2 a ), + sin 2 a ). cos2 , (a 为参数，0 V a V 2 n ). sin2 , y 2 2cos (0 V n 时，d = 0,故M 的轨迹过坐标原点. 所以 3( ab + bc + ca ) w 1,即 2 ⑵因为— b b 2 2a ,丄 2 2 2 a + b + c + 2ab + 2bc +2ca = 1.
1 ab + bc + ca w 3
2 —a 2c , a c 2b , 2 ,,a 故一 b 2 即— b c b 2 c 2 b 2 所以—— b c c 2 (a a 2 c A a + a 2
c
A 1.
a b c) A 2(a + b + c ), b + c . 故厶 AEF 所以/ DBC=/ EFA。