【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数 第27课 三角函数的图象和性质 文
(江苏专用)高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
【步步高】（某某专用）2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及应用 文1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈R振幅 周期 频率 相位 初相A T ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φ φ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：x0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx ＋φ 0π2π3π2 2πy ＝A sin(ωx＋φ)0 A 0 －A3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的步骤如下：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( × )(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位得到的．( √ )(3)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的．( √ )(4)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( × ) (5)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )1．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的振幅、频率和初相分别为． 答案 2，1π，－π42．(2015·某某改编)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，需将函数y ＝sin 4x 的图象进行的变换为．①向左平移π12个单位； ②向右平移π12个单位；③向左平移π3个单位； ④向右平移π3个单位．答案 ②解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，∴要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位．3．(2015·某某改编)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝.答案π6解析 因为g (x )＝sin[2(x －φ)]＝sin(2x －2φ)， 所以|f (x 1)－g (x 2)|＝|sin 2x 1－sin(2x 2－2φ)|＝2. 因为－1≤sin 2x 1≤1，－1≤sin(2x 2－2φ)≤1，所以sin 2x 1和sin(2x 2－2φ)的值中，一个为1，另一个为－1，不妨取sin 2x 1＝1，sin(2x 2－2φ)＝－1，则2x 1＝2k 1π＋π2，k 1∈Z,2x 2－2φ＝2k 2π－π2，k 2∈Z,2x 1－2x 2＋2φ＝2(k 1－k 2)π＋π，(k 1－k 2)∈Z ，得|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 1－k 2π＋π2－φ.因为0<φ<π2，所以0<π2－φ<π2，故当k 1－k 2＝0时，|x 1－x 2|min ＝π2－φ＝π3，则φ＝π6.4．(教材改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为．答案 y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]解析 从图中可以看出，从6～14时的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期，所以A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20，又12×2πω＝14－6， 所以ω＝π8.又π8×10＋φ＝2π， 解得φ＝3π4，所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]．5．(2014·某某)若将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是． 答案3π8解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位得到g (x )＝sin[2(x －φ)＋π4]＝sin(2x ＋π4－2φ)，又∵g (x )是偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝－k π2－π8(k ∈Z )．当k ＝－1时，φ取得最小正值3π8.题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换 例1 已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．解 (1)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的振幅A ＝2， 周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin X .列表如下：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin X 01 0 －1 0 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π32－2描点画出图象，如图所示：(3)方法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象；再把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．方法二 将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(1)把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为(填正确的序号)．①x ＝－π2；②x ＝－π4；③x ＝π8；④x ＝π4.(2)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于． 答案 (1)① (2)6解析 (1)将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(2x ＋π6)；再将图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x－π2)，故x ＝－π2是其图象的一条对称轴方程． (2)由题意可知，nT ＝π3 (n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6. 题型二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象上一个最高点的坐标为(2，2)，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x 轴交于点(6,0)，则此函数的解析式为．(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为．答案 (1)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4(2)f (x )＝2sin(2x ＋π3)解析 (1)由题意得A ＝2，T 4＝6－2，所以T ＝16，ω＝2πT ＝π8.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×2＋φ＝1，所以π4＋φ＝π2＋2k π (k ∈Z )．又因为|φ|<π2，所以φ＝π4. (2)由题图可知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，故ω＝2， 因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 又⎝⎛⎭⎪⎫712π，－2为最小值点，∴2×712π＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|＜π，∴φ＝π3.故f (x )＝2sin(2x ＋π3)．思维升华 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法： (1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ， 则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT.(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝3π2.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则φ＝. 答案 －π3解析 ∵T 2＝1112π－512π，∴T ＝π.又T ＝2πω(ω＞0)，∴2πω＝π，∴ω＝2.由五点作图法可知当x ＝512π时，ωx ＋φ＝π2，即2×512π＋φ＝π2，∴φ＝－π3.题型三 三角函数图象性质的应用 命题点1 三角函数模型的应用例3 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为．答案 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6解析 设点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为y ＝sin(ωt ＋φ)．由题意可得，函数的初相位是π6.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2πω＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6.命题点2 方程根(函数零点问题)例4 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值X 围是． 答案 (－2，－1)解析 方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x＝cos 2x ＋3sin 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π，∴题目条件可转化为m 2＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π，有两个不同的实数根．∴y ＝m 2和y ＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m 2的X 围为(－1，－12)，故m 的取值X 围是(－2，－1)．引申探究例4中，“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值X 围是． 答案 [－2,1)解析 由例4知，m 2的X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12，∴－2≤m <1， ∴m 的取值X 围是[－2,1)． 命题点3 图象性质综合应用例5 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2)求函数y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值及对应的x 的值．解 (1)f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ) ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin ωx ＋φ－12cos ωx ＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6.因为f (x )是偶函数， 则φ－π6＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝2π3＋k π(k ∈Z )，又因为0＜φ＜π，所以φ＝2π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝2cos ωx . 由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2.故f (x )＝2cos 2x . 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2.(2)y ＝2cos 2x ＋2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2cos 2x ＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝2cos 2x －2sin 2x＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4令2x －π4＝2k π－π2(k ∈Z )，y 有最大值22，所以当x ＝k π－π8(k ∈Z )时，y 有最大值2 2.思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是．(填序号) ①f (x )的图象过点(0，32)；②f (x )在[π12，2π3]上是减函数；③f (x )的一个对称中心是(5π12，0)；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 答案 ①③解析 ∵周期为π，∴2πω＝π⇒ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f (2π3)＝3sin(4π3＋φ)， 则sin(4π3＋φ)＝1或－1.又φ∈(－π2，π2)，4π3＋φ∈(5π6，116π)，∴4π3＋φ＝3π2⇒φ＝π6， ∴f (x )＝3sin(2x ＋π6)．①：令x ＝0⇒f (x )＝32，正确．②：令2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋3π2，k ∈Z⇒k π＋π6<x <k π＋2π3，k ∈Z .令k ＝0⇒π6<x <2π3， 即f (x )在(π6，2π3)上单调递减，而在(π12，π6)上单调递增，错误．③：令x ＝5π12⇒f (x )＝3sin π＝0，正确．④：应平移π12个单位长度，错误．4．三角函数图象与性质的综合问题典例 (14分)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．思维点拨 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期； (2)将f (x )解析式中的x 换成x －π6，得g (x )，然后利用整体思想求最值．规X 解答解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [4分]＝2sin(x ＋π3)，[6分]于是T ＝2π1＝2π.[7分](2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π6)，[9分]∵x ∈[0，π]， ∴x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(x ＋π6)∈[－12，1]，[12分]∴g (x )＝2sin(x ＋π6)∈[－1,2]．[13分]故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[14分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤： 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式； 第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2· (sin x ·a a 2＋b2＋cos x ·ba 2＋b 2)；第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质； 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规X ． 温馨提醒 (1)在第(1)问的解法中，使用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)，或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos(α－φ)(其中tan φ＝ab)，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．(2)求g (x )的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解．[方法与技巧]1．五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化． 2．由图象确定函数解析式由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点． 3．对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)． [失误与防X]1．由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要把x 前面的系数提取出来．2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化． 