（完整版）行列式的计算方法（课堂讲解版）

（完整版）⾏列式的计算⽅法（课堂讲解版）
计算n 阶⾏列式的若⼲⽅法举例
n 阶⾏列式的计算⽅法很多，除⾮零元素较少时可利⽤定义计算（①按照某⼀列或某⼀⾏展开②完全展开式）外，更多的是利⽤⾏列式的性质计算，特别要注意观察所求题⽬的特点，灵活选⽤⽅法，值得注意的是，同⼀个⾏列式，有时会有不同的求解⽅法。

下⾯介绍⼏种常⽤的⽅法，并举例说明。

1．利⽤⾏列式定义直接计算
例计算⾏列式 0
0100200
1000000n D n n
=-L
L
M
M M M L L
解 D n 中不为零的项⽤⼀般形式表⽰为 112211!n n n nn a a a a n ---=L .
该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)
2
n n --，
故(1)(2)
2
(1)
!.n n n
D n --=-
2．利⽤⾏列式的性质计算
例：⼀个n 阶⾏列式n ij D a =的元素满⾜,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称
⾏列式，证明：奇数阶反对称⾏列式为零.
证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L
故⾏列式D n 可表⽰为1213112
23213
2331230000
n n
n n n
n
n
a a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L
，由⾏列式的性质A A '=，1213112
23213
2331230000
n n
n n n n n
a a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00
n n n n n n n
a a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =-
当n 为奇数时，得D n =－D n ，因⽽得D n = 0.
3．化为三⾓形⾏列式
若能把⼀个⾏列式经过适当变换化为三⾓形，其结果为⾏列式主对⾓线上元素的乘积。

因此化三⾓形是⾏列式计算中的⼀个重要⽅法。

化三⾓形法是将原⾏列式化为上（下）三⾓形⾏列式或对⾓形⾏列式计算的⼀种⽅法。

这是计算⾏列式的基本⽅法重要⽅法之⼀。

因为利⽤⾏列式的定义容易求得上（下）三⾓形⾏列式或对⾓形⾏列式的性质将⾏列式化为三⾓形⾏列式计算。

原则上，每个⾏列式都可利⽤⾏列式的性质化为三⾓形⾏列式。

但对于阶数⾼的⾏列式，在⼀般情况下，计算往往较繁。

因此，在许多情况下，总是先利⽤⾏列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三⾓形⾏列式。

例1 计算⾏列式1
1231337952
4
213571464
410
10
2
D -----=-----．解这是⼀个阶数不⾼的数值⾏列式，通常将它化为上（下）三⾓⾏列式来计算．
()()()()()()()()
()()
()()
231321431541234211231112311-12-3100102020410204-1 02
041
010
200-10
-20215302153001-12002
22
00
2
22
2
D +---?+------------------ ()()()()
()()
()()()4352352411231
11231
0304102041
1211612 .0010
2
0010
200010000100
260
06
+++--------=-?---=--------
例2 计算n 阶⾏列式123123
1
23123
1111n n
n n
a a a a a a a a D a a a a a a a a ++=++L
L L L L L L L L
．解这个⾏列式每⼀列的元素，除了主对⾓线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n 列之和全同．将第2，3，…，n 列都加到第⼀列上，就可以提出公因⼦且使第⼀列的元素全是1．
[][]()
()()
()
()()1223231223231223231122
3
2
3
211 12,,2,,11
111
1
1111
1111
11
1n n n n n n n
n i i i i i n
i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==+-==++++++++++??+++++=++
++++++??
+
∑∑L L L L L L L L L L L
L
L L L L L
L L L L L L
L
3110100
111 .00100
1
n
n n
i i i i a a a ==??
=+=+
∑∑L L g L L
L L L L
L
例3 计算n 阶⾏列式a
b b b b
a b b D b
b a b b
b
b
a
=L L L L L L L L L
解：这个⾏列式的特点是每⾏（列）元素的和均相等，根据⾏列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，⾏列式不变，得
(1)(1)(1)(1)a n b b b b
a n
b a b b
D a n b
b
a
+-+-=+-+-L L L L L L L L L
11[(1)]1
1b b b a b b a n b b
a b b
b
a
=+-L L L L L L L L L
1
00
[(1)]0
000
b
b
b a b a n b a b a b
-=+---L
L L L L L L L L
1[(1)]()n a n b a b -=+--
例4：浙江⼤学2004年攻读硕⼠研究⽣⼊学考试试题第⼀⼤题第2⼩题（重庆⼤学2004年攻读硕⼠研究⽣⼊学考试试题第三⼤题第1⼩题）的解答中需要计算如下⾏列式的值：
123123413451
2
1221
n n n n D n n n -=--L L L
M M M M M L
[分析]显然若直接化为三⾓形⾏列式，计算很繁，所以我们要充分利⽤⾏列式的性质。

