常用逻辑用语知识例题梳理

常用逻辑用语
一、知识要点梳理
知识点一：命题
1. 定义：
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.
（1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.
（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题
（3）命题“”的真假判定方式：
①若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。

如：一定推出.
②若要判断命题“”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.
注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.
2. 逻辑联结词：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.
（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.
（2）复合命题的构成形式：
①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）.
（3）复合命题的真假判断：
①当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；
②当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。

③“非p”与p的真假相反.
注意：
（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。

可以类比于集合中“或”. （2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：
“p或q”的否定是“p且q”；“p且q”的否定是“p或q”.
（3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。

知识点二：四种命题
1. 四种命题的形式：
用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；
否命题：若p则q；逆否命题：若q则p.
2. 四种命题的关系
①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.
②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.
除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.
命题与集合之间可以建立对应关系，在这样的对应下，逻辑联结词和集合的运算具有一致性，命题的“且”、“或”、“非”恰好分别对应集合的“交”、“并”、“补”，因此，我们就可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定。

知识点三：充分条件与必要条件
1. 定义：
对于“若p则q”形式的命题：
①若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
②若p q，但q p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
③若既有p q，又有q p，记作p q，则p 是q的充分必要条件（充要条件）.
2. 理解认知：
（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，
再用结论推条件，最后进行判断.
（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.
“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.
3. 判断命题充要条件的三种方法
（1）定义法：
（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原
命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用
与；与；与的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.
(3) 利用集合间的包含关系判断，比如A B可判断为A B；A=B可判断为A B，且
B A，即A B.
如图：
“”“，且”是的充分不必要条件.
“”“”是的充分必要条件.
知识点四：全称量词与存在量词
1. 全称量词与存在量词
全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。

表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“”表示，读作“对任意”。

含有全称量词的命题，叫做全称命题。

全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可表示为“”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题. （II）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。

表示形式为“有一个”，“存在一个”, “至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在”。

含有
存在量词的命题，叫做特称命题特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可表示
为“”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.
2. 对含有一个量词的命题进行否定
（I）对含有一个量词的全称命题的否定
全称命题p：，他的否定：全称命题的否定是特称命题。

（II）对含有一个量词的特称命题的否定
特称命题p：，他的否定：特称命题的否定是全称命题。

注意：（1）命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。

（2）一些常见的词的否定：
规律方法指导
1. 解答命题及其真假判断问题时，首先要理解命题及相关概念，特别是互为逆否命题的真
假性一致.
2. 要注意区分命题的否定与否命题.
3. 要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，将二
者相互对照可加深认识和理解.
4. 处理充要条件问题时，首先必须分清条件和结论。

对于充要条件的证明，必须证明充分
性，又要证明必要性；判断充要条件一般有三种方法：用集合的观点、用定义和利用命
题的等价性；求充要条件的思路是：先求必要条件，再证明这个必要条件是充分条件.
5. 特别重视数形结合思想与分类讨论思想的运用。

