不等式恒成立问题——数形结合法

不等式恒成立问题——数形结合法
一、基础知识：
1、函数的不等关系与图像特征：
（1）若x D ∀∈，均有()()()f x g x f x <⇔的图像始终在()g x 的下方； （2）若x D ∀∈，均有()()()f x g x f x >⇔的图像始终在()g x 的上方。

2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数；
3、要了解所求参数在图像中扮演的角色，如斜率，截距等；
4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图像，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）；
5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备；
6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点： （1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图像变换作图； （2）所求的参数在图像中具备一定的几何含义； （3）题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征。

二、典型例题：
例1：已知不等式()2
1log a x x -<在()1,2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是_________。

思路：本题难于进行参变分离，考虑数形结合解决，先作出()2
1y x =-的图像，观察图像可 得：若要使不等式成立，则log a y x =的图像应在()2
1y x =-的上方，所以应为单增的对数函数，即1a >，另一方面，观察图像可得：若要保证在()1,2x ∈时不等式成立，只需保证在
2x =时，()2
1log a x x -<即可，代入2x =可得：1log 22a a ≤⇒≤，综上可得：12a <≤
答案：12a <≤
小炼有话说：（1）通过常系数函数图像和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小了参数讨论的取值范围。

（2）学会观察图像时要抓住图像特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的2x =） （3）处理好边界值是否能够取到的问题
例2：若不等式log sin 2(0,1)a x x a a >>≠对于任意的0,4x π⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
都成立，则实数a 的取值范围是___________。

思路：本题选择数形结合，可先作出sin 2y x =在0,
4x π⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
的图像，a 扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得01a <<，观察图像进一步可得只需4
x π
=
时，
log sin2a x x ≥，即log sin 214
4
4
a
a π
π
π
>⋅
=⇒>
，所以,14a π⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
答案：,14a π⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
例3：若不等式21x x c +->对任意x R ∈恒成立，求c 的取值范围。

思路：恒成立不等式变形为21x c x ->-，即2y x c =-的图像在1y x =-图像的上方即可，先作出1y x =-的图像，对于2y x c =-，可看作y x =经过平移得到，而平移的距离与c 的取值有关。

通过观察图像，可得只需21c >，解得：12
c > 答案： 12
c >
小炼有话说：在本题中参数c 的作用是决定图像平移变换的程度，要抓住参数在图像中的作用，从而在数形结合中找到关于参数的范围要求
例4：若||2p ≤,不等式2
12x px p x ++>+恒成立,则x 的取值范围是______。

思路：本题中已知p 的范围求x 的范围，故构造函数时可看作关于p 的函数，恒成立不等式
变形为 ()2210x p x x -+-+>,设()()()2
2122f x x p x x p =-+-+-≤≤,即关于p
的一次函数，由图像可得：无论直线方向如何，若要()0f x >，只需在端点处函数值均大于
0即可，即()()20
20
f f >⎧⎪⎨->⎪⎩,
解得：x <
或x >
答案：x <
或x > 小炼有话说：（1）对于不等式，每个字母的地位平等，在构造函数时哪个字母的范围已知，则以该字母作为自变量构造函数。

（2）线段的图像特征：若两个端点均在坐标轴的一侧，则线段上的点与端点同侧。

（3）对点评（2）的推广：已知一个函数连续且单调，若两个端点在坐标轴的一侧，则曲线上所有点均与端点同侧
例5：已知函数()21f x x mx =+-，若对任意的[],1x m m ∈+，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是_____________。

思路：恒成立的不等式为2
10x mx +-<，如果进行参变分离，虽可解决问题，但是因为x 所在区间含参，m 的取值将决定分离时不等号方向是否改变，需要进行分类讨论，较为麻烦。

换一个角度观察到()f x 是开口向上的抛物线，若要()0f x <，只需端点处函数值小于零即
可（无论对称轴是否在区间内），所以只需()(
)2
221022312300
2
m f
m m f
m m m m ⎧<<⎪⎧=-<⎪⎪⇒⎨
⎨
+=+<⎪⎪⎩-<<⎪⎩ ，
解得m ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
答案：2⎛⎫
-
⎪⎝⎭
小炼有话说：本题也可以用最值法求解：若()0f x <，则()max 0f x <，而()f x 是开口向上的抛物线，最大值只能在边界处产生，所以()()0
10
f m f m <⎧⎪⎨
+<⎪⎩，再解出m 的范围即可
例6：已知函数()()
1f x x a x =+，设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ，若
11,22A ⎡⎤
-⊆⎢⎥⎣⎦
，则实数a 的取值范围是_____________。

思路：首先理解条件11,22
A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦，即11,22x ⎡⎤
∀∈-⎢⎥⎣⎦
时，不等式()()f x a f x +<恒成立，
可判断出函数()f x 为奇函数，故先作出0x >的图像，即2
y ax x =+，参数a 的符号决定开口方向与对称轴。

故分类讨论：当0a >时，2
y ax x =+单调递增，且()f x a +为()f x 向左平移a 个单位，观察图像可得不存在满足条件的a ，当0a <时，2
y ax x =+开口向下，
且()f x a +为()f x 向右平移a 个单位，观察可得只需11
,22
x x =
=-，()()f x a f x +<，即可保证11,22x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，()f x a +的图像始终在()f x 的下方。

