(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

1
【典型例题】 1] a n (1) 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
ka n b 型。

(2)
比较系
数:
{a n
a n
2] a n 1
(1)k
例: 已知 解:
a n a n
a n a n
a n 1
a n
，设
a n
1 m
m m
b
1｝
是等比数列， (a 1
b 、 ) k 1
f (n)
型。

a n 1
a n
满足a 1
1
1 1
n(n 1) n
1 1 n 1
n 1 1
m
b
公比为
k n 2 n 1时
1时 1时 {a n } 1 1 b k 1 f(n)
a n
n 3
ka n
k(a n a n 1
a n 1
k n1
a n 1 a n
b ｛a
n
｝
是等差数列,
a n
b n 佝 b) a 3 a 2
a 2
a 1 1
对这（n 个式子求和得:
m)
ka n
km
a n (a 1
a n
a n a 1
代）
k n1
f
（n
）可求和，则可用累加消项的方
法。

1
n （n 1）求｛a n ｝的通项公
式。

a n 2
- n
(2)k
1
时,
当 f(n) an
b
则可设a n -
i A(n 1)
B k(a n An B)
a n 1
ka n (k 1)A n (k 1)B A
(k 1)A a
a b a
A
a
B -
2
(k 1)B
A b
解得：
k 1，
k 1
(k 1)
.{a n
An B}
是以a i
A
B
为首项，
k 为公比的等比数列
a n
An B (a 1 A B)
k n1
a n
@1
A B)
八 An B 将 A
、B 代入即可
(3) f (n) q n ( q 0, 1)
a n 1 k a n
1
n 1
n 1
n
等式两边同时除以q 得q q q
q
［例3］冇1 f (n)办型。

(1 )若f (n
)是常数时，可归为等比数列。

(2)若f(n)可求积，可用累积约项的方法化简求通项。

例：已知：
a 1
1 a n 3，
2n 1 a n 1 (n 2)求数列｛a
n
｝
的通项。

2n 1
a n
a n 1 a n 2
a 3 a 2 2n 1 2n 3 2n 5 5 3 3 解:
a n 1
a n 2
a n 3
a 2
a 1 2n
1 2n 1 2n
3 7 5
2 n 1
3 1
a n a 1
2n 1 2n 1
a n k
1 n
C n 1
-C n
q 则
q
q
G} 可归为
a n 1 ka n b
型
[例4]
m a n 1 型。

n
练习:
1.已知
｛a
n
｝
满足a 1
3
,冇1
2a
n 1
求通项公式。

解：
设 a n 1 m 2(a n m)
a n 1 2a . m ... m 1
｛a
n 1 1
｝
是以4为首项，2为公比为等比数列
解：
a n a n 1 2(n 1) a n 1 a n 2 2(n 2) a n 2
a n 3
2(n 3) a 3 a 2
2 2
a ? a 1 2 1
2
a n a 1 2[1 2 (n 1)] n n
2 d
a n
n n 1
n a n
且 3.已知
｛a
n
｝
中
a n 1
n 2 a
2
求数列通项公式。

解：
a n
a n 1 a n 2
a 3 a 2 n 1 n 2 n 3 n 4 2 1 2 a n 1
a n 2
a n 3
a 2 a 〔
n 1
n n 1 n 2
4 3 n(n 1)
C n
令
丄
a n
贝则
｛C
n
｝可归为
a n
1
ka n b
型。

1,1k k
a n
a n 1 m
a n
a n
2n 2.已知｛a
n ｝
的首项a 1 1 , a n 1
a n 2n ( n N
求通项公式。

1
考虑函数倒数关系有
a n
2 4
1
a n a 1
n(n 1
)
a
n
n(n 1)
4.数列
｛a n ｝
中,
解：
a n n 1
a n 1
a n
a i
2
，求｛a n ｝的通项。

1
a n 1
a n
1
a n
1 a n
b n
设
1 a n
b n b n
2n
b n b n
1 2n
b n b n
b 3 b 2
b n b n
1 2n b n b n
b 2 b 1
b n b n
5.已知: 解： 设a n
1 23 1 22
b 1
a 1
An
1
尹
1 2n 2
1 2n
2n 2n
2
时,
a n
1 a n 2
1
尹n1 A(n
1) [1 (1)n1]
2 1 2
2n 2n 1
1 2n
a n
B]
2n 1
，求｛a n ｝的通项公式。

1
2
a
n
2a
n1
1An 2 1A
2
1A
2 1A 2
1B
2
解得:
a 1 4 6 3
••• {a n 4n 6}
是以3为首项， 2为公比的等比数列
a n 4n
6
3 （丄）n1
3
a n
n 1
4 n 6
11 1
2
【模拟试题】
1. 已知｛
%｝
中, a 3
a n 1
a n
n
2
,求 a n 。

2. 已知
｛a
n ｝
中, a 1 a n 3a n i 2
（ n 2）求 a
n 。

3. 已知
｛a
n ｝
中
，
a
1 a n
2a n n
1 2
（ n 2）求 a n
O
4.已知 {a n } 中,
a n
4上
a n 1
（
n
2
）求 a n 11 o
5.已知 {a n } 中,
1
，其前 n 项和S n 与a n 满足
a n
2S ；
2S n 1
（ n 2）
（1） ｛
求证：
为等差数列
(2)求
｛a
n
｝
的通项公式
6.已知在正整数数列 ｛a n ｝中，
前
n 项和S
n 满足S
n
8
(a
n 2)
1
2
1
a n 30
(1)求证：｛a n｝是等差数列
(2 )若b n 2 ，求｛b n｝的前n项和的最小
【试题答案】
1.解：
n
a n 2得a n
a n 1 2n1
a n a n 1 2n1
a n 1 a n
a2 a i
a n a i
n 1、
2(1 2 ) 2n
a n 2n 2 a1 2n
2. 解:
3a n 1
2得: a n 3( a n 1 1)
a n
a n 即{a n1
}
是等比数列
a n 1 1) 3n1a n (a1 1)
3. 解:
由a n2a n
a n
n
2得2n
a n 1
2* 1
4. 解:
成等差数列,
a n
2n
(n 1)
a n 2n
a n
2(a n
a n
2) a n
2(a n 2) 1
a n 1 2
1
a n 2
b n
1 )设
1
a n 2
1
尹1)
••• ｛bn｝是等差数列
1
a n 2
1(n 1) 1-
a1 2 2 2 a n
5.解:
S n S n 1 (1 )
2S；
1
2S n S n S n 2S n S n 1
是首项为1，公差为2的等差数列
2n
(2) &
2n a n
2( )2
2n 1
1
1
2n
(n
4n28n 3
2)
又•/ a1 6. 解:
(1) a18(a1
a n
n 2时,
a n 整理得: (a n
4n28n
(n 2)
2)2
a1
S n S n 1
a n 1 )(a n
•/ ｛a n｝是正整数数列
8(a n2)28(a n2)2
a n 1 4)
a n a n 1 a n a n 1
• ｛a n｝是首项为2，公差为4的等差数列a n 4n 2
b n丄(4 n 2) 30
(2) 2
2n 31
Bn｝为等差数列S n n230 n
当n 15时，S n 的最小值为152 30 15225。