注意到
从第1列开始；每⼀列与它⼀列中有n-1个数是差1的，根据⾏列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n 列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，⼀直到第⼀列乘以－1加到第2列。

然后把第1⾏乘以－1加到各⾏去，再将其化为三⾓形⾏列式，计算就简单多了。

解：
1
1(2,,)(2,,)
1
111111
1111211111000311112000111
10000001
000002001
1(1)
2000200000
1
00
1(1)()2
i i n n i n r r i n r r n
n n D n n n n n n n
n
n n n n n n
n n n n n n n n n n ===+--=-----++----+=?
-----+=??-L L L L L L L
L M M M M M M M M M M L L
L L L L L L M
M
M M M M M M L L L
L
()(1)(2)
12(1)
12
(1)(1)12
n n n n n n n -----?-+=??-
4．降阶法（按⾏（列）展开法）
降阶法是按某⼀⾏（或⼀列）展开⾏列式，这样可以降低⼀阶，更⼀般地是⽤拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据⾏列式的特点，先利⽤列式的性质化简，使⾏列式中有较多的零出现，然后再展开。

例1、计算20阶⾏列式201
231819202
121718193
2
1
161718201918321
D =L L L
M M M M M M L
20！*20－1次加减法和乘法运算，这⼈根本是⽆法完成的，更何况是n 阶。

但若利⽤⾏列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。

注意到此⾏列式的相邻两列（⾏）的对应元素仅差1，因此，可按下述⽅法计算：
解：
11
2020118(1,(2,,20)
19)1111111231819202111112
121718193
111113
21161718191111
1
20191832120
11111
1111113
022*******
2
21(1)221200000221
000
i i
i i i c c r r D ++==-+---=---------=?-?=-?L
L L L L L L L
M
M
M
M
M
M M
M
M
M M M L L
L
L L L M M M
M M M
L L
18
例2 计算n 阶⾏列式000100000000
00001000n a a a D a a
=L L
L
M M M
M M L L
解将D n 按第1⾏展开
1000000000000(1)0000000001000
n n a a a a D a a a a
+=+-L L L L L
M M M M M M M M L L
L
12(1)(1)n n n n a a +-=+--2n n a a -=-.
例3 计算n （n ≥2）阶⾏列式000100000
0001
a a D a a
=L L L L L L L L L L
．
解按第⼀⾏展开，得()1000000
00
00010
000
01
00
n
a a a a
D a a a
+=+-L L L L L
L L
L
L L L
L L L
L L
L
．再将上式等号右边的第⼆个⾏列式按第⼀列展开，则可得到
()
()
()()111
2222111n
n n
n n n n D a a a a a a +-+---=+--=-=-．
5．递（逆）推公式法
递推法是根据⾏列式的构造特点，建⽴起与
的递推关系式，逐步推下去，从⽽求出
的值。

有时也可以找到
与
，
的递推关系，最后利⽤
，
得到
的值。

［注意］⽤此⽅法⼀定要看⾏列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从⽽不能使⽤此⽅法。

例1 计算⾏列式β
ααββ
αβααββ
ααββ
α+++++=
10
0000010001000Λ
Λ
Λ
ΛΛΛΛΛ
ΛΛn D .
解：将⾏列式按第n 列展开,有21)(---+=n n n D D D αββα,
112112(),(),n n n n n n n n D D D D D D D D αβαβαβ-------=--=-
得 n n n n n n D D D D D D βαβαβα=-==-=-----)()(1223221Λ。