3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值可先求t ＝ωx ＋φ的X 围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的部分图象可能是．答案 ④解析 ∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴当2x －π3＝0， 即x ＝π6时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x ＝π6时取得最大值的只有④.2．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为． 答案34解析 取K ，L 中点N ，则MN ＝12，因此A ＝12.由T ＝2得ω＝π.∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π2，∴f (x )＝12cos πx ，∴f (16)＝12cos π6＝34.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是． 答案 [k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z解析 由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点(512π，2)，∴2sin(2×512π＋φ)＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴取k ＝0，则φ＝－π3，即得f (x )＝2sin(2x －π3)，∴f (x )的单调增区间为2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，即单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .4．若f (x )＝sin(2x ＋φ)＋b ，对任意实数x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝f (－x )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－1，则实数b 的值为．答案 －2或0解析 由f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝f (－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z .当直线x ＝π6经过最高点时，φ＝π6；当直线x ＝π6经过最低点时，φ＝－56π.若f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋b ，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＝－1，得b ＝0；若f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －56π＋b ，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＝－1，得b ＝－2.所以b ＝－2或b ＝0.5．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为．答案 －32解析 由函数f (x )的图象向左平移π6个单位得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3的图象， 因为是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32. 6．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是． 答案 32解析 由函数向右平移4π3个单位后与原图象重合，得4π3是此函数周期的整数倍． ∴2πω·k ＝4π3，∴ω＝32k (k ∈Z )， 又ω>0，∴ωmin ＝32.7．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0且|φ|<π2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是单调递减函数，且函数从1减小到－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝.答案32解析 由题意可得，函数的周期为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，即2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，|φ|<π2可得φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝cos π6＝32.8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为．答案π3或43π 解析 由图象可知y ＝m 和y ＝f (x )图象的两个交点关于直线x ＝π6或x ＝23π对称，∴x 1＋x 2＝π3或43π.9．(2015·某某)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34， 最小值为－12.10．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3×1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.依题意知2π2ω＝4×π4，ω>0，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.所以－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为． 答案 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6解析 观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上， ∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.12．(2014·某某改编)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为．答案 π解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0)．由2sin(ωx ＋π6)＝1得sin(ωx ＋π6)＝12，∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋56π(k ∈Z )．令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝56π，∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2.故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.13．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的取值X 围是． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18解析 画出函数的图象．由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝⎛⎭⎪⎫2π9＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32， 所以π≤3m ＋π3≤76π，则2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18. 14．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝. 答案143解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2 (k ∈Z )， ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，∵f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值， ∴π3－π4<πω，即ω<12，令k ＝0，得ω＝143. 15．设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，x ∈R .(1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应的x 的取值集合；(2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期．解 (1)f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2 ＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4. 当ω＝12时，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，而－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4≤1，所以f (x )的最大值为2，此时x 2－π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π2＋4k π，k ∈Z ，所以相应的x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝3π2＋4k π，k ∈Z . (2)依题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8－π4＝0，即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z .因为0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，－14<k <1.又k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，f (x )的最小正周期为π.。
(江苏专用)新高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图
4.4 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及应用1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )答案 A解析 令x ＝0得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D 项，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C 项，故选A.2．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝sin2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 B解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，故将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π12个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象． 3．若将函数f (x )＝sin2x ＋cos2x 的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8B.π4C.3π8D.5π4解析 f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，将函数f (x )的图象向右平移φ个单位长度后所得图象对应的函数为y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－2φ，且该函数为偶函数， 故2φ＋π4＝k π(k ∈Z )，所以φ的最小正值为3π8.4．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.32答案 A解析 将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则π3＋φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－32.5．若把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx的图象重合，则ω的一个可能取值是( ) A ．2B.32C.23D.12答案 A解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋ωπ3－π6和函数y ＝cos ωx 的图象重合，可得ωπ3－π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，则ω＝6k ＋2，k ∈Z .∴ω的一个可能值是2.6．(2019·某某省某某市一中、某某六中联考)已知函数f (x )＝3sin2x －2cos 2x ＋1，将f (x )的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，若g (x 1)·g (x 2)＝9，则|x 1－x 2|的值可能为( ) A.5π4B.3π4 C.π2D.π3解析 函数f (x )＝3sin2x －2cos 2x ＋1 ＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 变换后得函数y ＝g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＋1的图象，易知函数y ＝g (x )的值域为[－1,3]． 若g (x 1)·g (x 2)＝9，则g (x 1)＝3且g (x 2)＝3，均为函数y ＝g (x )的最大值， ∴|x 1－x 2|的值为函数y ＝g (x )的最小正周期T 的整数倍，且T ＝2π4＝π2.7．(多选)将函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )具有以下哪些性质( ) A ．最大值为3，图象关于直线x ＝－π3对称B ．图象关于y 轴对称C ．最小正周期为πD ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0成中心对称 答案 BCD解析 将函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，得到y ＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3－1＝3cos(2x ＋π)－1＝－3cos2x －1的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )＝－3cos2x 的图象．对于函数g (x )，它的最大值为3，由于当x ＝－π3时，g (x )＝32，不是最值，故g (x )的图象不关于直线x ＝－π3对称，故A 错误；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y 轴对称，故B 正确； 它的最小正周期为2π2＝π，故C 正确；当x ＝π4时，g (x )＝0，故函数的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0成中心对称，故D 正确．8．(多选)已知函数f (x )＝sin2x ＋2cos 2x －1，下列四个结论正确的是( )A ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8上是增函数B ．点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0是函数f (x )图象的一个对称中心C ．函数f (x )的图象可以由函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π4个单位长度得到D ．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的值域为[0，2]答案 AB解析 函数f (x )＝sin2x ＋2cos 2x －1＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8，则2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，因此函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8上是增函数，因此A 正确；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋π4＝2sinπ＝0，因此点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0是函数f (x )图象的一个对称中心，因此B 正确；由函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π4个单位长度得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2cos2x ，因此由函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π4个单位长度不能得到函数f (x )的图象，因此C 不正确；若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1， ∴f (x )的值域为[－1，2]，因此D 不正确．