初中数学同步讲义9年级第83讲特殊角的三角函数值

第83讲特殊角的三角函数值
教师版
一、知识讲解
特殊角是指那些角度大小为特定值的角，其三角函数值是可以直接得
出来的，不需要借助计算器或查表。

本讲我们将学习特殊角的三角函数值。

1、30度特殊角
我们先来讨论30度特殊角，记作30°。

在直角三角形中，当一个角的度数为30°时，那么这个角的对边与
斜边的比值等于1/2，即sin30°=1/2
同理，通过对边与斜边的比值，我们可以得到cos30°=√3/2，
tan30°=1/√3
2、45度特殊角
接下来我们讨论45度特殊角，记作45°。

在直角三角形中，当一个角的度数为45°时，那么这个角的两条直
角边的长度相等，即sin45°=1/√2
同理，通过直角边与斜边的比值，我们可以得到cos45°=1/√2，
tan45°=1
3、60度特殊角
再来讨论60度特殊角，记作60°。

在直角三角形中，当一个角的度数为60°时，那么这个角的对边与
斜边的比值等于√3/2，即sin60°=√3/2
同理，通过对边与斜边的比值，我们可以得到cos60°=1/2，
tan60°=√3
4、特殊角的余函数与余切函数
我们知道，余函数是指三角函数sin、cos、tan的倒数。

所以，特殊
角的余函数就是特殊角sin、cos、tan的倒数。

例如，sin30°=1/2，那么sin的倒数就是2/1，即csc30°=2；
cos30°=√3/2，那么cos的倒数就是2/√3，即sec30°=2/√3；
tan30°=1/√3，那么tan的倒数就是√3/1，即cot30°=√3
同理，我们可以得到其他特殊角的余函数与余切函数。

二、示例讲解
现在我们通过一些示例来练习特殊角的三角函数值的求解。

示例1：求sin75°的值。

解：75°可表示为30°+45°，所以sin75°=sin(30°+45°)。

根据三角函数的和差公式sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB，我们可
以得到sin75°=sin30°cos45°+cos30°sin45°。

根据特殊角的三角函数值，我们可以得到sin30°=1/2，
cos45°=1/√2，sin45°=1/√2，cos30°=√3/2
所以sin75°=(1/2)(1/√2)+(√3/2)(1/√2)=1/√2+√3/2=（1+√3）/2√2
示例2：求cos105°的值。

解：105°可表示为45°+60°，所以cos105°=cos(45°+60°)。

根据三角函数的和差公式cos(A±B)=cosAcosB±sinAsinB，我们可以得到cos105°=cos45°cos60°-sin45°sin60°。

根据特殊角的三角函数值，我们可以得到cos45°=1/√2，
cos60°=1/2，sin45°=1/√2，sin60°=√3/2
所以cos105°=(1/√2)(1/2)-(1/√2)(√3/2)=1/2√2-
√3/2√2=(1-√3)/2√2
三、练习题
1、求ta n15°的值。

2、求cot75°的值。

3、求sec120°的值。

4、求sin105°的值。

四、课堂练习
1、求tan75°的值。

2、求cot30°的值。

3、求sec150°的值。

5、求cos150°的值。

五、作业
1、求tan105°的值。

2、求cot45°的值。

3、求sec90°的值。

4、求sin150°的值。

5、求cos165°的值。

六、总结
本节课我们学习了特殊角的三角函数值的求解方法，并通过示例和练习题进行了实践。

特殊角的三角函数值是数学中的重要概念，掌握好这些特殊角的三角函数值，对于我们在解题过程中能够更快地得出结果，提高解题效率是非常有帮助的。

希望大家通过课堂练习和作业，进一步熟练掌握特殊角的三角函数值的求解。