气体分子运动论和热力学基础之麦克斯韦速率分布律

当速率间隔趋于零时， 顶部将趋于光滑的曲 线，极大值范围趋于 一点，极大值越精确。
速率在0~100m/s之内的分子数 占总分子数比例约为1.35%。
{范例8.4} 麦克斯韦速率分布律
[解析](2)当v = 0时，f(v) = 0；当v→∞时，f(v)→0。 由于f(v)不小于零，因此f(v)必有极大值。 令df(v)/dt = 0，即
[解析](1)在三维速度空间中，在速度间隔vx~vx + dvx、 vy~vy + dvy、vz~vz + dvz内，分子数占总分子数的比例为
d N F ( v ) F ( v ) F ( v ) dd v d v x y z xv y z 其中dvxdvydvz N 0 2 2 2 是速度空间的 m ( v v v ) m x y z 3 / 2 ( )e x p [ ] d vvv d d x y z“体积”元。 2 π k T 2 k T
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速率在0~100m/s之内的分子数 占总分子数比例约为1.33%。
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极大值在376.6m/s~378.1m/s速率区间，极大值为0.0022044。
速率间 隔不断 减小， 直方条 越来越 窄。
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当速率间隔很小时， 直方条很窄，直线 都连成一片，顶部 的阶梯几乎消失。
氟气分子的分子量是38， 在相同的温度下的最概 然速率只有362m/s。
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当气体温度一定时，质量 较小的分子的速率分布曲 线的峰值较低，说明：在 相同的速率间隔内，向着 各个方向运动的速率大的 分子数量比较多，速率小 的分子数量比较少。
地球的逃逸速率约为1120m/s，由于氢 气分子速率分布较宽，很多氢气分子 的速率超过逃逸速度，能够脱离地球 的吸引，因而大气中的氢气比较少。 同理，空气中氦气也比较少。
可知：分布函数下的面积表示分子数占总分子数的比例。
速率在 100m/s~200 m/s之内的 分子数占总 分子数的比 例约为 8.11%，
取速率间隔为100m/s，速率分布函数 由直方条组成，其顶部呈阶梯形折线。 速率在300m/s~400m/s之 内的分子数占总分子数比 例最高，大约为21.8%， 速率在 900m/s~1000m/s之内 的分子数占总分子数 比例只有0.658%。 由于速率间隔比较 大，分子数比例的 误差也比较大。
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{范例8.4} 麦克斯韦速率分布律
(1)根据麦克斯韦速度分布律说明麦克斯韦速率分布率律。 氧气分子质量是32u(1u = 1.66×10-27kg)，氧气处于标准状 态下(273K)。氧气分子遵守麦克斯韦速率分布律，速率在 0~1200m/s范围内，速率间隔取100m/s，求各个速率区间 内的分子数比例，在直方图中代表什么意义？将速率间隔 持续减半，观察直方图的变化。当速率间隔很小时，直方 图顶部折线的变化趋势是什么？
2 d f ( v ) m m 2 v m v 3 / 2 2 4 π ( )( 2 v v ) e x p ( )0 d v 2 π k T 2 k T 2 k T
可 得 vp
2 kT m
这个速率称为 在相同的速率间隔之内，最 最概然速率。 概然速率附近的分子数最多。 温度越高或分子质 量越小，最概然速 率就越大，分布函 数的极大值就越小。
(2)什么是最概然速率？氧气分子在300K到600K温度区间 (温度间隔为100K)，速率分布曲线有什么异同？最概然速 率是多少？氢气、氦气、氖气、氮气、氧气和氟气分子的 分子量分别为2、4、20、28、32和38，这些气体分子在 300K时的速率分布曲线有什么异同？最概然速率是多少？
{范例8.4} 麦克斯韦速率分布律
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由于速率间隔减小 了，分子数比例的 误差也减小了。
极大值在3Fra Baidu bibliotek5m/s~400m/s速率区间，极大值为0.0022007。 取速率间隔为25m/s，直方 条更窄，顶部的阶梯更小。 速率间隔为100m/s的 分子数比例都可分为 四个间隔为25m/s的分 子数比例之和。 速率间隔越小，分子 数比例就越精确。
分子向着各个方向运动时，在很大 或很小的速率附近，分子数都很少。 分布函数的 f (v ) 4 p 极大值为 e π vp
质量一定的分子，温度是参数， 在温度一定的情况下，不同 分子的质量是参数，函数曲 麦克斯韦速率分布的函数曲线 线会随参数而有所改变。 会随参数不同而有所改变；
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当分子以速率v运动时，速度的平方为v2 = vx2 + vy2 + vz2，“体积”元可表示为dvxdvydvz = v2dvsinθdθdφ。 对方位角φ从0到2π积分，对仰角θ从-π/2到π/2积分，“体积”元 就变为4πv2dv，这是半径为v，厚度为dv的球壳的“体积”。
2 d N m3 m v 2 4 π ( )/2 v e x p ( ) d v . 上式可改写为 N 2 π k T 2 k T 0
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速率在0~100m/s之内的分子数 占总分子数的比例约为1.04%，
极大值在350m/s~400m/s速率区间，极大值为0.0022043。 取速率间隔 为50m/s， 直方条变窄， 顶部的阶梯 变小。 速率在0~50m/s之内的分子 数占总分子数比例约为 0.131%，速率在50~100m/s 之内的分子数占总分子数比 例约为1.14%，因此速率在 0~100m/s之内的分子数占总 分子数比例约为1.27%。 速率间隔为100m/s的 分子数比例都可分 为两个间隔为50m/s 的分子数比例之和。
氧气分子在300K时 的最概然速率约为 395m/s，在600K时 的最概然速率约为 558m/s。 对于分子质量一定的气 体，温度升高则峰值降 低，说明：在相同的速 率间隔内，向着各个方 向运动的速率小的分子 数量减少了，速率大的 分子数量增加了，分子 运动得更剧烈了。
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氢气分子的分子量 是2，是氧气分子质 量的1/16，在300K 的温度下，最概然 速率是氧气分子的4 倍，达到1579m/s。
{范例8.4} 麦克斯韦速率分布律
2 d N m3 m v 2 4 π ( )/2 v e x p ( ) d v N 2 π k T 2 k T 0 2 m3 m v / 22 f () v 4 π ( ) ve x p ( ) 取 2 π k T 2 k T
这就是麦克斯韦 速率分布函数。
f(v)dv是速率区间v~v + dv内分子数占总分子数的比例， m 3/ 2 f(v)的单位是速度 4π( ) 是归一化常数。 单位的倒数s/m。 2πkT 在速率区间v1~v2之内，或者在v- Δv/2 ~v +Δv/2之内 (Δv = v2-v1)，分子数占总分子数的比例近似为
2 N m3 m v 2 4 π ( )/2 v e x p ( ) v N 2 π k T 2 k T 0