同理得 n n n D D αβ=--1
, ≠--=+=++.,;,)1(11
βαβ
αβαβααn n n n n D
例2 计算a
y y
y
x a y y
x x a y
x x x a D n Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛ= 解
1
11)()(1
01
001
0001
)(0
00----+-=------+-=+-=
n n n n x a y D y a x
a x
y x
y x a x y x a y D y a a
y
y y
x a y y x x a y x x x y a y y
x a y x x a x x x y a D Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ同理1
1)
()(---+-=n n n y a x D x a D
联⽴解得)(,)((y x y
x x a y y a x D n
n
n ≠----=
）当y x =时,
[]
121
122112()()()2()()(2)()()(1)n n n n n n n n D a x D x a x a x D x a x a x D n x a x a x a n x -------=-+-=-+-==-+--=-+-L L L L 例3 计算n 阶⾏列式1
22
1100001000000000
1n
n
n n x
x x D x a a a a a x
----=
-+L L L L L L L L L L
L
．
解⾸先建⽴递推关系式．按第⼀列展开，得：
()()()
1
1
1
111232110001000001001000
0000111 0
10
00
1
001
n n n n n n n n n n n n x x x x D x
a xD a xD a x x
x a a a a a x
++----------=+-=+-??-=+---+L L L L
L L L L L L L L L L L L L
L
L
L
L ，
这⾥1n D -与n D 有相同的结构，但阶数是1n -的⾏列式．
现在，利⽤递推关系式计算结果．对此，只需反复进⾏代换，得：
()()2212221213211221 n n n n n n n n n n n n n n n n D x xD a a x D a x a x xD a a x a x D a x a x a x a -----------
=++=++=+++==+++++L L L ，因111D x a x a =+=+，故111n n n n n D x a x a x a --=++++L ．
最后，⽤数学归纳法证明这样得到的结果是正确的．
当1n =时，显然成⽴．设对1n -阶的情形结果正确，往证对n 阶的情形也正确．由 ()121112111 n n n n n n n n n n n n D xD a x x a x a x a a x a x a x a -------=+=+++++=++++L L ，、可知，对n 阶的⾏列式结果也成⽴．根据归纳法原理，对任意的正整数n ，结论成⽴．
例4 证明n 阶⾏列式
2
10000
1
21000
10001210
1
2
n D n ==+L L L
L L L L L L L L
．
证明按第⼀列展开，得2
100001000001
2100012100020001210001210
1
2
1
2
n D =-L L L L L
L L L L L L L L L L L L L L L L
L
．其中，等号右边的第⼀个⾏列式是与n D 有相同结构但阶数为1n -的⾏列式，记作1n D -；第⼆个⾏列式，若将它按第⼀列展开就得到⼀个也与n D 有相同结构但阶数为2n -的⾏列式，记作2n D -．
这样，就有递推关系式：122n n n D D D --=-．
因为已将原⾏列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的．当1n =时，12D =，结论正确．当2n =时，221312
D =
=，结论正确．
设对 1k n -≤的情形结论正确，往证k n =时结论也正确．
由()122211n n n D D D n n n --=-=--=+ 可知，对n 阶⾏列式结果也成⽴．根据归纳法原理，对任意的正整数n ，结论成⽴．
例5、2003年福州⼤学研究⽣⼊学考试试题第⼆⼤题第10⼩题要证如下⾏列式等式：
000
1000100
1n D αβαβαβ
αβαβαβ
++=
++L L L
M M M M M L
11
,n n n D αβαβαβ
++-=≠-证明　：其中
（虽然这是⼀道证明题，但我们可以直接求出其值，从⽽证之。

