定积分应用

（1） 总量在区间上具有可加性，即把区间 分成几个小区间时总量就等于各个小区间上 的局部量之和，
（2）局部量可用 f (i )xi 近似表示
它们之间只相差一个xi 的高阶无穷小
不均匀量Ｕ就可以用定积分来求得
这是建立所求量的积分式的基本方法 分析其实质，不难将四步简化为两步 第一步 “分割取近似 ” 含“分”、“粗”两步即将区间分成子区间
的值与 xi 之积代替 Ui f (i )xi
和 把局部量的近似值累加得到总量
的近似值 即
n
n
U Ui f (i )xi
i 1
i 1
精 max xi
n 1in
b
U

lim
0
i 1
f (i )xi

a
f ( x)dx
由此可知，若某个非均匀量Ｕ在区间[a,b]上 满足两个条件：
y2 2 x 解得交点为（2，-2）和（8，4） y x4
若取 x 为积分变量 在 [x,x+dx] 上取部分量
则对于 x 的不同值 局部量的位置不同 其 上、下曲边有多种情况运用上述公式计算 较为复杂
如下图
但若将这一面积看作是分布在区间 [ -2，4] 上 以 y 为变量计算将会简单
在[-2,4] 上任取一小区间 [ y, y dy]
设量Ｕ非均匀地分布 [ a ,b ]上 求Ｕ的步骤
分 用分点 a x0 x1 xn1 xn b 将
区间分成n个小区间 [xi1, xi ], xi xi xi1
粗 把Ｕ在小区间上的局部量 Ui
用某个函数 f ( x) 在 i (i [xi1, xi ])

2 sin

1 4
sin
2
0
3 a2. 2
通过以上几例可见在实际计算中应
充分利用所求量的对称性和等量关系来 简化计算。
二、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x) 、 直线x a 、x b 及x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
（续）绕 y 轴旋转的旋转体体积 y
Vy

2a

0


x
2
2
dy
a2(t

2a

x
2
1
dy
0
sint)2 d[a(1

2a C
x o
cos t)]

B
x1( y)
x
x2( y)
A
2a x
2
a2(t sint)2 d[a(1 cos t)] 0
a3 2 (t sint )2 sintdt 63a3 . 0
在其上用均匀变化近似代替非均匀变化 求得局部量的近似值 Ui f (i )xi 它对应着积分表达式中的被积式 f ( x)dx
第二步“求和取极限” 含“和”、“精”两步: 各局部量的近似 值相加并取极限得到总量的准确值
b
即对被积式作积分 U f ( x)dx
Ⅰ 求微元
a
写出典型小区间 [ x, x d x ] [a,b]
三、平行截面面积为已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立
体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算.
A( x) 表示过点
x 且垂直于x 轴
的截面面积，
oa
x x dx b
x
A( x)为x 的已知连续函数
dV A( x)dx,
立体体积 V
b
x
V 1 R (R2 x2 )tandx 2 R3 tan .
2 R
3
定积分在物理学上的应用
1. 变力沿直线所做的功 2. 水压力
1、变力沿直线所作的功
若物体在作直线运动的过程中受到一个常力 F 作用，其方向与物体运动方向一致，那么，在 物体移动了距离 s 时，常力 F 对物体所作的功为 W=Fs.
所围成的称为曲边扇形的区域
由于曲边扇形的面积分布 与有关 当d很小时 r( )的变化不大
A 可用半径为 r( ) 圆心角为 d
的圆扇形的面积来近似 故面积元素为
dA 1 r 2( )d
2
A 1 r 2( )d 2
d r r( )

d

y2

2 a 3

2
x3
3
x [a, a] a
o
ax
以 x 为积分变量，得旋转体的体积
V
a
dV (x)
a
a y2d x
a
a

a
2 a 3

2
x3
3 dx

32 105
a3 .
注 由参数方程给出的曲线所围图形生成的旋转体
分的分析方法。
重点
微元法，面积，旋转体的体积
难点 微元法，参数方程确定的曲线所围的
面积，定积分在物理方面的应用。
基本要求
①正确理解和掌握微元法的基本思想，并 会灵活运用它。 ②会用直角坐标、极坐标、参数方程所给出 的三种求积公式求出一些常见图形的面积。
③会求旋转体的体积
④会用定积分解决物理方面的实际问题
dV ( x) y2dx ( r x)2 dx , x [0, h].
h
圆锥体的体积 V
h
dV ( x)
h

(
r
x )2 dx

1 r 2h.
0
0h
3
2
2
2
例 6 求星形线 x 3 y 3 a 3(a 0) 绕 x 轴旋转构成旋转
体的体积.
2
2
2
y
解 （作图） y3 a3 x3,
解 为确定图形的存在区间
由联立方程组解得交点 A（-1，1） B（1，1）
故
x [1,1]
A

1
(
1
2 x2
2 x2
1

x
x2 )dx 1
2
(2arctan
x

1 3
x
3
)
1 1


2 3
例2 计算 y2 2x y x 4 所围图形的面积
解 首先定出图形所在的范围
x (t)

y


(t
)
( t )
b

A ydx | (t)(t)dt |
a

计算时应注意积分限在换元中应保持与原积
分限相对应。
例3
求椭圆
x a cos

y

b sin
(0 2 )的面积
解 由对称性 面积A等于椭圆在第一象限内的 部分的面积的4倍
上的局部量 U 的近似值
dU f (x)dx
这就是局部量的微元 Ⅱ 求积分
即把微元 dU 在区间 [ a , b ] 上
“无限积累”起来 相当于把 f ( x)dx
作积分表达式 求它在 [ a , b ] 上的定积分
b
即 U f ( x)dx
a
这就是微元法
定积分的几何应用
一、平面图形的面积
12.16 课堂回顾
1.积分上限函数
x
( x) a
f (t)dt
2.积分上限函数的导数 ( x) f ( x)
3.微积分基本公式
b
a
f
(
x)dx