9．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________，函数f (x )的单调递增区间为____________________．答案 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )解析 由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则周期T ＝π，即2πω＝π，则ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋φ)．由2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝2k π，k ∈Z ， 又|φ|<π2，所以φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )．10.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.答案32解析 设f (x )周期为T ，由题图可知，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又－π6＋π32＝π12，所以f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1， 所以2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，可得φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 由f (x 1)＝f (x 2)，x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，可得x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin2π3＝32. 11．(2020·黄岗中学模拟)已知函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx (ω>0)，且f (x )的最小正周期为π.(1)求ω的值及函数f (x )的单调递减区间；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g (x )的图象，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，函数g (x )的最大值．解 (1)由题意知f (x )＝3sin 2ωx ＋1＋cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1，∵周期T ＝π，2π2ω＝π，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， 令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . ∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z .(2)∵g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，g (x )max ＝2×1＋1＝3.12.(2019·某某七校联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，其中点P (1,2)为函数f (x )图象的一个最高点，Q (4,0)为函数f (x )的图象与x 轴的一个交点，O 为坐标原点．(1)求函数f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位长度得到y ＝g (x )的图象，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的图象的对称中心．解 (1)由题意得A ＝2，周期T ＝4×(4－1)＝12. 又∵2πω＝12，∴ω＝π6.将点P (1,2)代入f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1.∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3.(2)由题意，得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －2)＋π3＝2sin π6x .∴h (x )＝f (x )·g (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3·sin π6x ＝2sin 2π6x ＋23·sin π6x ·cos π6x ＝1－cosπ3x ＋3sin π3x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6.由π3x －π6＝k π(k ∈Z )，得x ＝3k ＋12(k ∈Z )． ∴函数y ＝h (x )的图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫3k ＋12，1(k ∈Z )．13．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为________．答案 π解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)． 由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝12，∴ωx 1＋π6＝2k π＋π6或ωx 2＋π6＝2k π＋5π6(k ∈Z )．令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝5π6，∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2.故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.14．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，若f (x )>1对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π6恒成立，则φ的取值X 围是____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0 解析 由题意可得函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1的最大值为3.∵f (x )的图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，∴f (x )的周期T ＝2π3，∴2πω＝2π3，解得ω＝3，∴f (x )＝2cos(3x＋φ)＋1.∵f (x )>1对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π6恒成立，∴2cos(3x ＋φ)＋1>1，即cos(3x ＋φ)>0对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π6恒成立，∴－π4＋φ≥2k π－π2且π2＋φ≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ≥2k π－π4且φ≤2k π，k ∈Z ，即2k π－π4≤φ≤2k π，k ∈Z .结合|φ|<π2可得，φ的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0.15．(2019·全国Ⅲ)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(ω>0)，已知f (x )在[0,2π]上有且仅有5个零点．下述四个结论：①f (x )在(0,2π)上有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0,2π)上有且仅有2个极小值点；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10上单调递增；④ω的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910. 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④B．②③C．①②③D．①③④ 答案 D解析 如图，根据题意知，x A ≤2π<x B ，根据图象可知函数f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据x A ≤2π<x B ，有24π5ω≤2π<29π5ω，得125≤ω<2910，所以④正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10时，π5<ωx ＋π5<ωπ10＋π5，因为125≤ω<2910，所以ωπ10＋π5<49π100<π2，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10上单调递增，所以③正确．16．(2019·某某模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b .(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且ω∈[0,3]，求函数f (x )的单调递增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，某某数b 的取值X 围．解 (1)∵函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b ，且函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，且ω∈[0,3]，∴ω＝1.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b .∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，4π3.当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，函数f (x )单调递增；当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，4π3，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π12时，函数f (x )单调递减．又f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，∴当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>0≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0时，函数f (x )有且只有一个零点， 即sin4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴b ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52. 故实数b 的取值X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52.。
江苏专版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第三节三角函数的图象与性质教案理含解析苏教版
江苏专版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第三节三角函数的图象与性质教案理含解析苏教版第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z).函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象定义域R R⎧⎨⎩x|x∈R，且x⎭⎬⎫≠kπ＋π2，k∈Z 值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性⎣⎢⎡2kπ－π2，2kπ＋⎦⎥⎤π2为增；[2kπ⎦⎥⎤＋π2，2kπ＋3π2为减[2kπ－π，2kπ]为增；[2kπ，2kπ＋π]为减⎝⎛kπ－π2，kπ⎭⎪⎫＋π2为增对称中心(kπ，0)⎝⎛⎭⎪⎫kπ＋π2，0⎝⎛⎭⎪⎫kπ2，0[小题体验]1．(2019·徐州调研)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的最小正周期为________． 答案：4π2．函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2的定义域为________________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x 的图象的对称轴是________．解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ，根据余弦函数的性质可知，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 图象的对称轴是x ＝k π，k ∈Z.答案：x ＝k π，k ∈Z4．(2019·苏州调研)若函数f (x )＝sin πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，56，则f (x )的值域为________．解析：函数f (x )＝sin πx ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，56，∴πx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，∴12≤sin πx ≤1.即f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，11．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω＞0时的情况．3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． [小题纠偏]1．函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤2π3，且x ≠π2的值域为________．解析：作出正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象，根据图象可以得到函数的值域为 (－∞，－3]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)2．(2019·常州调研)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋π6，则f (x )的单调递增区间为________________．解析：函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6，由2k π＋π2≤4x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π2＋π6≤x ≤k π2＋5π12，k ∈Z ， 故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π6，k π2＋5π12，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π6，k π2＋5π12，k ∈Z考点一 三角函数的定义域 基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·扬州中学检测)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域为________________．解析：由2x －π4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋3π8，k ∈Z ，故所求定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2＋3π8，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2＋3π8，k ∈Z2．求函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域．解：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.所以－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.所以函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.[谨记通法](1)应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域，要注意本身的 要求．(2)求复杂函数的定义域时转化为求解简单的三角不等式． 考点二 三角函数的值域或最值重点保分型考点——师生共研 [典例引领]1．(2019·淮安联考)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π3，则f (x )的值域是________．解析：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π3，∴x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3∈[－1,2]，故f (x )的值域是[－1,2]． 答案：[－1,2]2．(2019·徐州调研)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：由正弦函数的性质知， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.