标准差公式

标准差（Standard Deviation ） ，也称均方差（mean square e rror ），是各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用S （σ）表示。

标准差是方差的算术平方根。

标准差能反映一个数据集的离散程度。

平均数相同的，标准差未必相同。

标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如下两式：
()1n x x S n 1i 2i --=
∑= 或 1n n x x S 2n 1i i n 1i 2i -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==
即： ()1n x x 1
n n x x S n 1i 2i 2n 1i i n 1i 2i --=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑===
如是总体，标准差公式根号内除以n 如是样本，标准差公式根号内除以（n-1)
因为我们大量接触的是样本，所以普遍使用根号内除以（n-1) 公式意义
所有数减去其平均值的平方和，所得结果除以该组数之个数（或个数减一)，再把所得值开根号，所得之数就是这组数据的标准差。

标准差越高,表示实验数据越离散,也就是说越不精确；反之,标
准差越低,代表实验的数据越精确
简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。

一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。

例如，两组数的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是 7 ，但第二个集合具有较小的标准差。

标准差可以当作不确定性的一种测量。

例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。

当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。

这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。

标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。

标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。

相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。

例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。

这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.07分，B组的标准差为2.37分（此数据时在R统计软件中运行获得），说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。

求证下列公式： ()1n x x 1n n x x n 1i 2i 2n 1i i n 1
i 2i --=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑∑===
由题意可知，求证下列式子即可：
()∑∑∑===-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 1
i 2i 2
n 1i i n 1i 2i x x n x x 假设x i =x _+a i ，既有x i -x _=a i ，
即求证下列式子即可： ()∑∑===-n 1i 2n 1i 2i i a x x
因为：
n
x ......x x x n x x n 321n 1i i ++++==∑= 所以： 0x n a ......a a a (x n )
a x (......)a x ()a x ()a x (x ......x x x x n n 321n 321n
321+=+++++=++++++++=++++=）
所以：
∑=
=
+
+
+
+
=
n
1 i
n
3
2
1
i
a
......
a
a
a
a
所以：
()
()
∑∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑∑∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
===
=
=
=
=
=
=
-
+
+
=
-
+
+
=
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
-
+
+
=
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
-
+
+
=
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
-
+
=
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
n
1
i
2
2
n
1
i
2
2
2
n
1
i
2
n
1
i
i
2
2
n
1
i
2
i
n
1
i
i
n
1
i
2
n
1
i
2
n
1
i
n
1
i
i
2
i
i
2
n
1
i
2
n
1
i
i
n
1
i
2
i
2
n
1
i
i
n 1 i
2
i
i
i
i
a
x n
a
x n
x n
n
1
a
a
x2
x n
x
n
1
a
a x2
x
a
x
n
1
a
a x2
x
n
a
x
a
x
n
x
x
）
（
）
（
）
（
）
（
）
（
设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]^2}存在，则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差，记为D(X)或DX。

即D(X)=E{[X-E(X)]^2}称为方差，而σ(X)=D(X)^0.5（与X有相同的量纲）称为标准差（或均方差）。

即用来衡量一组数据的离散程度的统计量。

方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。

若X的取值比较集中，则方差D(X)较小；若X的取值比较分散，则方差D(X)较大。

因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。

方差的计算
由定义知，方差是随机变量 X 的函数g(X)=[X-E(X)]^2 的数学期望。

即：
由方差的定义可以得到以下常用计算公式：D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2证明：D(X)=E[X-E(X)]^2 =E{X^2-2XE(X)+[E(X)]^2} =E(X^2)-2[E(X)]^2+[E(X)]^2 =E(X^2)-[E(X)]^2 方差其实就是标准差的平方。

方差的几个重要性质
（1）设c是常数，则D(c)=0。

（2）设X是随机变量，c是常数，则有D(cX)=(c^2)D(X)。

（3）设 X 与 Y 是两个随机变量，则D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 特别的，当X，Y是两个相互独立的随机变量，上式中右边第三项为0（常见协方差），则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。

此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况. （4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c，即P{X=c}=1，其中E(X)=c。

常见随机变量的期望和方差
设随机变量X。

X服从(0—1)分布，则E(X)=p D(X)=p(1-p) X服从泊松分布，即X~ π(λ),则 E(X)= λ，D(X)= λX服从均匀分布，即X~U(a，b),则E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)^2/12 X服从指数分布，即X~e(λ), E(X)= λ^(-1)，D(X)= λ^(-2) X 服从二项分布，即X~B(n,p)，则E(x)=np, D(X)=np(1-p) X 服从正态分布，即
X~N(μ,σ^2), 则E(x)=μ, D(X)=σ^2 X 服从标准正态分布，即X~N(0,1), 则E(x)=0, D(X)=1。