()()1212f a f x f
a f x ⎧
⎛⎫+< ⎪⎪⎪⎝
⎭∴⎨⎛⎫⎪-< ⎪⎪⎝⎭
⎩
解得：
102
a <<；当0a =时，代入验证不符题意。

答案：
0a << 小炼有话说：（1）注意本题中“恒成立问题”的隐含标志：子集关系 （2）注意函数奇偶性对作图的影响
（3）本题中参数a 扮演两个角色：① ()f x 二次项系数——决定抛物线开口，② 决定二次函数对称轴的位置； ③ 图像变换中决定平移的方向与幅度，所以要进行符号的分类讨论。

例7：已知函数()2
12ln 2f x a x ax x ⎛
⎫=-
-+ ⎪⎝
⎭
.当x ∈()1,+∞时，不等式()0f x <恒成立，则实数a 的取值范围是________。

思路：所证不等式可转化为2
12ln 2a x ax x ⎛⎫-
-<- ⎪⎝
⎭
，作出ln y x =-的图像，当12a ≠时a 的取值决定2
122y a x ax ⎛
⎫=-
- ⎪⎝
⎭
的开口，观察可得102a -<，且1x =时，212ln 2a x ax x ⎛⎫--≤- ⎪⎝⎭即可，10112122202
a a a a ⎧
-<⎪⎪∴⇒-≤<⎨⎪--≤⎪⎩ 当1
2
a =
时，不等式为ln 0x x -<，可证明其成立 答案：11,22a ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦ 小炼有话说：原不等式无法直接作出图像，则考虑先变形再数形结合，其原则为两个函数均可进行作图。

例8：设a R ∈，若0x >时均有()2
1110a x x ax ⎡⎤----≥⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则a =_________。

思路：本题如果考虑常规思路，让两个因式同号去解a 的值（或范围），则不可避免较复杂的分类讨论，所以可以考虑利用图像辅助解决。

将两个因式设为函数：()()11f x a x =--，
()21g x x ax =--，则在图像上要求这两个函数同时在x 轴的上方与下方。

这两个函数在图
像上有公共定点()0,1-，且()g x 为开口向上的抛物线。

所以()f x 的斜率必大于0，即1a >，通过观察图像可得：()f x 与()g x 与x 轴的交点必须重合。

()1
01
f x x a =⇒=
-，所以2
111010111g a a a a ⎛⎫⎛⎫
=⇒-⋅-= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
，解得：0a =（舍）或32a = 答案：3
2
a =
小炼有话说：（1）在处理不等式的问题时要有两手准备，一是传统的代数方法，二是通过数形结合的方式。

要根据题目选择出合适的方法。

对于数形结合而言，要求已知条件与所求问题都具备一定的图像特征。

所以在本题中一旦确定了使用图像，则把条件都翻译为图像上的特点。

（2）本题中隐藏的公共定点是本题的一个突破口，这要求我们对于含参的函数（尤其是直线），要看是否具备过定点的特征。

例9：(2015山东烟台高三一模）已知()2
243,0
23,0
x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩，不等式
()()2f x a f a x +>-在[],1a a +上恒成立，则实数a 的取值范围是( )。

A. (),2-∞-
B. (),0-∞
C. ()0,2
D. ()2,0-
思路：本题有两个难点，一是所给区间含参，一个是()x a +与()2a x -很难确定其范围，从而()f x a +与()2f a x -无法化成解析式。

但由于所给不等式可视为两个函数值的大小，且分段函数图像易于作出，所以考虑作出()f x 图像，看是否存在解题的突破口。

通过图像可以看出虽然()f x 是分段函数，但是图像连续且单调递减。

所以()f x 是R 上的减函数。

那么无论()x a +与()2a x -位于哪个区间，由()()2f x a f a x +>-及单调性均可得到：只需
22x a a x a x +<-⇒>，所以()()max 221a x a >=+，解得2a <-
答案：A
例10：已知函数
()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，
()()
2221
232
f x x a x a a =
-+-- ，若()(),1x R f x f x ∀∈-≤，则实数a 的取值范围是_____________。

思路：()f x 是奇函数且在0x >时是分段函数（以22
,2a a 为界），且形式比较复杂，恒成立
的不等式()()1f x f x -≤较难转化为具体的不等式，所以不优先考虑参变分离或是最值法。

从数形结合的角度来看，一方面()f x 的图像比较容易作出，另一方面()1f x -可看作是
()f x 的图像向右平移一个单位所得，相当于也有具体的图像。

所以考虑利用图像寻找a 满足的条件。

先将()f x 写为分段函数形式：()22
222
23,2,2,0x a x a f x a a x a x x a ⎧-≥⎪=-≤<⎨⎪-<<⎩
，作出正半轴图像后再
根据奇函数特点，关于原点对称作出x 负半轴图像。

()()1f x f x -≤恒成立，意味着()f x 的图像向右平移一个单位后，其图像恒在()f x 的下方。

通过观察可得在平移一个单位至少要
平移26a
个长度，所以可得：2
6166
a a ≤⇒≤≤
答案：66⎡-⎢⎣⎦。