∵y ＝3－sin x －2cos 2x ＝2sin 2x －sin x ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78，∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝1或－12时，y max ＝2.答案：782[由题悟法]三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数来求．[即时应用]1．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6. 因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π 2．求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值．解：令t ＝sin x ，因为|x |≤π4，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22.所以y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，所以当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.所以函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22.考点三 三角函数的图象与性质 题点多变型考点——多角探明[锁定考向]三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．常见的命题角度有： (1)三角函数的周期性； (2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性．[题点全练]角度一：三角函数的周期性 1．(2019·南京调研)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π3－πx 的最小正周期是________．解析：函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－πx ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π3的最小正周期是ππ＝1. 答案：1角度二：三角函数的对称性2．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象关于原点对称，则角θ＝________.解析：因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，且f (x )的图象关于原点对称，所以f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，所以θ－π3＝k π(k ∈Z)，即θ＝π3＋k π(k ∈Z)．又|θ|＜π2，所以θ＝π3.答案：π3角度三：三角函数的单调性3．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈[0，π]，则f (x )的单调递增区间为________．解析：由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z.又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π44．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析：因为f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点，所以当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，所以ω＝32.答案：32[通法在握]1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[演练冲关]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：因为f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，所以ω＝2.所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以cos φ＝0，因为0＜φ＜2π3，所以φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.又因为0＜φ＜2π3，所以π3＜π3＋φ＜π.所以π3＋φ＝2π3，φ＝π3.所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·南通调研)已知函数y ＝cos a πx (a ＞0)的最小正周期为2，则实数a ＝________.解析：∵函数y ＝cos a πx (a ＞0)的最小正周期为2πa π＝2，∴a ＝1.答案：12．(2018·南京名校联考)函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域是________．解析：函数y ＝tan x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，所以值域是[0,1]．答案：[0,1]3．(2018·南京调研)如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sinωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝π2，则该函数的最小正周期是________． 解析：连结AB ，设AB 与x 轴的交点为C ，则由∠AOB ＝π2，得CO＝CA ＝CB .又OA ＝CA ，所以△AOC 是高为3的正三角形，从而OC ＝2，所以该函数的最小正周期是4.答案：44．(2018·苏北四市调研)函数y ＝3sin x ＋3cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________．解析：化简可得y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π35．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，α.若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则α的取值范围是________．解析：若－π6≤x ≤α，则－π6≤2x ＋π6≤2α＋π6.因为当2x ＋π6＝－π6或2x ＋π6＝7π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12，所以要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则π2≤2α＋π6≤7π6，即π3≤2α≤π，所以π6≤α≤π2，即α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 6．下列正确命题的序号为________． ①y ＝tan x 为增函数；②y ＝tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为πω；③在x ∈[－π，π]上y ＝tan x 是奇函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上y ＝tan x 的最大值是1，最小值为－1. 解析：函数y ＝tan x 在定义域内不具有单调性，故①错误；函数y ＝tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为πω，故②正确；当x ＝－π2，π2时，y ＝tan x 无意义，故③错误；由正切函数的图象可知④正确．答案：②④二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·如东中学检测)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为________． 解析：由y ＝sin 2x ＋sin x －1，令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，则有y＝t 2＋t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－54，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1，可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，12．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝________.解析：由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12cos π6＝34.答案：343．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.解析：因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.答案：－2或24．(2018·通州期末)已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于M ⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，则φ＝________，ω＝________. 解析：由f (x )是R 上的偶函数，得φ＝π2＋k π，k ∈Z.∵0≤φ≤π，∴φ＝π2.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝cos ωx . ∵函数f (x )的图象关于M ⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0对称， ∴3π4ω＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω＝23＋43k ，k ∈Z. 又f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，∴T 2≥π2，即T ≥π， ∴0＜ω≤2.故ω＝2或23.答案：π2 2或235．(2019·海安模拟)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的对称轴方程为________．解析：对于函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，令k ＝0，可得函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的对称轴方程为x ＝π12.答案：x ＝π126．(2018·镇江一中测试)已知角φ的终边经过点P (－4,3)，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析：由于角φ的终边经过点P (－4,3)，所以cos φ＝－45.再根据函数f (x )＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得2πω＝2×π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝cos φ＝－45. 答案：－457．(2019·阜宁中学检测)若直线x ＝k π2(|k |≤1)与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交，则k ＝________.解析：直线x ＝k π2(|k |≤1)与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交，等价于当x ＝k π2时，函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4无意义，即2×k π2＋π4＝π2＋m π，m ∈Z ，∴k ＝m ＋14，m ∈Z.当m ＝0时，k ＝14，满足条件．当m ＝－1时，k ＝－34，满足条件．当m ＝1时，k ＝54，不满足条件．故满足条件的k ＝14或－34.答案：14或－348．(2019·常州调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图象与x 轴的交点A ，B ，C 满足OA ＋OC ＝2OB ，则φ＝________.解析：设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图象与x 轴的交点坐标分别为A (x 1,0)，B (x 3,0)，C (x 2,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 3， ①x 2＋x 3＝2x 1， ②①－②得－x 3＝3x 1，将x 3＝－3x 1代入②，得x 2＝5x 1， 所以T ＝x 2－x 3＝8x 1，所以ω＝2πT ＝π4x 1，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 4x 1＋φ.由图象可知f (x 1)＝0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，令π4＋φ＝k π，k ∈Z ， 得φ＝k π－π4，k ∈Z.又0＜φ＜π，所以φ＝3π4.答案：3π49．(2019·宿迁中学调研)已知函数f (x )＝sin 3x ＋3cos 3x ，x ∈R. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π9，π3上的最值，并求出取得最值时x 的值．解：(1)f (x )＝sin 3x ＋3cos 3x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 3x ＋32cos 3x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3. 由2k π－π2≤3x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π3－5π18≤x ≤2k π3＋π18(k ∈Z)， 故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3－5π18，2k π3＋π18(k ∈Z)．(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π9，π3，∴3x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，4π3.当3x ＋π3＝－π3或4π3，即x ＝－2π9或π3时，f (x )min ＝－3；当3x ＋π3＝π2，即x ＝π18时，f (x )max ＝2.10．(2018·清江中学测试)已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解：(1)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，又因为a ＞0，所以－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]，所以f (x )∈[b,3a ＋b ]．又因为－5≤f (x )≤1，所以b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)知a ＝2，b ＝－5，所以f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )＞0，得g (x )＞1，所以4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12， 所以2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z.当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z 时，g (x )单调递增，所以g (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z.当2k π＋π2≤2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，即k π＋π6≤x ＜k π＋π3，k ∈Z 时，g (x )单调递减．所以g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z.综上，g (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z ；单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．函数y ＝tan(sin x )的值域为________．解析：因为－1≤sin x ≤1，所以sin x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.又因为y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，所以tan(－1)≤y ≤tan 1，故函数的值域是[－tan 1，tan 1]．答案：[－tan 1，tan 1]2．(2018·扬州期末)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(0≤x ＜π)，且f (α)＝f (β)＝12(α≠β)，则α＋β＝________.解析：因为0≤x ＜π，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，7π3，所以由f (x )＝12得2x ＋π3＝5π6或13π6，解得x ＝π4或11π12，由于f (α)＝f (β)＝12(α≠β)，所以α＋β＝π4＋11π12＝7π6.答案：7π63．(2019·扬州调研)已知函数f (x )＝1＋3cos 2x －2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .(1)求f (x )的最小正周期和单调递减区间； (2)若方程f (x )－m ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝1＋3cos 2x －2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝3cos 2x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝3cos 2x ＋sin 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z. ∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z)．(2)由题意知，函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π上的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点．由(1)知，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π12上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π12，π上单调递增，∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＝－2， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，f (π)＝3， ∴当－2＜m ≤1时，函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π上的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点，即方程f (x )－m ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π上有两个不同的实数解．∴实数m 的取值范围为(－2,1]．。
