沪教版八年级数学上册,一元二次方程

一元二次方程
1. 一元二次方程的定义及一般形式： （1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）
的方程，叫做一元二次方程。

（2） 一元二次方程的一般形式：_________。

其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c
为常数项。

注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。

2. 一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：
形如2
()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a +=
或者x a +=，∴x a =-。

注意：若b<0，方程无解 （2）配方法:
用配方法解一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤
①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2
()(0)
x m n n +=≥的形式；
④用直接开平方法解变形后的方程。

注意：当0n <时，方程无解 （3）公式法：
一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠ 根的判别式：_________________
0∆>⇔方程有两个不相等的实根:2b x a
-±=
（2
40b ac -≥）⇔()f x 的图像与x 轴有两个交点
0∆=⇔方程_____________实根⇔()f x 的图像与x 轴有一个交点
0∆<⇔方程无实根⇔()f x 的图像与x 轴没有交点 （4）因式分解法
通过因式分解，把方程变形为(-)(-)0a x m x n =，则有=x m 或x n =。

步骤：
①将方程的右边化为0；
②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
③另每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，他们的解救是原方程的根。

注：
（1）因式分解常用的方法（提公因式、公式法、十字相乘法）在这里均可使用，其中十字相乘法是最方便、快捷的方法。

①提公因式法：把多项式的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的
形式
②公式法：平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）
完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2; a2－2ab+b2=（a－b）2.
（2）此法可拓展应用于求解高次方程。

（5）十字相乘法：
十字相乘法能把某些
．．二次三项式分解因式。

这种方法的关键是把二次项系数a分解成
两个因数a
1、a
2
的积a
1
•a
2
，把常数项c分解成两个因数c
1
、c
2
的积c
1
•c
2
，并使a
1
c
2
+a
2c
1
正好是一次项系数b，即：那么可以直接写成结果：
ax2＋bx＋c= a
1a
2
x＋（a
1
c
2
+a
2
c
1
）x＋c
1
c
2
=（a
1
x＋c
1
）（a
2
x＋c
2
）
当a=1时，即为：ｘ2＋（p＋q）ｘ＋pq=（x＋p）（x＋q）
在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。

当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。

1公式法
2十字相乘法
1.一元二次方程的定义
【例1】下列方程中是一元二次方程的序号是 ．
42=x ① 522=+y x ② ③01332=-+x x
052=x ④
5232=+
x x ⑤ 41
2=+x x
⑥ 【解析】根据一元二次方程的定义判定即可，等号两边都是整式，只含有一个未知数
（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

【答案】①③④⑤
1. 已知，关于x 的方程
12)5(2
=-+ax x a 是一元二次方程，则a 【答案】≠-5
2. 一元二次方程根的情况
【例2】(2014辽宁锦州市一中期末)若关于x 的方程052=++k x x 有实数根，则k 的取值范围是 ．
【解析】根据一元二次方程的△的正负，来判断方程的根的情况，有实数根是△≥0，
代入a ，b ，c 计算即可。