三、典型例题
一、题型一：命题、真命题、假命题的判断
1．例1：下列语句是命题的是( )
A．梯形是四边形B．作直线AB
C．x是整数D．今天会下雪吗
解：A
2、例2．下列说法正确的是( )
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
解析：对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D.
变式练习：下列命题是真命题的是( )
A．{∅}是空集 B.{}
x∈N||x－1|<3是无限集
C．π是有理数 D．x2－5x＝0的根是自然数
解析：选D. x2－5x＝0的根为x1＝0，x2＝5，均为自然数．
二、题型二：复合命题的结构
例3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：
(1)6是12和18的公约数；
(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；
(3)已知x、y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.
解析：(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．
(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．
因为当a＝0时，方程变为2x－1＝0，此时只有一个实根x＝1 2 .
(3)已知x、y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．
三、题型三：命题真假判断中求参数范围
例4、已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0(m ∈R)无实根，求使p 为真命题且q 也为真命题的m 的取值范围．
解析：若p 为真，则⎩⎨
⎧
Δ＝m 2
－4>0，
m >0，
解得m >2.
若q 为真，则Δ＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3.
p 真，q 真，即⎩
⎨⎧
m >2，
1<m <3.
故m 的取值范围是(2,3)．
变式练习：已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0<x <4，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．
解：命题p 是真命题，则x 2－2x －2≥1，
∴x ≥3或x ≤－1，
命题q 是假命题，则x ≤0或x ≥4. ∴x ≥4或x ≤－1.
四、题型四：四种命题的等价关系及真假判断
例5．命题“若△ABC 有一内角为π
3
，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )
A ．与原命题同为假命题
B ．与原命题的否命题同为假命题
C ．与原命题的逆否命题同为假命题
D ．与原命题同为真命题
解析：选D. 原命题显然为真，
原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π
3
”，它是真命
题． 故选D.
例6．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )
A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数
B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数
C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数
D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数 答案： B 例7．．给出下列命题：
①命题“若b 2－4ac <0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根”的否命题；
②命题“△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；
③命题“若a>b>0，则3
a>
3
b>0”的逆否命题；
④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．
其中真命题的序号为________．
解析：①否命题：若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，真命题；
②逆命题：若△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝CA，真命题；
③因为命题“若a>b>0，则3
a>
3
b>0”是真命题，故其逆否命题为真命题；
④逆命题：若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R，则m>1，假命题．
所以应填①②③.
变式练习．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的( )
A．逆命题B．逆否命题
C．否命题D．以上判断都不对
解析：选B. 命题p：若x，则y，其逆命题q：若y，则x，那么命题q的否命题r：若非y，则非x，所以p是r的逆否命题．所以选B.
五、题型五：问题的逆否证法
例8．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．
解：∵m>0，
∴12m>0，∴12m＋4>0.
∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式
Δ＝12m＋4>0.
∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．
又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．
六、题型六：判断条件关系及求参数范围
例9．“x＝2kπ＋π
4
(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：当x＝2kπ＋π
4
时，tan x＝1，
而tan x＝1得x＝kπ＋π4
，
所以“x＝2kπ＋π
4
”是“tan x＝1”成立的充分不必要条件．故选A.
例10、设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是
A 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
解析： 由题意得： 故D 是A 的必要不充分条件
例11．已知条件p ：－1≤x ≤10，q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0(m >0)不变，若非p 是非q 的必要而不充分条件，如何求实数m 的取值范围？
解：p ：－1≤x ≤10.
q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0
⇔[x －(2－m )][x －(2＋m )]≤0(m >0) ⇔2－m ≤x ≤2＋m (m >0)．
因为非p 是非q 的必要而不充分条件， 所以p 是q 的充分不必要条件，
即{x |－1≤x ≤10}{x |2－m ≤x ≤2＋m }，
故有⎩⎨
⎧
2－m ≤－12＋m >10
或⎩⎨
⎧
2－m <－12＋m ≥10
，
解得m ≥8.
所以实数m 的范围为{m |m ≥8}．
变式练习1：已知条件：p ：y ＝lg(x 2＋2x －3)的定义域，条件q ：5x －6>x 2，则q 是p 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A. p ：x 2＋2x －3>0，则x >1或x <－3；
q ：5x －6>x 2，即x 2－5x ＋6<0， 由小集合⇒大集合，
∴q ⇒p ，但p q ．故选A.
变式练习2 已知p ：1
2
≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 的必要不充分条件是q ，求实数a 的取
值范围．
解析：q 是p 的必要不充分条件，
则p ⇒q 但q ⇒/p .
∵p ：1
2≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1.
∴a ＋1≥1且a ≤12，即0≤a ≤1
2.
∴满足条件的a 的取值范围为⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤0，12.
七、充要条件的论证
例12、求证：0≤a <4
5是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立的充要条件．
证明：充分性：∵0<a <4
5
，
∴Δ＝a 2－4a (1－a )＝5a 2－4a ＝a (5a －4)<0， 则ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立． 而当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0可变成1>0.
显然当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立． 必要性：∵ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立，
∴a ＝0或⎩⎨⎧
a >0，
Δ＝a 2
－4a 1－a <0.
解得0≤a <4
5
.
故0≤a ＜4
5
是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立的充要条件．
八、命题真假值的判断
例13．如果命题“p ∨q ”与命题“非p ”都是真命题，那么( ) A ．命题p 不一定是假命题 B ．命题q 一定为真命题 C ．命题q 不一定是真命题 D ．命题p 与命题q 的真假相同
解析：选B.“p ∨q ”为真，则p 、q 至少有一个为真．非p 为真，则p 为假，∴q 是真命题．
变式练习：判断由下列命题构成的p ∨q ，p ∧q ，非p 形式的命题的真假：
(1)p ：负数的平方是正数，q ：有理数是实数； (2)p ：2≤3，q ：3<2；
(3)p ：35是5的倍数，q ：41是7的倍数．
解：(1)p 真，q 真，∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题，非p 为假命题；