）
［分析］此⾏列式的特点是：除主对⾓线及其上下两条对⾓线的元素外，其余的元素都为零，这种⾏列式称“三对⾓”⾏列式[1]。

从⾏列式的左上⽅往右下⽅看，即知D n-1与D n 具有相同的结构。

因此可考虑利⽤递推关系式计算。

证明：D n 按第1列展开，再将展开后的第⼆项中n-1阶⾏列式按第⼀⾏展开有：
12n n n D D D αβαβ=－－（＋）－
这是由D n-1 和D n-2表⽰D n 的递推关系式。

若由上⾯的递推关系式从n 阶逐阶往低阶递推，计算
较繁，注意到上⾯的递推关系式是由n-1阶和n-2阶⾏列式表⽰n 阶⾏列式，因此，可考虑将其变形为：
11212n n n n n n D D D D D D αβαββα－－－－－－＝－＝（－）或 11212n n n n n n D D D D D D βααβαβ－－－－－－＝－＝（－）
现可反复⽤低阶代替⾼阶，有：
23112233422
221[()()](1)
n n n n n n n n n n n
D D D D D D D D D D αβαβαβαβαβ
αβαβααββ-+--+=L L L －－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）
＝＝（－）=
同样有：
23112233422
221[()()](2)
n n n n n n n n n n n
D D D D D D D D D D βαβαβαβαβα
αβαββαβα-+--+=L L L －－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）
＝＝（－）=
因此当αβ≠时
由（1）（2）式可解得：11
n n n D αβαβ
++-=-，证毕。

6．利⽤范德蒙⾏列式
根据⾏列式的特点，适当变形（利⽤⾏列式的性质——如：提取公因式；互换两⾏（列）；⼀⾏乘以适当的数加到另⼀⾏（列）去； ...) 把所求⾏列式化成已知的或简单的形式。

其中范德蒙⾏列式就是⼀种。

这种变形法是计算⾏列式最常⽤的⽅法。

例1 计算⾏列式1222211
1111
11n n n n n n n n n n n
x x x D x x x x x x x x x x x x ------+++=++++++L
L L M M M L
解把第1⾏的－1倍加到第2⾏，把新的第2⾏的－1倍加到第3⾏，以此类推直到把新的第n －1⾏的－1倍加到第n ⾏，便得范德蒙⾏列式
1
22
22121
1
1112
1
11()n n i j n i j n n n n
x x x D x x x x x x x x ≥>≥---==-∏L L L M M M L
例2 计算1n +阶⾏列式122
1111111111221222222221221
1111111
1n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n n n a a b a b a b b a a b a b a b b D a a b a b a b b ---------++++++++=
L
L L
L
L
L
L
L L ．
其中1210n a a a +≠L ．解这个⾏列式的每⼀⾏元素的形状都是n k k
i i a b -，k =0，1，2，…，n ．即i a 按降幂排列，i
b 按升幂排列，且次数之和都是n ，⼜因0i a ≠，若在第i ⾏（i =1，2，…，n ）提出公因⼦n i a ，则D 可化为⼀个转置的范德蒙⾏列式，即
()2
1
111112
2
1111
1111 .1
n
n
n j n n n n
i n i
i j i j i j i n j i n i j n
n n n n n n b b b a a a b b b b b D a a a
a b a a b a a a a a b b b a a a ++=<+<+++++++???? ? ??? ==-=-
∏∏∏L
L L L L L
L
L
L
≤≤≤≤ 例3 计算⾏列式
xy
xz
yz
z y x z y x
D 222
=.
解：
)
)()()((2
222
22
)
2
)
1)(()3(y z x z x y xz yz xy xz
yz xy z xz yz xy y xz yz xy x z y x z y x
xy
z yz xz yz y yz xz xy z y x z y x D x z y ---++=+++++++++=++++++= +++
例4 计算⾏列式n n
n n n n n n n
n
n x x x x x x x x x x x x D Λ
Λ
Λ
ΛΛ
Λ
ΛΛΛ2
1
22221222
21
2
1
111---=
解作如下⾏列式,使之配成范德蒙⾏列式
n
n n
n n n n n n n n n n n n n
n
y x x x y x x x y
x
x
x
y x x x y x x x y P Λ
ΛΛΛΛΛΛΛ
1112112
222
212222
21
21
111
1)(--------= = ∏∏≤<≤=--n
i j j i
n
i i x x
x y 11
)()
(
易知n D 等于)(y P 中1-n y 的系数的相反数,⽽)(y P 中1-n y 的系数为∏∑≤<≤=--n
i j j i
n
k k
x x
x 11
)( ,因此,∑∏==≤<≤-=
n
k n
i j j i
k
n x x
x D 1
1)(
例5、计算n 阶⾏列式
11112
2
2
2(1)(2)(1)(1)(2)(1)12111
n n n n n n n n n a n a n a a a n a n a a D a n a n a a ---------+-+--+-+-=-+-+-L L M
M M M L L 解：显然该题与范德蒙⾏列式很相似，但还是有所不同，所以先利⽤⾏列式的性质把它化为范德蒙⾏列式的类型。

