人教版九年级数学上册第22章二次函数知识点总结

人教版九年级数学二次函数在中考中知识点总结
一、相关概念及定义
1 二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，
，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，
可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：
（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．
（2）a b c ，
，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数各种形式之间的变换
1二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2
的形式，其中
a
b a
c k a b h 4422
-=-=，.
2 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；
③()2
h x a y -=；④()k h x a y +-=2
；⑤c bx ax y ++=2. 三、二次函数解析式的表示方法
1 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；
2 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
3 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.
4 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法
1 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.
一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，
、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，
、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
2 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
五、二次函数2ax y =的性质
六、二次函数2y ax c =+的性质
七、二次函数
y a x h =-的性质：
八、二次函数
y a x h k =-+的性质
九、抛物线
y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
1 a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；
a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.
2对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2b
x a
=-
.特别地，y 轴记作直线0=x . 3顶点坐标：），（a
b a
c a b 4422
--
4顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 十、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系 1 二次项系数a
二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．
⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；
⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．
总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的
大小决定开口的大小． 2一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，
当0b >时，02b
a -
<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b
a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；
当0b <时，02b
a
->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．
⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即
当0b >时，02b
a -
>，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b
a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；
当0b <时，02b
a
-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．
总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．
总结： 3常数项c
⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；
⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．
总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．
总之，只要a b c ，
，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法
1公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222
2
-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，
对称轴是直线a
b
x 2-=.
2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2
的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.
3运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 十二、用待定系数法求二次函数的解析式
1一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.
2顶点式：()k h x a y +-=2
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
3交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.
十三、直线与抛物线的交点
1y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).
2与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).
3抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；
②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. 4平行于x 轴的直线与抛物线的交点
可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标
相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.
5 一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G
的交点，由方程组 2
y k x
n y a x b x c =+⎧⎨=++⎩
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.
6抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故
a c
x x a b x x =
⋅-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=--=-=-=44422
212
2122121
十四、二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1关于x 轴对称
2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；
()2
y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2关于y 轴对称 2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；
()2
y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++；
3关于原点对称 2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；
()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+-； 4关于顶点对称
2
y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-；
()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =--+．
5关于点()m n ，对称
()2
y a x h k
=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是
()2
22y a x h m n k =-+-+-
总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 十五、二次函数图象的平移 1.平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
2平移规律
在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．
概括成八个字 “左加右减，上加下减”．
十六、根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。

1.三点式。

（1）已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点，求抛物线的解析式。

（2）已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。

2.顶点式。

（1）已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。

（1）已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。

3.交点式。

（1）已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。

（2）已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=2
1
a(x-2a)(x-b)
的解析式。

4.定点式。

（1）在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线222
5212-+-+
-=a x a
x y 经过x 轴上一定点Q ，直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。

（2）抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。

（3） 抛物线y=ax 2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ，求抛物线的解析式。

5.平移式。

（1）把抛物线y= -2x 2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。

（2）抛物线32-+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. 6.距离式。

（1）抛物线y=ax 2+4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。

（2）已知抛物线y=m x 2+3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点，与 轴交于C 点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。

7.对称轴式。

（1）抛物线y=x 2-2x+(m 2-4m+4)与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2倍，求抛物线的解析式。

（2）已知抛物线y=-x 2+ax+4, 交x 轴于A,B （点A 在点B 左边）两点，交 y 轴
于点C,且OB-OA=4
3
OC ，求此抛物线的解析式。

8.对称式。

（1）平行四边形ABCD 对角线AC 在x 轴上，且A （-10，0），AC=16，D （2，6）。

AD 交y 轴于E ，将三角形ABC 沿x 轴折叠，点B 到B 1的位置，求经过A,B,E 三点的抛物线的解析式。

（2）求与抛物线y=x 2+4x+3关于y 轴（或x 轴）对称的抛物线的解析式。

9.切点式。

（1）已知直线y=ax-a 2(a≠0) 与抛物线y=mx 2 有唯一公共点，求抛物线的解析式。

（2） 直线y=x+a 与抛物线y=ax 2 +k 的唯一公共点A （2，1）,求抛物线的解析式。

10.判别式式。

（1）已知关于X 的一元二次方程（m+1）x 2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x 2+(m+1)x+3解析式。

（2）已知抛物线y=(a+2)x 2-(a+1)x+2a 的顶点在x 轴上,求抛物线的解析式。