高中数学 第二章 统计 2.1 随机抽样 2.1.3-2.1.4 分层抽样 数据的收集教学案 新人教

2．1.3 & 2.1.4 分层抽样数据的收集
预习课本P53～56，思考并完成以下问题
(1)分层抽样是如何定义的？其特点是什么？
(2)分层抽样的步骤有几步？
(3)数据的收集有几种常用方法？
[新知初探]
1．分层抽样的定义
当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常将总体中各个个体按某种特征分成假设干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．[点睛] 分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．
2．数据收集的常用方式
[小试身手]
1．某校高三年级有男生500人，女生400人．为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是( )
A ．简单随机抽样法
B ．抽签法
C ．随机数表法
D ．分层抽样法
答案：D
2．某大学要得到全体一年级新生的身高，应选择的最恰当的数据收集方法是( ) A ．做试验 B ．查阅资料 C ．设计调查问卷 D ．其他 答案：A
3．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人，为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，那么从上述各层中依次抽取的人数分别是( )
A ．12,24,15,9
B ．9,12,12,7
C ．8,15,12,5
D ．8,16,10,6 解析：选D 抽样比例为40800＝120，故各层中依次抽取的人数为160×120＝8(人)，320×
1
20＝16(人)，200×120＝10(人)，120×1
20
＝6(人)．应选D.
4．某单位有职工160人，其中业务员104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，那么抽取管理人员有( )
A ．3人
B ．4人
C ．7人
D ．12人
解析：选B 由20160＝18，设管理人员x 人，那么x 32＝1
8
，得x ＝4.
分层抽样的概念
[典例] (1)10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用以下哪种方法最合适( )
A ．系统抽样法
B ．简单随机抽样法
C ．分层抽样法
D ．随机数表法
(2)分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取假设干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行( ) A．每层等可能抽样
B．每层可以不等可能抽样
C．所有层按同一抽样比等可能抽样
D．所有层抽个体数量相同
[解析] (1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层抽样．
(2)保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．
[答案] (1)C (2)C
1．使用分层抽样的前提
分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．
2．使用分层抽样应遵循的原那么
(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原那么；
(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．
[活学活用]
以下问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是( )
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本C．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
解析：选B A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样.
分层抽样的应用
[典例] B，C三种放假方案进
行了问卷调查，调查结果如下：
支持A 方案
支持B 方案
支持C 方案
35岁以下的人数 200 400 800 35岁以上(含35岁)
的人数
100
100
400
(1)从所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 人，从支持A 方案的人中抽取了6人，求n 的值；
(2)从支持B 方案的人中，用分层抽样的方法抽取5人，这5人中在35岁以上(含35岁)的人数是多少？35岁以下的人数是多少？
[解] (1)由题意得
6100＋200＝n
200＋400＋800＋100＋100＋400，
解得n ＝40.
(2)35岁以下的人数为5
500×400＝4，
35岁以上(含35岁)的人数为5－4＝1.
分层抽样的步骤
(1)计算样本容量与总体的个体数之比．
(2)将总体分成互不交叉的层，按比例确定各层要抽取的个体数． (3)用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应数量的个体． (4)将各层抽取的个体合在一起，就得到所取样本． [活学活用]
一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．
解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法．
具体过程如下：
(1)将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．
(2)按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人、40人、100人、40人、
60人．
(3)按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本．
(4)将300人合到一起，即得到一个样本.
数据的收集
[典例] 简单设计一份问卷，调查学生对高一各学科的态度．
[解] 请按自己的感受把下面这些学科的序号填在空格里．
①语文②数学③外语④物理⑤化学
⑥生物⑦历史⑧地理⑨政治⑩体育
⑪艺术(音乐、美术) ⑫技术
我喜欢的学科
我感觉压力最大的学科
我不喜欢的学科
我觉得有用的学科
我觉得内容多的学科
我觉得内容少的学科
调查问卷中问题设计的要求
(1)问卷中的问题必须设计详细，以便被调查者顺利回答．
(2)把比较容易的，不涉及个人的问题排在比较靠前的位置，较难的、涉及个人的问题放在后面．
[活学活用]
1．高一(2)班的刘明同学进行一项调查研究，想得到全班同学在初中学业水平考试中的成绩情况，他应选择的最恰当的数据收集方法是( )
A．做试验B．查阅资料
C．设计调查问卷D．一一询问
解析：选B 学业水平考试成绩可以从考试院的成绩库中进行查询，这属于查阅资料法，显然不适合用试验法及问卷法．
2．为调查小区平均每户居民的月用水量，下面是三名同学设计的方案：
学生甲：我把这个用水量调查表放在互联网上，只要登陆网站的人就可以看到这张表，
他们填的表可以很快地反馈到我的电脑中，这样就可以很快估算出小区平均每户居民的月用水量；
学生乙：我给我们居民小区的每一个住户发一张用水调查表，只要一两天就可以统计出小区平均每户居民的月用水量；
学生丙：我在小区的电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码，然后逐个给这些住户打电话，问一下他们的月用水量，然后就可以估算出小区平均每户居民的月用水量．
请问：这三位同学设计的方案中哪一个较合理？你有何建议？
解：学生甲的方法得到的样本只能够反映上网居民的用水情况，它是一种方便样本，所得到的样本代表性差，不能很准确地获得平均每户居民的月用水量．
学生乙的方法实际上是普查，花费的人力、物力更多一些，但是如果统计过程不出错，就可以准确地得到平均每户居民的月用水量．
学生丙的方法是一种随机抽样的方法，所在小区的每户居民都装有电话的情况下，建议用随机抽样方法获得数据．用学生丙的方法，既节省人力、物力，又可以得到比较精确的结果．
[层级一 学业水平达标]
1．(北京高考)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，那么该样本中的老年教师人数为( )
类别 人数 老年教师 900 中年教师 1 800 青年教师 1 600 合计
4 300
A.90 C ．180
D ．300
解析：选C 设该样本中的老年教师人数为x ，由题意及分层抽样的特点得x 900＝320
1 600
，
故x ＝180.
