第六章 树二叉树

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二、二叉树
二叉树的链式存储
第 六 章 树 和 二 叉 树
由于二叉树最多只有两颗子树，因此可以采用二叉 链表形式存储。
Lchild和Rchild是分别指向该结点左孩子和右孩子的指针
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二、二叉树
二叉树的链式存储定义
第 六 章 树e);
求 e 的右兄弟。若 e 是其双亲的右孩子或无右兄弟， 则返回"空"。
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二、二叉树
二叉树的操作
第 六 章 树 和 二 叉 树
PreOrderTraverse(T, visit());
先序遍历 T，对每个结点调用函数 visit 。
2
3
4二叉树的总度数＝二叉树的节点数－1 5 6
7
n1+2n2=n0＋n1＋n2-1 即： n0=n2+1
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二、二叉树
二叉树的性质
第 六 章 树 和 二 叉 树
④
具有n个结点的完全二叉树的深度为 log2n+1
完全二叉树：n个结点的二叉树，若将它与一棵同深度的满二 叉树中的所有结点按从上到下，从左到右的顺序分别进行编 号，且该二叉树中的每个结点分别与满二叉树中编号为1～n 的结点位置一一对应，则称这棵二叉树为完全二叉树 证明：假设具有n个结点的完全二叉树的深度为K，则根据性 质2可以得出： 2K-1-1< n≤2K-1 将不等式两端加1得到： 2K-1≤n<2K 取以2为底的对数，化简： K-1≤log2n<K 得到：log2n =K-1。 整理：K= log2n+1
证明：采用数学归纳法，请大家自行阅读教材
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二、二叉树
第 六 章 树 和 二 叉 树
二叉树的操作 CreateBiTree(T, definition); 以definition 给出二叉树 T 的定义创建 一棵二叉树 DestroyBiTree(T); 销毁二叉树 T。
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二、二叉树
二叉树的操作
第 六 章 树 和 二 叉 树
LeftChild(T, e);
求结点e的左孩子，若 e 无左孩子，则返回"空"。
RightChild(T, e); 求结点e的右孩子，若 e 无左孩子，则返回"空"。 LeftSibling(T, e); 求结点 e 的左兄弟。若 e 是其双 亲的左孩子或无左兄弟，则返回"空"。
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一、树的基本概念
树的有关概念
第 六 章 树 和 二 叉 树
有序树、无序树：如果树中每棵子树从左向右的排列 拥有一定的顺序，不得互换，则称为有序树，否 则称为无序树。 森林：是m（m≥0）棵互不相交的树的集合。 孩子、双亲：结点子树的根称为这个结点的孩子，而 这个结点又被称为孩子的双亲。 子孙：以某结点为根的子树中的所有结点都被称为是 该结点的子孙。 祖先：从根结点到该结点路径上的所有结点。 兄弟：同一个双亲的孩子之间互为兄弟。 堂兄弟：双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
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一、树的基本概念
树的有关概念
第 六 章 树 和 二 叉 树
结点：数据元素的内容及其指向其子树根的分支统称 为结点 结点的度：结点的分支数。 终端结点（叶子） ：度为0的结点。 非终端结点 ：度不为0的结点。 结点的层次 ：树中根结点的层次为1，根结点子树的 根为第2层，以此类推。 树的度：树中所有结点度的最大值。 树的深度：树中所有结点层次的最大值。
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二、二叉树
二叉树的操作
第 六 章 树 和 二 叉 树
ClearBiTree(&T); 将二叉树 T 清为空树。 InsertChild(&T, p, LR, c); 根据 LR 为 0 或 1，插入 c 为 T 中 p 所指结点的左或 右子树。p 所指结点原有左或右子树成为 c 的右子树。 DeleteChild(&T, p, LR); 其他衍生操作
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二、二叉树
二叉树的遍历
第 六 章 树 和 二 叉 树
先序遍历： A B D G C E F H
先序遍历： ABDGCEFH
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二、二叉树
二叉树的遍历
第 六 章 树 和 二 叉 树
中序遍历： D G B A E C H F
层次遍历： A B C D E F G H
层次遍历： GDBEHFCA
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二、二叉树
第 六 章 树 和 二 叉 树
二叉树的先序遍历 算法思想：判断二叉树是否为空？ 若为空，则结束遍历；否则先访问根； 再先序遍历根的左子树； 最后先序遍历根的右子树 void PreOrder ( BitTree t ) { if ( t )
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二、二叉树
二叉树的遍历
第 六 章 树 和 二 叉 树