F
(b)

F
(a)
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．称之为微积分基本公式。
注意 使用公式的条件（1）被积函数 f(x) 连续 （2）F（x）是 f(x) 在 该区间上的任一原函数
即
a
A 4 ydx
0
0
4 absin2d ab 2
2 极坐标系
某些平面图形，用极坐标来计算是比较方便的
若曲线由极坐标方程 r r( ),( ) 给出
极坐标系下研究面积的基本图形不是曲边梯形
而是由射线 与 及曲线r r( )
其上相应的窄条左、右曲边分别为
x 1 y2, x y 4

2
A
4 ( y 4 1 y2 )dy 18
2
2
由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体
特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使 计算简化
上述问题的一般情况是
d
平面区域由 [c,d] 上连续的曲线y dy
12.16 课堂回顾
定积分的换元法
b
a
f
(
x)dx



f [ (t)](t)dt
1、使用定积分的换元法时要注意积分限的对应
2、不引入新的变量记号，积分限不变；引入新 的变量记号，积分限跟着变
定积分的分部积分公式
b udv

b
uv

b
vdu.
a
aa
注意u、v的选择，容易积分的选为v，
x ( y), x ( y)
y
(( y) ( y))
及直线y = c ,y = d 所围成
c x (y)
d
则其面积为 A [ ( y) ( y)]dy
c
x ( y)
当直角坐标系下的平面区域的边界曲线
由参数方程的形式给出时，只须对面积计算 公式作变量代换即可。
取积分变量为x ，
x [a,b]
y
y f (x)
在[a, b]上任取小区 间[ x, x dx]，
o
x
x x dx
取以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄
片的体积为体积元素， dV [ f ( x)]2 dx 旋转体的体积为
V b [ f ( x)]2 dx a
类似地，由连续曲线 x ( y),及直线y c, y d , x 0
体 积 计 算 公 式 可 由 直 角坐 标 下 体 积 计 算 公 式 通过 定 积分的换元法得到。
例 7 求摆线 x a(t sin t)， y a(1 cos t) 的一拱
与 y 0所围成的图形分别绕 x 轴、y 轴旋转构成旋转
体的体积.
y( x)
解 绕x 轴旋转的旋转体体积
A( x)dx.
a
例 8 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，并与
底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.
解 取坐标系如图所示。
R
垂直于x轴的截面的面
o
积为
x
R
A( x) 1 y y tan 1 (R2 x2 )tan ,
2
2
所求立体体积
y x2 y2 R2
求导简单的选为u
3.4 定积分应用
前面，已经系统地介绍了定积分的基本理 论和计算方法。在这一节中，将利用这些知识 来分析解决一些实际问题。定积分的应用很广 泛，在自然科学和生产实践中有许多实际问题 最后都归结为定积分问题。本节不仅对一些几 何物理量导出计算公式，更重要的是介绍运用
“微元法”将所求的量归结为计算某个定积
1 直角坐标系 作为一般情况讨论，设平面图形由 [ a , b ]
上连续的两条曲线 y = f ( x ) 与 y = g ( x ) ( f (x) g(x)) 及两条直线 x =a ,x =b 所围成 在 [a ,b ] 上任取典型小区间 [ x ,x+dx ]
与它相对应的小曲边梯形的面积为局部量dA

例 4 求心形线r a(1 cos )所围平面图形的
面积(a 0).
d
解 dA 1 a2(1 cos )2d
2
利用对称性知
A 2 1 a2 (1 cos )2d 20
a2

(1 2cos cos2 )d
0

a2
23
当 dx 很小时
dA 可用高为 f (x) g(x)
底为 dx 的矩形面积
近似表示 即
dA [ f (x) g(x)]dx
b
故 A [ f (x) g(x)]dx
a
y f (x)
y g(x)
x x dx
a
b
例1
求两曲线
y

2 x2 1
y x2
所围成的图形的面积
所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周所成的立体的体积
为
d
y
V 2( y)dy
d
c
x ( y) c
o
x
例 5 推导圆锥体的体积计算公式．
解 设圆锥体的底半径为r、高为h。
建立坐标系如图所示,
y
P
y
则 直 线OP的 方 程 为 o r y x x [0,h] h
r
x
h
x
取 x 为积分变量，则x 处的体积元素为
Vx
2a y2dx
0
a
2a
2 a2(1 cos t )2 d[a(t sint )] 52a3. 0
例 7 求摆线 x a(t sin t)， y a(1 cos t) 的一拱
与 y 0所围成的图形分别绕 x 轴、y 轴旋转构成旋转
体的体积.
定积分的微元法
通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变 速直线运动的路程）的分析，采用“分割、 近似代替、求和、取极限”四个基本步骤确 定了它们的值，并由此抽象出定积分的概念， 我们发现，定积分是确定众多的不均匀几何 量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量 可以通过定积分来求值呢？我们先来回顾一
下前面讲过的方法和步骤是必要的。