2．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员
96人．假设在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，那么这四个社区驾驶员的总人数N 为( )
A ．101
B ．808
C ．1 212
D ．2 012
解析：选B 由题意知抽样比为12
96，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12＋21＋25
＋43＝101，故有1296＝101
N
，解得N ＝808.
3．做饭时为了知道饭煮熟了没有，从饭煲中舀出一勺饭尝尝，这种试验方法________(填“合适〞或“不合适〞)．
解析：“一勺饭〞就是从总体“饭〞中获取的样本，通过对样本研究便可知整体的性质，这是生活常识，这种试验方法合适．
答案：合适
4．某公司生产的三种型号的家用轿车，产量分别是1 200辆、6 000辆和2 000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取一个容量为46的样本进行检验，那么这三种型号的轿车依次应取________辆、________辆和________辆．
解析：三种型号的轿车的产量比是1 200∶6 000∶2 000＝3∶15∶5，所以三种型号的轿车分别抽取的辆数是323×46＝6(辆)，1523×46＝30(辆)，5
23
×46＝10(辆)．
答案：6 30 10
[层级二 应试能力达标]
1．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1
100的抽样比用分层抽样的方法抽取
样本，那么应抽取高一学生数为( )
A ．8
B ．11
C ．16
D ．10
解析：选A 假设设高三学生数为x ，那么高一学生数为x 2，高二学生数为x
2
＋300，所以
有x ＋x 2＋x 2＋300＝3 500，解得x ＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为
800
100
＝8.
2．某校做了一次关于“感恩父母〞的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，
15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x 份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，那么在15～16岁学生中抽取的问卷份数为( )
A ．60
B ．80
C ．120
D ．180
解析：选C 11～12岁回收180份，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，那么抽样比为13
.
∵从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，
∴从四个年龄段回收的问卷总数为300
13＝900(份)，那么15～16岁回收问卷份数为：x
＝900－120－180－240＝360(份)．
∴在15～16岁学生中抽取的问卷份数为360×1
3
＝120(份)，应选C.
3．“民以食为天，食以安为先〞，食品安全是关系人们身体健康的大事．某店有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．假设采用分层抽样的方法抽取样本，那么抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析：选C 抽样比k ＝
2040＋10＋30＋20＝20100＝1
5
，所以抽取植物油类与果蔬类食品种
数之和是10×15＋20×1
5
＝2＋4＝6.
4．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案．使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有以下四种情况：
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250； ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265； ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270. 关于上述样本的以下结论中，正确的选项是( ) A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样 C ．①、④都可能为系统抽样 D ．①、③都可能为分层抽样
解析：选D 因为③可视为系统抽样，所以选项A 不对；因为②可视为分层抽样，所以选项B 不对；因为④不为系统抽样，所以选项C 不对．应选D.
5．(福建高考)某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，那么应抽取的男生人数为________．
解析：设应抽取的男生人数为x ，那么x 900－400＝45
900
，解得x ＝25.
答案：25
6．为了了解某校学生对数学的喜好情况，对高一八个班学生进行调查，你认为__________方式收集数据最合适．
解析：根据被调查对象的特点和调查的内容进行分析，采用调查问卷方式最合适． 答案：调查问卷
7．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为2∶3∶5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号产品有16件，那么此样本的容量n ＝________.
解析：由于A ，B ，C 产品数量之比为2∶3∶5，样本中A 型号产品有16件，那么210＝16
n
，解得n ＝80.
答案：80
8．某班班长就全班同学的学习习惯进行了一次普查，他向同学询问了以下三个问题： (1)你每天有多少时间来写作业？ (2)你上课认真听讲吗？ (3)你抄袭其他同学的作业吗？
说说他设计的这三个问题有什么不足之处．
解：(1)每天做作业的时间不一定相同，这个问题应该问平均时间．
(2)上课时走神是很多人都会有的习惯，只是程度不同，宜设计为选择题，选择设置为
一直认真听讲，偶尔走神，经常走神．
(3)抄袭作业是不好的习惯，很多人不愿意直面回答，调查问卷应该设计为不记名问卷．
9．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%，登山组的职工占参加活动总人数的1
4，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.
为了了解各组不同的年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
解：(1)设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a ，b ，
c ，
那么有
x ·40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ·10%＋3xc
4x
＝10%.
解得b ＝50%，c ＝10%.
故a ＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%,50%,10%.
(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200×3
4×40%＝60；
抽取的中年人人数为200×3
4×50%＝75；
抽取的老年人人数为200×3
4
×10%＝15.。