定义：按照一定规则访问二叉树的所有节点一次。 根据根结点和左右子树访问的先后不同，有四类七 种遍历操作。 先序遍历：TLR或者TRL 中序遍历：LTR或者RTL 后序遍历：LRT或者RLT 层次遍历：从上到下， 从左到右 依次访问结点
二、二叉树
二叉树的性质
第 六 章 树 和 二 叉 树
① ②
在二叉树的第i层上最多有2i-1个结点（i≥1） 深度为K的二叉树最多有2K-1个结点（K≥1） （ 称为满二叉树） 1 ③ 对于任意一棵二叉树，如果度为0的结点个数为n0，度为2 的结点个数为n2，则n0=n2+1 二叉树的总度数＝n1+2n2 二叉树的节点数＝n0＋n1＋n2
typedef struct bnode { DataType data; struct bnode *lchild, *rchild; } Bnode，*BitTree; 二叉树的链式存储结构类似线性表的双向链表存在两个指针， 分别指向其左右子树，而非双向链表的前驱和后继。 链式结构可以根据二叉树的结点数来动态分配存储空间， 解决了顺序存储结构的问题，因此常用的二叉树采用二叉 链表的形式比较多。 根据操作的不同可以对二叉树进行改进，如：考虑求双亲（前 驱）操作时可以采用什么形式？
当n=0时，称为空二叉树；当n>0时，有且仅 有一个结点为二叉树的根，其余结点被分成 两个互不相交的子集，一个称为左子集，另 一个称为右子集，每个子集又是一个二叉树 。
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二、二叉树
二叉树的基本形态
第 六 章 树 和 二 叉 树
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if ( t ) { InOrder ( t->lchild ); /* 遍历左子树 */ visite (t->data); /* 访问结点内容 */ InOrder ( t->rchild ); /* 遍历右子树 */ }
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第 六 章 树 和 二 叉 树
数据结构的树型结构
树和二叉树
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第六章 树和二叉树
第 六 章 树 和 二 叉 树
【教学目的】掌握树的基本概念，二叉树的基本概念，二 叉树的逻辑结构、存储结构以及二叉树的操作的实现；掌 握二叉树与树和森林的转换，进而掌握树和森林的存储结 构，利用二叉树解决Huffman编码的应用 【教学重点】二叉树的概念、二叉树的递归与非递归遍历 算法、线索化、二叉树与树、森林的转换，Huffman树及 Huffman编码 【教学难点】二叉树的非递归遍历及线索化、Huffman树
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二、二叉树
第 六 章 树 和 二 叉 树
二叉树的操作 BitTreeEmpty(T); 初始条件：二叉树 T 存在。 操作结果：若T为空二叉树，则返回 TRUE，否则返回 FALSE。 Visit(e); 访问e结点。 Parent(T, e); 求e结点的双亲结点，若e是T的非根结 点，则返回它的双亲，否则返回"空"。
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一、树的基本概念
树的几种形态
第 六 章 树 和 二 叉 树
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一、树的基本概念
第 六 章 树 和 二 叉 树
树的特点（逻辑结构） （1）树的根结点没有前驱结点，除根结点之 外的所有结点有且只有一个前驱结点 （2）树中所有结点可以有零个或多个后继结 点
根据 LR 为 0 或 1，删除 T 中 p 所指结点的左或右子树。
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二、二叉树
第 六 章 树 和 二 叉 树
二叉树的顺序存储 回忆性质⑤，完全二叉树
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二、二叉树
二叉树的顺序存储定义
第 六 章 树 和 二 叉 树
#define MaxTreeNodeNum 100 typedef struct { DataType data[MaxTreeNodeNum]; /* 根存储在下标为1的数组单元中 */ int n; /* 当前完全二叉树的结点个数 */ }QBTree; 二叉树是完全二叉树时，没有问题。但是如果是非完全二叉树 怎么办？ 方法：将非完全二叉树以特殊值填充成完全二叉树形式。 新的问题：若为完全二叉树，空间利用率高、寻找孩子和双亲 比较容易。若不是完全二叉树，造成空间利用率的下降。
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二、二叉树
二叉树的性质
第 六 章 树 和 二 叉 树
⑤


对于有n个结点的完全二叉树中的所有结点按从上到下， 从左到右的顺序进行编号，则对任意一个结点i （1≤i≤n），有: 如果i=1，则结点i是这棵完全二叉树的根，没有双亲；否 则其双亲结点的编号为 i/2。 如果2i>n，则结点i没有左孩子；否则其左孩子结点的编 号为2i。 如果2i+1>n，则结点i没有右孩子；否则其右孩子结点的 编号为2i+1。
中序遍历： DGBAECHF
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二、二叉树
二叉树的遍历
第 六 章 树 和 二 叉 树
后序遍历： G D B E H F C A
后序遍历： GDBEHFCA
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二、二叉树
二叉树的遍历
第 六 章 树 和 二 叉 树
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一、树的基本概念

第 六 章 树 和 二 叉 树
树的表示方法
直观表示法 嵌套集合表示法 凹入表示法 //不清晰 广义表表示法
① ② ③ ④
④
② ①
③
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二、二叉树
定义：叉树是n（n≥0）个结点的有限集合。
第 六 章 树 和 二 叉 树
{ visite (t->data); /* 访问结点内容 */ PreOrder ( t->lchild ); /* 遍历左子树 */ PreOrder ( t->rchild ); /* 遍历右子树 */
}
}
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二、二叉树
第 六 章 树 和 二 叉 树
二叉树的中序遍历 算法思想：判断二叉树是否为空？ 若为空，则结束遍历； 否则先中序遍历根的左子树； 再访问根；最后中序遍历根的右子树 void InOrder ( BitTree t ) {
InOrderTraverse(T, vsit()); 中序遍历 T，对每个结点调用函数 Visit。 PostOrderTraverse(T, visit()); 后序遍历 T，对每个结点调用函数 visit。
LevelOrderTraverse(T, visit());
层序遍历 T，对每个结点调用函数 visit 。
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第六章 树和二叉树
本章的主要内容
第 六 章 树 和 二 叉 树

一、树的基本概念 二、二叉树 三、树和森林 四、哈夫曼树
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一、树的基本概念
定义：是一种常非线性结构树是n（n≥0）
第 六 章 树 和 二 叉 树
个结点的有限集合。若n=0，则称为空树； 否则，有且仅有一个特定的结点被称为根， 当n>1时，其余结点被分成m（m>0）个互 不相交的子集T1，T2，...，Tm，每个子集 又是一棵树