高三数学(理)一轮总复习(江苏专用)讲义 第四章_三角函数、解三角形_.DOC
高三数学（理）一轮总复习（江苏专用）讲义 第四章_三角函数、解三角形_.DOC第一节 弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式3.定义[来源:学|科|网][来源:学§科§网Z§X§X§K]设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sin αx叫做α的余弦，记作cos αyx叫做α的正切，记作tan α各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线1．(教材习题改编)将－11π4表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，则使|θ|最小的θ值为________．解析：∵－11π4＝－3π4＋(－2π)，∴θ＝－3π4.答案：－3π42．(教材习题改编)如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)为________．解析：因为75°＝5π12，330°＝11π6，故集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪11π6＋2k π<α<5π12＋2π＋2k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π－π6<α<2k π＋5π12，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π－π6<α<2k π＋5π12，k ∈Z 3．(教材习题改编)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定落在第________象限．解析：由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的非正半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，所以θ的终边只能位于第四象限．答案：四4．已知半径为120 mm 的圆上，有一条弧的长是144 mm ，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．答案：1.21．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．4．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α ＝x r ，tan α＝y x .[小题纠偏]1．下列命题正确的是________．①小于90°的角都是锐角；②第一象限的角都是锐角；③终边相同的角一定相等；④－950°12′是第二象限的角．答案：④2．已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，则cos θ＝________，tan θ＝________.解析：由题意，得r ＝3＋m 2，∴m3＋m2＝24m . ∵m ≠0，∴m ＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角，∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝yx ＝5－3＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角，∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝－5－3＝153.答案：－64 ±1533．若α是第一象限角，则α3是第________象限角．解析：∵α是第一象限角， ∴k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k 3·360°<α3<k 3·360°＋30°，k ∈Z. 当k ＝3n 时，有n ·360°<α3<n ·360°＋30°，k ∈Z ，∴α3为第一象限角． 当k ＝3n ＋1时，有n ·360°＋120°<α3<n ·360°＋150°，k ∈Z ，∴α3为第二象限角． 当k ＝3n ＋2时，有n ·360°＋240°<α3<n ·360°＋270°，k ∈Z ，∴α3为第三象限角． 综上可知，α3为第一、二、三象限角．答案：一、二、三考点一 角的集合表示及象限角的判定(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．给出下列四个命题： ①－3π4是第二象限角；②4π3是第三角限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有________(填序号)．解析：－3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确； －400°＝－360°－40°，从而③正确； －315°＝－360°＋45°，从而④正确． 答案：②③④2．(易错题)若角α是第二象限角，则α2是第________象限角．解析：∵α是第二象限角，∴π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角．答案：一、三3．若角α与8π5终边相同，则在[0,2π]内终边与α4角终边相同的角是________．解析：由题意，得α＝8π5＋2kπ(k∈Z)，α4＝2π5＋kπ2(k∈Z)．又α4∈[0,2π]，所以k可取的所有值为0,1,2,3，故α4可取的所有值为2π5，9π10，7π5，19π10.答案：2π5，9π10，7π5，19π104．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°，得－765°≤k×360°<－45°，解得－765360≤k<－45360，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．2．确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或αk 的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置，如“题组练透”第2题易错．考点二 扇形的弧长及面积公式 基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析：设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则⎩⎨⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.答案：4或12．(易错题)若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l ＝________cm.解析：设扇形的半径为r cm，如图．由sin 60°＝6r，得r＝4 3 cm，∴l＝|α|·r＝2π3×43＝833π cm.答案：83 3π3．已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？解：设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.又S＝12θr2＝12r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.当且仅当r＝10时，S max＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.所以当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．[谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l＝αr，扇形的面积公式是S＝12lr＝12αr2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量，如“题组练透”第2题．考点三三角函数的定义(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以填空题的形式出现．常见的命题角度有： (1)三角函数值的符号判定；(2)由角的终边上一点的P 的坐标求三角函数值； (3)由三角函数的定义求参数值．[题点全练]角度一： 三角函数值的符号判定1．若sin αtan α＜0，且cos αtan α＜0，则角α是第________象限角．解析：由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号， 则α为第二或第三象限角． 由cos αtan α＜0可知cos α，tan α异号， 则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角． 答案：三角度二：由角的终边上一点P 的坐标求三角函数值 2．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________.解析：因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.答案：－353．(2019·苏州调研)已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，则m ＝________.解析：由题设知x ＝－3，y ＝m ，∴r 2＝|OP |2＝(－3)2＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2. ∴sin α＝mr ＝2m 4＝m 22，∴r ＝3＋m 2＝22， 即3＋m 2＝8，解得m ＝±5. 答案：±5角度三：由三角函数的定义求参数值4．已知角α的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________．解析：由三角函数的定义知tan α＝－6x ，于是－6x ＝－35，解得x＝10.答案：105．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 答案：(－2,3][方法归纳]应用三角函数定义的3种求法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为________cm 2.解析：∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12αr 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)． 答案：80π2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．解析：因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α＜0，cos α＜0，所以角α的终边在第二象限．答案：二3．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．解析：∵2 010°＝67π6＝12π－5π6，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π6.答案：－5π64．(2019·南京六校联考)点A (sin 2 015°，cos 2 015°)位于第________象限．解析：因为sin 2 015°＝sin(11×180°＋35°) ＝－sin 35°＜0，cos 2 015°＝cos(11×180°＋35°) ＝－cos 35°＜0，所以点A (sin 2 015°，cos 2 015°)位于第三象限． 答案：三5．(2019·福州一模)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝________.解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝15x ＜0，即x ＜0.又cos α＝15x ＝xx 2＋16.解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43.答案：－43二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是________．解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角． 又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.答案：－π32．(2019·宿迁模拟)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于________．解析：因为r ＝(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝yr ＝－cos 2.答案：－cos 23．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________．解析：设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，∴α＝ 3. 答案： 34．(1)已知扇形周长为10，面积是4，则扇形的圆心角为________． (2)已知扇形周长为40，若扇形面积最大，则圆心角为________． 解析：(1)设圆心角为θ，半径为r ，则⎩⎨⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎨⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8.(舍去) 故扇形圆心角为12.(2)设圆心角为θ，半径为r ， 则2r ＋rθ＝40.S ＝12θ·r 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100， 当且仅当r ＝10时，S max ＝100. 此时圆心角θ＝2. 答案：(1)12(2)25．(2019·镇江调研)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.解析：取终边上一点(a,2a )(a ≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故 cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.答案：－356．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角． 解析：由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z)，则180°－(180°＋k ·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k ·360°)，即－k ·360°＜180°－α＜90°－k ·360°(k ∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案：一7．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°， 设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)8．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为____________________．