《一元二次方程根与系数的关系》PPT课件

b2-4ac 2a
=
-2b 2a
= (-b+
b2-4ac )(-b4a2
b2-4ac )
=
b2-(b2-4ac) 4a2
b
=
4ac 4a2
a
=
c a
任意的一元二次方程
ax2+bx+cwenku.baidu.com0（a≠0 b2 4ac 0）的
x1+x2， x1.x2与系数a，b，c 的关
系是：
一元二次方程根与系数 的关系是法国数学家“ 韦达”发现的,所以我
4.6 一元二次方程根与 系数的关系
-.
1. 填表
方程
x1, x2 x1+ x2 x1. x2
① x2-3x+2=0
2,1 3
2
② X2-2x-3=0
-1,3
2
-3
③ X2-5x +4=0 1,4
5
4
问题：你发现这些一元二次方程的根与系数
有什么规律？
当二次项系数为1时
x x2+px+q=0的两根为x1,, x2 x1
三、延伸与拓展
例题6：已知二次函数y＝x2－mx－4 （1）求证：该函数的图象一定与x轴有两个不 同的交点。
（2）设该函数的图象与x轴的交点坐标为（x1， 0），（x2，0） 且有 1 1 1 求m的值，并求出该函数图象的 顶点坐x1 标x。2
P
2
则有
x1. x2 q
2、填表
方程
x1
x9 2 6x 1 0
1 3
x3 2 4x 1 0 1 3
x3 2 7x 2 0 1 3
x x x 2
x x
.
1
2
12
1
2
1
3
3
9
1
4
1
3
3
-2
7 3
2 3
说一说，你又有什么发现？
猜想：
如果一元二次方程
ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且
a=0 b2 4ac 0
）的两根为x1、x2，则
x1 x2 x1.x2与系数a，b，c 的关系。
x1
x2
b a
x1 x2
c a
x1 x2
x1. x2
x2=
-b-
b2-4ac 2a
x1+x2= -b+
b2-4ac 2a
+ -b-
b2-4ac 2a
x1•x2= -b+
b2-4ac -b2a •
则x1＋x2＝
b a
，x1x2＝
c a。
3、用根与系数关系解题的条件 是（1）a≠0 （2）△≥0 。
二、典型例题
例题1：已知方程 1 x2＝2x＋1的两根为
x1,x2，
2
不解方程，求下列各式的值。
（1）（x1－x2）2
x2 x1 （3） x1 x2
（2）x13x2＋x1x23
提 3、已知：如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，
高
AD⊥DC，AD=10cm，
练 以AD 为直径的⊙O切另
AB
习
一腰于E，以AB、CD为 根的方程是X2-12X+m=0， O
E
求m的值。
C
D
例题3： 设x1，x2是方程2x2－3x＋m＝0的两个根， 且8x1－2x2＝7，求m的值。
例题4： 已知关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0 有两个不相等的实数根，且方程的两根之和比 两根之积7，求k的值。
x1+x2=-—ab
x1.x2=
—c
a
们又称之为韦达定理.
例1 已知方程 2x2+kx-4=0的一 个根是-4，求它的另一个根 及k的值。
解:设方程的另一根是
4
x2
k 2
4
x2
4 2
x2
1 2
k 7 1
答：方程的另一个根是 2 k的值是7。
x,2则
1.下列方程两根的和与两根
的积各是多少?（不解方程）
x1,
x2 则有
x1
x2
b a
;
x1.
x2
c a
例题2：
（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是 －2，求它的另一个根及n的值。
（2）若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－ 2，求它的另一个根及k的值。
一、知识要点：
1、一元二次方程的一般形
式
ax2＋bx＋c=0 (a≠0)
。
2、若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1 、x2
（1）x2-3x+1=0 （2）3x2-2x=2 （3）2x2+3x=0 （4）3x2=1
2、设x1.x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用
根与系数的关系，求下列各式的值。 （1）（ x1+1）（x2+1）（2）x—x21 + x—x21
一元二次方程根与系数的关系？
如果ax2 bx C 0(a 0)的两根分别是