3.2确定圆的条件(2)反证法课件
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
例 1
用反证法证明:圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
A O
已知:如图,在⊙O中,弦AB、 CD交于点P,且AB、CD不是直径. 求证:弦AB、CD不被P平分.
D
证明:假设弦AB、CD被P平分,
P
C
B
由于P点一定不是圆心O,连结OP, 根据垂径定理的推论,有 OP⊥AB,OP⊥CD, 即过点P有两条直线与OP都垂直,
提升训练
一、选择题 1.应用反证法推出矛盾的推导过程中,要把下 列哪些作为条件使用 ( ) ①结论相反判断,即假设 ②原命题的结论 ③公理、定理、定义等 ④原命题的条件 A.①④ B.①②③ C.①③④ D.②③ [答案] C [解析] 由反证法的规则可知①③④都可作为条 件使用,故应选C.
2 2
∴ m = 2n ∴ m = 2n ∴m 2 是偶数,从而m必是偶数,故设m = 2k(k∈N)
从而有4k = 2n ,即n = 2k
假设不成立,故
2
2
2
2
∴n2也是偶数,这与m,n互质矛盾!
2
是无理数。
练习、已知a≠0,求证关于x的方程ax=b有 且只有一个根。 证:假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根,
不妨设其中的两根分别为x1,x2且x1 ≠ x2
则ax1 = b,ax2 = b ∴ax1 = ax2 ∴ax1 - ax2 = 0 ∴a(x1 - x2) =0 ∵x1 ≠ x2,x1 - x2 ≠ 0 ∴ a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 故假设不成立,结论成立。
π π 2 例 3.若 a,b,c 均为实数,且 a=x -2y+ ,b=y -2z+ , 2 3
综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.
说明:常用的正面叙述词语及其否定:
正面 词语 否定 正面 词语 等于 大于(>) 小于 (<) 是 都是 只有一 个
不等于
小于或 大于或 等于(≤)等于(≥) 不是
任意的 所有的
没有或 不都是 至少有 两个 至多 有n个 任意两 个
至多有 至少有一 一个 个
因为 所以
1 x 2 y, 1 y 2 x 两式相加得 2 x y 2( x y ) 整理得 x y 2 与已知 x y 2 矛盾
1 x 1 y 所以 , 中至少有一个小于2. y x
1 x 1 y 2, 2 y x x 0, y 0
反证法证明命题的一般步骤如下: 1.假设结论的反面成立; 反设
2.由这个假设 出发 , 经过正确的推理 , 归谬 .. 导出矛盾; 推理过程中一定要用到才行
显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).
3. 由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定 结论 命题的结论正确 .
运用好反证法的另一个关键是正确对结论进行否定
3 .如果两个实数之和为正数,则这两个 数( ) A.一个是正数,一个是负数 B.两个都是正数 C.至少有一个正数 D.两个都是负数 [答案] C [ 解析 ] 假设两个数都是负数,则两个数 之和为负数,与两个数之和为正数矛盾, 所以两个实数至少有一个正数,故应选C.
4.已知x,y>0,且x y 2.试证: 1 x 1 y , 中至少有一个小于2. y x 证明:假设两个数都不小于2,则
3.2确定圆的条件 -反证法
直接证明 分析法(逆推法)
综合法(顺推法)
引例1:
将9个球分别染成红色或白色。那么 无论怎样染,至少有5个球是同色的。你 能证明这个结论吗?
间接证明: 不是直接从原命题的条件逐步 推得命题成立的证明方法。
引例 2
证明:如果a>b>0,那么
a> b
证:假设 a > b不成立,则 a ≤ b
至少有 否定 两个
一个也 没有
某个
某些
至少有n 某两 +1个 个
应用反证法的情形:
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论.
(3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷
多个” ---类命题;
(4)结论为
“唯一”类命题;
例2 求证: 2 是无理数。
证:假设 2是有理数,
m 则存在互质的整数m,n使得 2 = , n
若 a = b,则a = b,与已知a > b矛盾,
若 a < b,则a < b, 与已知a > b矛盾,
故假设不成立,结论 a > b成立。
反证法是一种常用的间接证明的方法。 经过正确 一般地,假设原命题不成立, 因此说明假设错 的推理,最后得出矛盾。 这样的证明 误,从而证明了原命题成立, 方法叫做反证法。 其步骤:
数学—公理化思想
练习 求证:两条相交直线有且只有一个交点. [证明] 假设结论不成立,即有两种可能: 无交点;不只有一个交点. (1) 若直线 a , b 无交点,那么 a∥b 或 a , b 是异面 直线,与已知矛盾; (2) 若直线 a , b 不只有一个交点,则至少有两个 交点 A和 B,这样同时经过点A, B就有两条直线, 这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾. 故假设不成立,原命题正确.
方法小结:
1.反证法 假设原命题 不成立 ( 即在原命题的条件下,结 论不成立 ) ,经过正确的推理,最后得出矛盾, 因 此 说 明 假设错误,从而证明了 原命题成立 ,这种 证明方法叫做反证法. 2.反证法常见矛盾类型 在反证法中,经过正确的推理后“得出矛盾”, 已知条件 所得矛盾主要是指与 矛盾,与 、 数学公理 定义 定理 已被证明了的结论 、 、 公式 或 矛 盾 , 与 公认的简单事实 矛盾.
(1)否定结论——假设命题的结论不成立; (2)推出矛盾——从假设出发,根据已知条件,经过
推理论证,得出与命题的条件或一致的定义、基本事实、 定理等相矛盾的结果 (3)肯定结论——由矛盾判定假设不正确,从而肯定 命题的结论正确。
归缪矛盾: (1)与已知条件矛盾;
(2)与假设矛盾
(3)与已有公理、定理、定义矛盾; (4)与基本事实矛盾。
原结论词 反设词
大于(>) 小于(<) 都是
不大于(≤)不小于(≥)不都是
都不是
至少有一个是
至少n个
至多n-1个
至多n个
至少n+1个
原结论词 反设词
有无穷多个 只有有限多个
存在唯一的 不存在或至少存在两 个
对任意p,使…恒成立 至少有一个p,使…不成立
推理 合情推理 (归纳、类比) 证明 直接证明 (分析法、综合法) 间接证明 (反证法) 演绎推理 (三段论)
2 .命题“三角形中最多只有一个内角是 直角”的结论的否定是 ( ) A.两个内角是直角 B.有三个内角是直角 C.至少有两个内角是直角 D.没有一个内角是直角 [答案] C [ 解析 ] “ 最多只有一个 ” 即为 “ 至多一 个”,反设应为“至少有两个”,故应选 C.
这与垂线性质矛盾,即假设不成立
所以,弦AB、CD不被P平分。
1、证明:在 ABC 直
直角 或______. 钝角 证明:假设结论不成立,则∠B是_____ 直角 时,则_____________ 当∠B是_____ ∠B+ ∠C= 180°
三角形的三个内角和等于180° 这与____________________________ 矛盾; 钝角 时,则______________ ∠B+ ∠C>180° 当∠B是_____ 三角形的三个内角和等于180° 矛盾; 这与____________________________
2
π c=z -2x+ ,求证:a,b,c 至少有一个大于 0. 6
2
[证明]
假设 a,b,c 三个数均不大于 0,
即 a≤0,b≤0,c≤0,则 a+b+c≤0, π π 2 π 2 又 a+b+c=x -2y+ +y -2z+ +z -2x+ 2 3 6
2
=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0. 与假设矛盾,所以假设不成立.故原命题成立. 即 a,b,c 至少有一个大于 0.