解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π49．已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．解：设α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |. 当k >0时，r ＝10k ，∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10 kk ＝10，∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k <0时，r ＝－10k ，∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k ＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0. 10．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎨⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr ＝6.(2)法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r≤14⎝⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4， 当且仅当2r ＝l ，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时， 扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若A 是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A 2＝－sin A 2，则A2是第________象限角．解析：因为A 是第三象限角， 所以2k π＋π<A <2k π＋3π2(k ∈Z)，所以k π＋π2<A 2<k π＋3π4(k ∈Z)，所以A2是第二、四象限角．又因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A 2＝－sin A 2，所以sin A2<0，所以A2是第四象限角．答案：四2．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为________．解析：由α＝2k π－π5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限， 又角θ与角α的终边相同， 所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0. 所以y ＝－1＋1－1＝－1. 答案：－13．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α＞0, 知α在第一、三象限， 故α角在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2 sin α2 cos α2取正号；当α2在第四象限时， tan α2＜0， sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系 tan α＝sin αcos α. 2．诱导公式1．(教材习题改编)若α是第二象限角，tan α＝－815，则sin α＝________.解析：由题意得⎩⎨⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝－815，解得sin α＝±817.因为α为第二象限角，所以sin α>0，所以sin α＝817.答案：8172．(教材习题改编)已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝________.解析：原式＝cos θ－(－cos θ)cos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝－2.答案：－23．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是________．解析：tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2. 答案：24．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝________；(2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－26π3＝________.答案：(1)22(2) 3 1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． [小题纠偏]1．已知α为第四象限角，且 sin(π－α)＝－13，则tan α＝________.解析：由 sin(π－α)＝－13，得 sin α＝－13.因为α在第四象限，所以 cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝223，则 tan α＝sin αcos α＝－13223＝－24.答案：－242．若sin(3π＋θ)＝13，则sin θ＝________.答案：－133．已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：(1)sin(2π－α)＝________；(2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)cos (α－2n π)(n ∈Z)＝______.解析：因为cos(π＋α)＝－12，所以－cos α＝－12，cos α＝12.又因为α是第四象限角， 所以sin α＝－1－cos 2α＝－32.(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝32. (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)cos (α－2n π)＝sin (2n π＋π＋α)＋sin (－2n π－π＋α)sin (2n π＋α)cos (－2n π＋α)＝sin (π＋α)＋sin (－π＋α)sin αcos α＝－sin α－sin (π－α)sin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.答案：(1)32(2)－4考点一 三角函数的诱导公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．sin 210°cos 120°的值为________．解析：sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝12×12＝14.答案：142．(2019·淮安模拟)已知角α终边上一点M 的坐标为(3，1)，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值是________． 解析：由题可知，cos α＝32，sin α＝12，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12cos α－32sin α＝0. 答案：03．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝________.解析：tan ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案：－334．(易错题)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α≠－12，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6＝________. 解析：∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α ＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3.答案： 3[谨记通法]1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如“题组练透”第4题．考点二 同角三角函数的基本关系(题点多变型考点——纵引横联)已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.求tan α的值．[解] 法一：联立方程⎩⎨⎧sin α＋cos α＝15， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得 25sin 2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形的内角， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.法二：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225＜0且0＜α＜π， ∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0. ∴sin α－cos α＝75.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.同角三角函数基本关系式的应用技巧变换tan 2θ)＝tan π4＝(sin θ±cosθ)2∓2sin θcos θ和积 转换利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ[越变越明][变式一] 保持母题条件不变， 求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋2sin αcos α的值． 解：由母题可知：tan α＝－43.(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2 ＝－43－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋2＝87.(2)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan α1＋tan 2α＝169－831＋169＝－825.[变式二] 若母题条件变为“sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5”， 求tan α的值．解：法一：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5, 得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.法二：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得sin α＋3cos α＝15cos α－5sin α，∴6sin α＝12cos α，即tan α＝2.[变式三] 若母题中的条件和结论互换：已知α是三角形的内角，且tan α＝－13， 求 sin α＋cos α的值．解：由tan α＝－13，得sin α＝ －13cos α，将其代入 sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α＜0， ∴cos α＝－31010， sin α＝1010， 故 sin α＋cos α＝－105.[破译玄机]1．三角形中求值问题，首先明确角的范围，才能求出角的值或三角函数值．2．三角形中常用的角的变形有：A ＋B ＝π－C,2A ＋2B ＝2π－2C ，A 2＋B 2＋C 2＝π2等，于是可得sin(A ＋B )＝sin C ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B 2＝sin C2等．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝________.解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45.答案：452．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ＝________.解析：∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.答案：π33．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.答案：－134．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________.解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43.答案：－435．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A 的值是________． 解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A ＝－sin A ＝12.答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·南师附中检测)角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (1,2)，则sin(π－α)的值是________．解析：因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (1,2)，所以sin α＝255，sin(π－α)＝sin α＝255. 答案：2552．若sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin α·cos α的值等于________． 解析：由sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，sin α·cos α＝tan α1＋tan 2α＝－25.答案：－253．(2019·苏北四市调研)cos 350°－2sin 160°sin (－190°)＝________.解析：原式＝cos (360°－10°)－2sin (180°－20°)－sin (180°＋10°)＝cos 10°－2sin (30°－10°)－(－sin 10°)＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝ 3.答案： 34．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos (－π－α)tan α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝________.解析：∵f (α)＝sin α·cos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3 ＝－cos π3＝－12.答案：－125．已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α＝__________.解析：∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|， ∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32.答案：326．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α)＝________.解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α(－sin α)－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 答案：07．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＝________.解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334.答案：－3348．(2019·南通调研)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝________. 解析：由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a . sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0. 答案：09．已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f (0)＝1. (1)求A 的值；(2)若f (α)＝－15，α是第二象限角，求cos α.解：(1)由f (0)＝1，得A sin π4＝1，A ×22＝1，∴A ＝ 2.(2)由(1)得，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin x ＋cos x .由f (α)＝－15，得sin α＋cos α＝－15，∴sin α＝－cos α－15，即sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos α－152，∴1－cos 2α＝cos 2α＋25cos α＋125，cos 2α＋15cos α－1225＝0，解得cos α＝35或cos α＝－45.∵α是第二象限角，∴cos α<0， ∴cos α＝－45.10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912. 答案：9122．若f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋α＋1，且f (2 013)＝2，则f (2 015)＝________. 