先将的第n ⾏依次与第n-1⾏，n-2⾏，…,2⾏，1⾏对换，再将得到到的新的⾏列式的第n ⾏与第n-1⾏，n-2⾏，…,2⾏对换，继续仿此作法，直到最后将第n ⾏与第n-1⾏对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+…+2+1=n （n-1）/2次⾏对换后，得到
(1)
2
22221
11
1
1111
121(1)
(1)(2)(1)(1)(2)(1)n n n n n n n n n n n a n a n a a D a n a n a a a n a n a a ----------+-+-=--+-+--+-+-L L
M M
M M L L
上式右端的⾏列式已是范德蒙⾏列式，故利⽤范德蒙⾏列式的结果得：
(1)(1)2
2
11(1)
[()()](1)
()n n n n n j i n
j i n
D a n i a n j i j --≤<≤≤<≤=--+--+=--∏∏
7．加边法（升阶法）
加边法（⼜称升阶法）是在原⾏列式中增加⼀⾏⼀列，且保持原⾏列式不变的⽅法。

它要求：1 保持原⾏列式的值不变； 2
新⾏列式的值容易计算。

根据需要和原⾏列式的特点选取所加的⾏和列。

加边法适⽤于某⼀⾏（列）有⼀个相同的字母外，也可⽤于其第列（⾏）的元素分别为 n-1 个元素的倍数的情况。

例1 计算n 阶⾏列式121
21
212
n n
n n n x a a a a x a a D a a a a a x a ++=+L L L L L L L L
解：1
100
n
n n
a a D D =
L M 121
1
002,,11
010
n i a a a x i n x x
-=+--L L L L L L L L L L
第⾏减第1⾏
121
10000000
n
j n j a a a a x
x x x
=+=
∑
L L L L
11n j n
j a x x =??=+ ??
∑
例2 计算n （n ≥2）阶⾏列式123111
1111
1
1
1111111n n
a a D a a ++=++L L L L L L L L L
，其中120n a a a ≠L ．解先将n D 添上⼀⾏⼀列，变成下⾯的1n +阶⾏列式：1
1
21
1110111
01110
1
1
1n n
a D a a ++=++L L L L L L L L L
．显然，1n n D D +=．将1n D +的第⼀⾏乘以1-后加到其余各⾏，得11
211111*********n n
a D a a +-=-+-L L L L L L L L L
．因0i a ≠，将上⾯这个⾏列式第⼀列加第i （2i =，…，1n +）列的
1
1
i a -倍，得：
11
11221
2121111111111110000010
0 0001000
000
00
11 1 1 00n
i i
n n n
n
n
n
n i i i i n
a a a D D a a a a a a a a a a a a =+==+-==-=-
=+=+ ?
∑∑∑L L L L L L L
L L
L L L L L
L L L L
L
L L n L L L
L L
8．数学归纳法
当
与
是同型的⾏列式时，可考虑⽤数学归纳法求之。