(2)p 真，q 假，∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，非p 为假命题； (3)p 真，q 假，∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，非p 为假命题．
九、命题的否定与否命题
例14．命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为________，命题的否定为________． 解析：命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为“若a ≥b ，则2a ≥2b ”，
命题的否定为“若a <b ，则2a ≥2b ”．
例15：（1）已知命题p :若12x ≤≤,则21
32
x x >-+0，命题p 的否定为:___________________.
答案：若12x ≤≤,则221
32032
x x x x -+=-+≤0 或 .（注意要全盘否定）
（2）命题“若2
1x =,则1x =”的否定是__________________.
答案：2.若21
x ,则x不一定等于1.
变式练习1：“a≥5且b≥3”的否定是____________；
“a≥5或b≤3”的否定是____________．
解：a＜5或b＜3 a＜5且b＞3
变式练习2： (2010年高考安徽卷) 命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．
解：存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
变式练习3．写出下列命题的否定，然后判断其真假：
(1)p：方程x2－x＋1＝0有实根；
(2)p：函数y＝tan x是周期函数；
(3)p：∅⊆A；
(4)p：不等式x2＋3x＋5<0的解集是∅.
解析：
题号判断p的真假非p的形式判断非p的真假
(1)假方程x2－x＋1＝0无实数根真
(2)真函数y＝tan x不是周期函数假
(3)真∅ A 假
(4)真不等式x2＋3x＋5<0的解集不是∅假
十、全称命题与特称命题相关小综合题
例15．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：
(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，a x>0.
(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2.
(3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.
(4)∃x0∈R，使x20＋1<0.
解析：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．
(1)∵a x>0(a>0且a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．
(2)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，
但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．
(3)y＝|sin x|是周期函数，π就是它的一个周期，
∴命题(3)是真命题．
(4)对任意x 0∈R ，x 20＋1>0. ∴命题(4)是假命题．
例16．若命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－3或a >2 B ．a ≥2 C ．a >－2
D ．－2<a <2
解析：依题意：ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1恒成立，
即(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0恒成立， 所以有：⎩⎨
⎧
a ＋2>0，
16－4a ＋2a －1≤0
⇔⎩⎨⎧
a >－2，a 2
＋a －6≥0⇔a ≥2.
所以选B
变式练习1： 已知命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝3；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p 且q ”是________命题．(填“真”或“假”)
解析： 当x 0＝
π
3
时，tan x 0＝3， ∴命题p 为真命题；
x 2
－x ＋1＝⎝
⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0恒成立， ∴命题q 为真命题， ∴“p 且q ”为真命题． 所以填：真
变式练习2： 已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧¬q ”是假命题；③命题“¬p ∨q ”是真命题；④命题“¬p ∨¬q ”是假命题，其中正确的是( )
A ．②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③④
解析： 当x ＝
π
4
时，tan x ＝1，∴命题p 为真命题． 由x 2－3x ＋2<0得1<x <2，∴命题q 为真命题． ∴p ∧q 为真，p ∧¬q 为假，¬p ∨q 为真，¬p ∨¬q 为假． 所以选 D
十一、综合训练典型题
例17．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎨⎧
x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.
(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；
(2)非p 是非q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得
(x －3a )(x －a )<0.
又a >0，所以a <x <3a ，
当a ＝1时，1<x <3，
即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1<x <3.
由⎩⎨⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. 解得⎩⎨⎧ －2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2<x ≤3.
所以q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.
若p ∧q 为真，则⎩
⎨⎧ 1<x <32<x ≤3⇔2<x <3， 所以实数x 的取值范围是(2,3)．
(2)非p 是非q 的充分不必要条件，
即非p ⇒非p 且非q 非q .
设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}，
则A B .
所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2.
所以实数a 的取值范围是(1,2]．
例18．若∀x ∈R ，函数f (x )＝mx 2＋x －m －a 的图象和x 轴恒有公共点，求实数a 的取值范围．
解析： (1)当m ＝0时，f (x )＝x －a 与x 轴恒相交，所以a ∈R ；
(2)当m ≠0时，二次函数f (x )＝mx 2＋x －m －a 的图象和x 轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m (m ＋a )≥0恒成立，
即4m 2＋4am ＋1≥0恒成立．
又4m 2＋4am ＋1≥0是一个关于m 的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a )2－16≤0，解得－1≤a ≤1.
综上所述，当m ＝0时，a ∈R ；
当m ≠0，a ∈[－1,1]．
变式练习1：已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.
(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )＞0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．
(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)＞0成立，求实数m 的取值范围．
解析： (1)不等式m ＋f (x )＞0可化为m ＞－f (x )，
即m ＞－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.
要使m ＞－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，
只需m ＞－4即可．
故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )＞0对于任意x ∈R 恒成立，此时只需m ＞－4.
(2)若m －f (x 0)>0，
∴m >f (x 0)．
∵f (x 0)＝x 20－2x 0＋5＝(x 0－1)2＋4≥4.
∴m >4.
变式练习2：已知命题p ：函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3在[－2，＋∞)上单调递增．q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0解集为R .若p ∧q 假，p ∨q 真，求实数a 的取值范围．
解析： ∵函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3
＝[x ＋(a 2－a )]2－a 2，在[－2，＋∞)上单调递增，
∴－(a 2－a )≤－2，
即a 2－a －2≥0，解得a ≤－1或a ≥2.
即p ：a ≤－1或a ≥2
由不等式ax 2－ax ＋1＞0的解集为R 得⎩⎨⎧ a ≥0Δ＜0，
即⎩⎨⎧ a ≥0－a 2－4a ＜0
解得0≤a ＜4
∴q ：0≤a ＜4.
∵p ∧q 假，p ∨q 真．
∴p 与q 一真一假．
∴p 真q 假或p 假q 真，
即⎩⎨⎧ a ≤－1或a ≥2a <0或a ≥4或⎩⎨⎧ －1≤a ＜2，0≤a ＜4.
∴a≤－1或a≥4或0≤a＜2.
所以实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞)．。