解析：因为f (2 013)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2 013＋α＋1＝ sin ⎝⎛⎭⎪⎫1 006π＋π2＋α＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＋1＝cos α＋1＝2， 所以cos α＝1.所以f (2 015)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2 015＋α＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫1 007π＋π2＋α＋1＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＋1＝－cos α＋1＝0. 答案：03．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z)．(1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝⎛⎭⎪⎫π2 014＋f ⎝⎛⎭⎪⎫503π1 007的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时， f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时， f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫503π1 007＝sin 2π2 014＋sin 21 006π2 014＝sin 2π2 014＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 014 ＝sin 2π2 014＋cos 2π2 014＝1. 第三节 三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)． 余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(表中k ∈Z).1．(教材习题改编)函数y ＝2sin x －1的定义域为______________________．解析：由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z) 2．(教材习题改编)使函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3取最小值时x 的集合为________________．解析：要使函数取最小值，则2x －2π3＝2k π＋π(k ∈Z)，知x ＝k π＋5π6，k ∈Z. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋5π6，k ∈Z3．(教材习题改编)函数y ＝2sin x ⎝⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3的值域是________． 解析：根据正弦函数图象，可知x ＝π6时，函数取到最小值1；x＝π2时，函数取到最大值2. 答案：[1,2]4．函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2的定义域为______________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z 1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况．3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． [小题纠偏]1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．解析：由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最小值为－22.答案：－222．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为____________． 解析：由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z) 3．函数y ＝lg sin(cos x )的定义域为________． 解析：由sin(cos x )>0⇒2k π<cos x <2k π＋π(k ∈Z)． 又－1≤cos x ≤1，∴0<cos x ≤1.故所求定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z考点一 三角函数的定义域与值域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．解析：∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3答案：2－ 3 2．(易错题)函数y ＝1tan x －1的定义域为______________．解析：要使函数有意义，必须有⎩⎨⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋kx ，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z.故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z 3．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为______________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0，得⎩⎨⎧k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π24．(易错题)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值． 解：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22.[谨记通法]1．三角函数定义域的2种求法(1)应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域，如“题组练透”第2题易忽视．(2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域． 2．三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数，如“题组练透”第4题．考点二 三角函数的单调性(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]写出下列函数的单调区间：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈[0，π]；(2)f (x )＝|tan x |；(3)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2.解：(1)由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z.又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4， 递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π. (2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z.(3)当2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z)，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，函数f (x )是增函数．因此函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－5π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2.[由题悟法]求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[提醒] 求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．[即时应用]1．(2019·宿迁调研)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为______．解析：由已知函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间即可． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z.故所给函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)2．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________. 解析：∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.答案：32考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．常见的命题角度有： (1)三角函数的周期；(2)求三角函数的对称轴或对称中心； (3)三角函数对称性的应用．[题点全练]角度一：三角函数的周期1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的最小正周期为________．解析：T ＝2π|－2|＝π.答案：π2．(2019·南京调研)若函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1＜πk ＜2， 即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3. 答案：2或3角度二：求三角函数的对称轴或对称中心3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的对称轴为________．解析：由题意得，2πω＝π，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 令2x ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z)，得x ＝π8＋k π2(k ∈Z)即为函数f (x )的对称轴．答案：x ＝π8＋k π2(k ∈Z)4．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的对称中心是________．解析：2x ＋π3＝k π2，k ∈Z ，所以x ＝k π4－π6，k ∈Z.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π4－π6，0(k ∈Z)角度三：三角函数对称性的应用5．(2019·南京四校联考)若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为________．解析：πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z)⇒ωmin ＝2.答案：26.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16的值为________．解析：由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12cos π6＝34.答案：34[方法归纳]函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．函数y ＝cos x －32的定义域为________． 解析：∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z)2．函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________． 解析：y ＝2cos 2x ＋5sin x －4 ＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4 ＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －542＋98.故当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9， 故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]． 答案：[－9,1]3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是________．解析：由题意知，T ＝π4，所以πω＝π4，所以ω＝4，所以f (x )＝tan 4x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0.答案：04．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是____________． 解析：由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ，2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z) 5．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝______.解析：函数y ＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z)．答案：5 3π4＋2k π(k ∈Z)二保高考，全练题型做到高考达标1．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是_______________________________.解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z 2．(2019·苏锡常镇四市调研)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且满足f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )的单调增区间为________．解析：因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且满足f (－x )＝－f (x )，所以ω＝2，φ＝－π3，所以f (x )＝2sin 2x ，令2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，解得函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z) 3．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范。
2017版高考数学(江苏专用、理科)一轮复习习题：第四章 第4讲三角函数的图象与性质 含答案
基础巩固题组(建议用时：40分钟）一、填空题1。
(2016·徐州检测）函数f（x）＝tan错误!的单调递增区间是________。
解析当kπ－错误!＜2x－错误!＜kπ＋错误!（k∈Z)时，函数y＝tan错误!单调递增,解得错误!－错误!＜x＜错误!＋错误!(k∈Z），所以函数y＝tan错误!的单调递增区间是错误!(k∈Z）.答案错误!（k∈Z)2.已知函数f(x)＝3sin错误!(ω〉0）和g（x）＝3cos（2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈错误!,则f(x）的取值范围是________.解析由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin错误!,那么当x∈错误!时，－错误!≤2x－错误!≤错误!，所以－错误!≤sin错误!≤1，故f（x）∈错误!。
答案错误!3.（2015·云南统一检测)已知函数f(x）＝cos23x－错误!，则f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于________。
解析因为f(x）＝错误!－错误!＝错误!cos 6x，所以最小正周期T＝错误!＝错误!，相邻两条对称轴之间的距离为错误!＝错误!。
答案错误!4.如果函数y＝3cos(2x＋φ）的图象关于点错误!中心对称,那么｜φ｜的最小值为________.解析由题意得3cos错误!＝3cos错误!＝3cos错误!＝0，∴错误!＋φ＝kπ＋错误!，k∈Z，∴φ＝kπ－错误!，k∈Z，取k＝0，得|φ｜的最小值为错误!。
答案π65。
（2016·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考）函数f(x）＝2cos（ωx＋φ）（ω≠0)对任意x都有f错误!＝f错误!，则f错误!等于________.解析由f错误!＝f错误!可知函数图象关于直线x＝错误!对称，则在x＝错误!处取得最值,∴f错误!＝±2。
答案±26。
（2016·南通调研)函数y＝错误!sin x＋错误!cos x错误!的单调递增区间是________.解析∵y＝错误!sin x＋错误!cos x＝sin错误!，由2kπ－错误!≤x＋错误!≤2kπ＋错误!（k∈Z），解得2kπ－错误!≤x≤2kπ＋错误!（k∈Z).∴函数的增区间为错误!（k∈Z)，又x∈错误!，∴单调增区间为错误!。
江苏专版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第一节任意角蝗制及任意角的三角函数教案理含解析苏教版