【答案】k≤
4
25 【例3】不解方程，判别方程的根的情况：
【解析】要判定上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了．注意：对有些方程要先将其整理成一般形式，再正确确定a 、b 、c 的符号．
【答案】解：∵a ＝2，b ＝3，c ＝－4，
∴
． ∴方程有两个不相等的实数根．
2..
【答案】 ∵a ＝16，b ＝－24，c ＝9，
∴． ∴方程有两个相等的实数解．
【例4】解方程．
【解析】如果把x ＋3看作一个字母y ，就变成解方程了．注意：对可用直接开
平方法来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解；若，则；
04x 3x 22=-+ac 4b 2-=∆041)4(243ac 4b 22>=-⨯⨯-=-y 249y 162=+09164)24(ac 4b 22=⨯⨯--=-2)3x (2=+2y 2=a x 2=a x ±=
若，则．
【答案】解：，
，
，
∴．
【例5】用配方法解方程．
【解析】解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身重要，要
记住．注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为1，方程左边只有二次项，一次项，右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边就配成了一个二项式的完全平方． 【答案】解：，
， ，
， ∴． ∴．
【例6】解方程．
【解析】此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解．注意：用
公式法解方程时，要正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值，先计算“△”的值，若△<0，则方程无解，就不必解了．
【答案】解法一：
，
(x －2)(x －1)＝0， x －2＝0，x －1＝0， ∴．
解法二：
∵a ＝1，b ＝－3，c ＝2，
∴，
∴． ∴．
b )a x (2=-a b x +±=2)3x (2=+23x ±=+23x 23x -=+=+，或23x 23x 21--=+-=，x 73x 22=+x 73x 22=+02
3
x 27x 2=+-
0234747x 27x 2
2
=+⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2
162547x 2
=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-4
547x ±=-
2
1
x 3x 21==，02x 3x 2=+-02x 3x 2=+-2x 1x 21==，01214)3(ac 4b 22>=⨯⨯--=-2
1
3x ±=
1x 2x 21==，
【例7】解关于x 的方程．
【解析】先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程为关于x
的方程，即x 为未知数，m ，n 为已知数．在确定的情况下，利
用公式法求解．
【答案】解：把原方程左边展开，整理，得
．
∵a ＝1，b ＝－3m ，， ∴
．
∴
．
∴．
【例9】(2x -1)2
-3（2x-1）+2=0 1 -1
1.下列方程中,常数项为零的是( ) 【答案】D
0n )n m 2x 3(m x 22=-+--0ac 4b 2
≥-0)n mn m 2(mx 3x 222=--+-22n mn m 2c --=)n mn m 2(14)m 3(ac 4b 222
2--⨯⨯--=-22n 4mn 4m ++=0)n 2m (2≥+=2
)n 2m (m 3x 2
++=
2
)
n 2m (m 3+±=
n m x n m 2x 21-=+=，
A.x 2+x=1
B.2x 2-x -12=12
C.2(x 2-1)=3(x -1)
D.2(x 2+1)=x+2
2.下列方程:①x 2
=0,② 21x -2=0,③22x +3x=(1+2x)(2+x),④32
x 32x x
-8x+ 1=0中,
一元二次方程的个数是( ) 【答案】A A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.把方程（x +(2x -1)2=0化为一元二次方程的一般形式是( ) 【答案】A A.5x 2-4x -4=0
B.x 2-5=0
C.5x 2-2x+1=0
D.5x 2-4x+6=0
4.方程x 2=6x 的根是( ) 【答案】B
A.x 1=0,x 2=-6
B.x 1=0,x 2=6
C.x=6
D.x=0
5.方2x 2-3x+1=0经为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) 【答案】C
A. 2
3162x ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
B.2
312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
C. 2
31416x ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
D.以上都不对
6.若两个连续整数的积是56,则它们的和是( ) 【答案】D
A.11
B.15
C.-15
D.±15
7.不解方程判断下列方程中无实数根的是( ) 【答案】B
A.-x 2=2x -1
B.4x 2+4x+
5
4
=0 C.
20x -=
D.(x+2)(x -3)==-5
8.方程2(1)5322
x x -+=化为一元二次方程的一般形式是________,它的一次项系数是
______.
【答案】x 2+4x -4=0,4
9.关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0有实数解的条件是__________.【答案】240b c -≥ 10.用______法解方程3(x -2)2=2x -4比较简便. 【答案】因式分解法 11.如果2x 2+1与4x 2-2x -5互为相反数,则x 的值为________.【答案】1或
23
12.（2014云南大理中考）如果关于x 的一元二次方程2x(kx -4)-x 2+6=0没有实数根,那么k 的最小整数值是__________. 【答案】2
13.如果关于x 的方程4mx 2-mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______.【答案】18
14.若一元二次方程(k -1)x 2-4x -5=0 有两个不相等实数根, 则k 的取值范围是_______. 【答案】1
15
k >
≠且k 15.用适当的方法解下列一元二次方程.(每小题5分,共15分)
(1)5x(x -3)=6-2x; (2)3y 2+1=; (3)(x -a)2=1-2a+a 2(a 是常数)
【答案】（1）3，25-
；（2）3
；（3）1，2a -1 16.已知关于x 的一元二次方程x 2+mx+n=0的一个解是2,另一个解是正数, 而且也是方程
(x+4)2-52=3x 的解,你能求出m 和n 的值吗? 【答案】m=-6,n=8
17.已知关于x 的一元二次方程x 2-2kx+
12
k 2
-2=0.求证:不论k 为何值,方程总有两不相等实数根. 【答案】Δ=2k 2+8>0, ∴不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.
18练习用十字相乘法解一元二次方程：
1、0302=--x x
2、062=-+x x
3、0652=--x x
4、018112=+-x x
5、0262=-+x x
6、 0622=-+x x
7、02522=+-x x 8、05522=+-x x
9、0222=-+a ax x 10、 03232=--x x
11、03)31(2=+++x x
12、 (x -1)2+5（x -1）－14=0
1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) 【答案】B A.(a -3)x 2=8 (a≠3) B.ax 2+bx+c=0
C.(x+3)(x -2)=x+5 2
3
2057
x +
-= 2下列方程中,常数项为零的是( ) 【答案】D A.x 2+x=1 B.2x 2-x -12=12 C.2(x 2-1)=3(x -1)
D.2(x 2+1)=x+2
3.一元二次方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) 【答案】C
A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭ B.2
312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
C. 2
31416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
D.以上都不对
4.关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 值为（ ）
【答案】
B A.1
B.-1
C.1或-1
D.
12
5.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( ) 【答案】D A.11 B.17
C.17或19
D.19
6.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）【答案】B
B.3
C.6
D.9
7.使分式2561
x x x --+ 的值等于零的x 是( ) 【答案】A
A.6
B.-1或6
C.-1
D.-6
8.若关于y 的一元二次方程ky2-4y -3=3y+4有实根,则k 的取值范围是( ) 【答案】B A.k>-
74
B.k≥-
7
4
且k≠0 C.k≥-
74
D.k>
7
4 且k≠0 8.用______法解方程3(x -2)2=2x -4比较简便. 【答案】提公因式 9.如果2x 2+1与4x 2-2x -5互为相反数,则x 的值为________.【答案】-2
3
或1 10.22____)(_____3-=+-x x x 【答案】
94 ，32
11.若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______.【答案】b=a+c 12.已知方程3ax 2-bx -1=0和ax 2+2bx -5=0,有共同的根-1, 则a= ______, b=______.【答案】1 ，-2
13.一元二次方程x 2-3x -1=0与x 2-x+3=0的所有实数根的和等于____.【答案】3
14.已知3x 2+mx+7=0的一个根,则m=________,另一根为_______.【答案】-6 ，
15.22(3)5x x -+= 16.230x ++=
【答案】解：9-6x+x 2+x 2=5 解：2=0
x 2-3x+2=0 x+=0
(x -1)(x -2)=0 x 1=x 2= x 1=1 x 2=2
16十字相乘法练习：1、01272=+-x x 2、x 2-x -6=0
3、01242=-+x x
4、01452=-+x x
5、4x 2+24x+27=0
6、7x 2-19x -6=0
7、 12x 2-13x+3=0 8、7（x -1）2 +4（x -1）－20=0
学习顾问签字： 学科负责人签字：。