⼀般是利⽤不完全归纳法寻
找出⾏列式的猜想值，再⽤数学归纳法给出猜想的证明。

因此，数学归纳法⼀般是⽤来证明⾏列式等式。

因为给定⼀个⾏列式，要猜想其值是⽐较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。

（数学归纳法的步骤⼤家都⽐较熟悉，这⾥就不再说了）
例1 计算n 阶⾏列式12
2
1000001n
n
n n x x D x a a a a a x
----=-+L L L
L L L L L L L
解：⽤数学归纳法. 当n = 2时，21221
1
()x D x x a a a x a -=
=+++212x a x a =++ 假设n = k 时，有 12121k k k k k k D x a x a x a x a ---=+++++L 则当n = k +1时，把D k +1按第⼀列展开，得
11k k k D xD a ++=+1111()k k k k k x x a x a x a a --+=+++++L 12111k k k k k x a x a x a x a +-+=+++++L
由此，对任意的正整数n ，有12121n n n n n n D x a x a x a x a ---=+++++L
例2 计算⾏列式
α
ααααcos 21
1cos 200000cos 210001
cos 21
0001cos Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
Λ=
n D .
解：αα2cos ,cos 21==D D ,于是猜想αn D n cos =.
证明：对级数⽤第⼆数学归纳法证明.
1=n 时,结论成⽴.假设对级数⼩于n 时，结论成⽴.将n 级⾏列式按第n ⾏展开，有
α
ααααααααα
ααααααααn n n n n n n D D D D n n n n
n n n n cos
])1cos[(sin )1sin(cos )1cos()1cos(cos 2)2cos()1()
1cos(cos 2)1(cos 21
10
00cos 200000cos 210001cos 210001cos )1(cos 2122
1211
1
21=+-=-----?=--+-?=-+?=?
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ.
例3 计算⾏列式
解：
猜测：证明
（1）n = 1, 2, 3 时，命题成⽴。

假设n ≤k – 1 时命题成⽴,考察n=k 的情形：
故命题对⼀切⾃然数n 成⽴。

9．拆开法
拆项法是将给定的⾏列式的某⼀⾏（列）的元素写成两数和的形式，再利⽤⾏列式的性质将原⾏列式写成两⾏列式之和，把⼀个复杂的⾏列式简化成两个较为简单的。

使问题简化以利计算。

例1 计算⾏列式 n D =
1121221
2
n n
n n
a a a a a a a a a λλλ+++L
L M M M M L
解：n D =12
122
12
n n n n
a a a a a a a a a λλ++L
L M M L M L
1
22200
n
n
n n
a a a a a λλλ+++L L M M L M
L
122000n n
n
a a a a λλ=L L M M L M L
11
n D λ-+ 1211n n a D λλλ-=+L =……1211n
i
n i i a
λλλλ=??=+
∑L ．
例2 计算n （n ≥2）阶⾏列式11
1212122212121212n n n n n n n
x y x y n x y x y x y n x y D x y x y n x y ++++++=
+++L L L L L L L
．
解将n D 按第⼀列拆成两个⾏列式的和，即
12111121222212222121221221
22n n n n n n n n
n n n n
x y n x y x y x y n x y x y n x y x y x y n x y D x y n x y x y x y n x y ++++++++=
+
++++L L L L L L L L L L L L L
L
．
再将上式等号右端的第⼀个⾏列式第i 列（2i =，3，…，n ）减去第⼀列的i 倍；第⼆个⾏列式提出第⼀列的公因⼦1y ，则可得到
12111211112222222222
1
21
221212121
2 .1
212n n n n n n
n n n
n
n n n
n n
n x y x y x x y n x y x x x n x y x y x x y n x y x x x n D y y y y x y x y x x y n x y x x x n
++++=
+=+++L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L
L
L
L
当n ≥3时，0n D =．当2n =时，()()221212D x x y y =--．
例3 计算n 阶⾏列式 n x
a
a a
a x
a a
D a a
x
a a a a x
-=-----L L L
L L L L
L L
，（0a ≠）．解将第⼀⾏的元素都表成两项的和，使n D 变成两个⾏列式的和，即()000000
.n x a a a a a x a a
a a a a x a a a x a a a x a a
D a a x a a a x a a a x a a a a
x
a a a x
a
a a x --++++---==+---------------L L L
L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L
L L 将等号右端的第⼀个⾏列式按第⼀⾏展开，得：()1000
n x a
a
x a a
x a D a
a
x
a a
a a x
---=------L L L
L L L L L L
．这⾥1n D -是⼀个与n D 有相同结构的1n -阶⾏列式；将第⼆个⾏列式的第⼀⾏加到其余各⾏，得：
()1
022 .0020
n a a a a a a a a
a x a a x a a a
a x a a a x
a x a a a a a x
x a
--+==+--+---+L L L L L
L L L L L L L L L L L L
L
于是有 ()()
1
1n n n D x a D a x a --=-++ （1）
另⼀⽅⾯，如果将n D 的第⼀⾏元素⽤另⼀⽅式表成两项之和：
() 0 0 0x a a a a a +-+++L
仿上可得：()()1
1n n n D x a D a x a --=+-- （2）
将（1）式两边乘以()x a +，（2）式两边乘以()x a -，然后相减以消去1n D -，得：()()2
n
n
n
x a x a D ++-=
．
．
计算⾏列式的⽅法很多，也⽐较灵活，上⾯介绍了计算n 阶⾏列式的常见⽅法，计算⾏列式时，我们应当针对具体问题，把握⾏列式的特点，灵活选⽤⽅法。

总的原则是：充分利⽤所求⾏列式的特点，运⽤⾏列式性质及上述常⽤的⽅法，有时综合运⽤以上⽅法可以更简便的求出⾏列式的值；有时也可⽤多种⽅法求出⾏列式的值。

学习中多练习，多总结，才能更好地掌握⾏列式的计算。

5.消去法求三对⾓线型⾏列式的值
例6求n阶三对⾓线型⾏列式的值：
（1）
的构造是：主对⾓线元全为2，主对⾓线上⽅第⼀条次对⾓线与下⽅第⼀条次对⾓线的元全为1，其余的元全为0。

解⽤消去法，把中主对⾓线下⽅第⼀条次对⾓线的元1全部消成0：⾸先从第⼆⾏减去第⼀⾏的倍，于是第⼆⾏变为
其次从第三⾏减去第⼆⾏（指新的第⼆⾏，以下同）的倍，则第三⾏变为
再从第四⾏减去第三⾏的倍，则第四⾏变为
类似地做下去，直到第n⾏减去第n– 1⾏的倍，则第n⾏变为
最后所得的⾏列式为
（2）
上⾯的⾏列式是三⾓型⾏列式，它的主对⾓线元顺次为
93）
⼜主对⾓线下⽅的元全为0。

故的值等于（3）中各数的连乘积，即。

注3 ⼀般的三对⾓线型⾏列式
（4）
也可以按上述消去法把次对⾓线元全部消去，得到⼀个三⾓型⾏列式，它的值等于该三⾓型⾏列式
的主对⾓线元的连乘积。

9. 因式分解法
如果⾏列式D 是某个变数x 的多项式)(x f ，可对⾏列式施⾏某些变换，求出)(x f 的互不相同的⼀次因式，设这些⼀次因式的乘积为)(x g ，则)()(x cg x f D ==，再⽐较)(x f 与)(x g 的某⼀项的系数，求出c 值.
例8 计算⾏列式1
321321
311
321+++=x n x n
x n D n ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ. 解:注意1=x 时，,0=n D 所以，n D x |1-. 同理)1(,,2---n x x Λ均为n D 的因式⼜i x -与)(j i j x ≠-各不相同所以 n D n x x x |)1()2)(1(+---Λ但n D 的展开式中最⾼次项1
-n x
的系数为1，所以)1()2)(1(+---=n x x x D n Λ
注：此题也可将的第⾏减去第⼀⾏化为三⾓形⾏列式计算.
三、⾏列式的计算⽅法。