江苏专版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第一节任意角蝗制及任意角的三角函数教案理含解析苏教版第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角α的弧度数公式|α|＝lr(l表示弧长)角度与弧度的换算①1°＝π180rad；②1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°弧长公式l＝|α|r扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r2三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sin αx叫做α的余弦，记作cosαyx叫做α的正切，记作tan α一＋＋＋各象限符二＋－－三－－＋号 四 － ＋ －三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线[小题体验]1．(2019·海门一中月考)若角α满足α＝45°＋k ·180°，k ∈Z ，则角α的终边落在第________象限．答案：一、三2．(2018·南京调研)已知角α的终边过点P (－5,12)，则cos α＝________. 答案：－5133．已知半径为120 mm 的圆上，有一条弧的长是144 mm ，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．答案：1.21．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 4．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α ＝x r ，tan α＝y x.[小题纠偏]1．(2019·如皋模拟)－10π3为第________象限角．答案：二2．若角α终边上有一点P (x,5)，且cos α＝x13(x ≠0)，则sin α＝________.答案：513考点一 角的集合表示及象限角的判定基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·海安模拟)若α是第二象限角，则α2是第______象限角．解析：∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．故α2是第一或三象限角． 答案：一或三2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z)，则令－720°≤45°＋k ×360°＜0°，得－765°≤k ×360°＜－45°，解得－765360≤k ＜－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°3．终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________． 解析：如图，在平面直角坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3 4．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．解析：由角α是第三象限角，知2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z)，则k π＋π2＜α2＜k π＋3π4(k ∈Z)，故α2是第二或第四象限角．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，知sin α2＜0，所以α2只能是第四象限角．答案：四[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．2．确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置3步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或αk的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置． 考点二 扇形的弧长及面积基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·盐城模拟)在半径为1的圆中，3弧度的圆心角所对的弧长为________． 解析：在半径为1的圆中，3弧度的圆心角所对的弧长l ＝|α|r ＝3×1＝3. 答案：32．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 解析：设此扇形的半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.答案：1或43．如果一个扇形的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．解析：设圆的半径为r ，弧长为l ，则其弧度数为l r.将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l 12r ＝3·lr ，即弧度数变为原来的3倍． 答案：3[谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． 考点三 三角函数的定义 题点多变型考点——多角探明[锁定考向]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．常见的命题角度有： (1)三角函数定义的应用； (2)三角函数值的符号判定； (3)三角函数线的应用．[题点全练]角度一：三角函数定义的应用1．(2019·淮安调研)已知角α的终边经过点(4，a )，若sin α＝35，则实数a 的值为________．解析：∵角α的终边经过点(4，a )，∴sin α＝35＝a16＋a 2， 解得a ＝3. 答案：32．已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.解析：因为角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，所以cos α＝－xx 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6， 所以sin α＝－1213，所以tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23. 答案：－23角度二：三角函数值的符号判定 3．若sin αtan α＜0，且cos αtan α＜0，则点(cos α，－sin α)在第________象限． 解析：由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号， 则α为第二或第三象限角． 由cos αtan α＜0可知cos α，tan α异号， 则α为第三或第四象限角． 故α为第三象限角，所以cos α＜0，－sin α＞0. 故点(cos α，－sin α)在第二象限． 答案：二角度三：三角函数线的应用4．(2018·汇龙中学测试)设MP 和OM 分别是角17π18的正弦线和余弦线，给出以下不等式：①MP ＜OM ＜0；②OM ＜0＜MP ；③OM ＜MP ＜0；④MP ＜0＜OM . 其中正确的是________(填序号)．解析：因为sin 17π18＝MP ＞0，cos 17π18＝OM ＜0，所以OM ＜0＜MP .答案：②[通法在握]定义法求三角函数的3种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[演练冲关]1．(2019·无锡调研)如图，已知点A 为单位圆上一点，∠xOA ＝π4，将点A 沿逆时针方向旋转角α到点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，则sin 2α＝________. 解析：由题意可得，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－1＝2×925－1＝－725，即－sin 2α＝－725，∴sin 2α＝725.答案：7252．(2018·扬州调研)在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，点A 的坐标为(3，－1)，将OA 绕O 逆时针旋转450°到点B ，则点B 的坐标为________．解析：设B (x ，y )，由题意知OA ＝OB ＝2，∠BOx ＝60°，且点B 在第一象限，所以x ＝2cos 60°＝1，y ＝2sin 60°＝3，所以点B 的坐标为(1，3)．答案：(1，3)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·如东模拟)与－600°终边相同的最小正角的弧度数是________．解析：－600°＝－720°＋120°，与－600°终边相同的最小正角是120°，120°＝2π3. 答案：2π32．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0＜α＜π)的弧度数为________．解析：设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，所以α＝ 3. 答案： 33．(2019·苏州期中)已知扇形的圆心角为θ，其弧长是其半径的2倍，则sin θ|sin θ|＋|cos θ|cos θ＋|tan θ|tan θ＝________.解析：圆心角θ＝lr ＝2，∵π2＜2＜π，∴sin θ＞0，cos θ＜0，tan θ＜0， ∴sin θ|sin θ|＋|cos θ|cos θ＋|tan θ|tan θ＝1－1－1＝－1.答案：－14．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.解析：因为sin θ＝y42＋y2＝－255， 所以y ＜0，且y 2＝64，所以y ＝－8. 答案：－85．已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，则m ＝________. 解析：由题设知点P 的横坐标x ＝－3，纵坐标y ＝m ， 所以r 2＝|OP |2＝(－3)2＋m 2(O 为原点)， 即r ＝3＋m 2. 所以sin α＝m r＝2m 4＝m 22， 所以r ＝3＋m 2＝22， 即3＋m 2＝8，解得m ＝± 5. 答案：± 56．已知集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k ·π2，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π±π2，k ∈Z ，则M ，N 之间的关系为 ________.解析：k π±π2＝(2k ±1)·π2是π2的奇数倍，所以N ⊆M .答案：N ⊆M二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·常州调研)若扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，则该扇形圆心角的弧度数为________．解析：设该扇形圆心角的弧度数是α，半径为r ，根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝4，12α·r 2＝1，解得α＝2，r ＝1.故该扇形圆心角的弧度数为2. 答案：22．(2018·黄桥中学检测)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan 2α＝________. 解析：由三角函数的定义可得cos α＝xx 2＋42.因为cos α＝15x ，所以x x 2＋42＝15x ，又α是第二象限角，所以x ＜0，解得x ＝－3，所以cos α＝－35，sin α＝1－cos 2α＝45，所以 tan α＝sin αcos α＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247. 答案：2473．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α＝________. 解析：因为r ＝2sin 22＋－2cos 22＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝y r＝－cos 2. 答案：－cos 24．已知角2α的终边落在x 轴上方，那么α是第________象限角．解析：由题知2k π＜2α＜π＋2k π，k ∈Z ，所以k π＜α＜π2＋k π，k ∈Z.当k 为偶数时，α是第一象限角；当k 为奇数时，α为第三象限角，所以α为第一或第三象限角．答案：一或三5．与2 017°的终边相同，且在0°～360°内的角是________． 解析：因为2 017°＝217°＋5×360°，所以在0°～360°内终边与2 017°的终边相同的角是217°. 答案：217°6．(2019·淮安调研)已知α为第一象限角，sin α＝35，则cos α＝________.解析：∵α为第一象限角，sin α＝35，∴cos α＝1－sin 2α＝1－925＝45. 答案：457．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝ ⎛⎭⎪⎫2r 32πr 2＝527，所以α＝5π6. 所以扇形的弧长与圆周长之比为l c ＝5π6·23r 2πr ＝518.答案：5188．在(0,2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围为_____________． 解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.答案：⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π49．(2019·镇江中学高三学情调研)点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按顺时针方向运动π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．解析：由题意可得点Q 的横坐标为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝12，Q 的纵坐标为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－sin π3 ＝－32，故点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－3210．已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．解：设α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋－32＝10|k |.当k ＞0时，r ＝10k ， 所以sin α＝－3k10k＝－310，1cos α＝10 k k ＝10，所以10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0； 当k ＜0时，r ＝－10k ，所以sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k ＝－10， 所以10sin α＋3cos α＝310－310＝0. 综上，10sin α＋3cos α＝0. 11．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝6，所以α＝l r ＝23或α＝l r＝6. (2)法一：因为2r ＋l ＝8，所以S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4， 当且仅当2r ＝l ，即α＝l r ＝2时，扇形面积取得最大值4.所以圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.法二：因为2r ＋l ＝8，所以S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4， 当且仅当r ＝2，即α＝l r＝2时，扇形面积取得最大值4.所以弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP ―→的坐标为________．解析：如图，作C Q ∥x 轴，P Q ⊥C Q ，Q 为垂足．根据题意得劣弧D P＝2，故∠DCP ＝2弧度，则在△PC Q 中，∠PC Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2弧度，C Q ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin 2，P Q ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos 2，所以P 点的横坐标为2－C Q ＝2－sin 2，P 点的纵坐标为1＋P Q ＝1－cos 2，所以P 点的坐标为(2－sin 2，1－cos 2)，此即为向量OP ―→的坐标．答案：(2－sin 2,1－cos 2)2．已知sin α＜0，tan α＞0.(1)求α角的集合；(2)求α2终边所在的象限；(3)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限．(3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2 sin α2 cos α2取正号；当α2在第四象限时， tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0，所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．。
大高考2017版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第二节三角函数的图象与性质课件理
(5)函数 y＝sin4x－π7 的周期为________. 解析 T＝2π 4 ＝π2 .
答案
π 2
高考AB卷
学法大视野
(6)函数y＝|sin x＋2|的周期是________. 解析 y＝sin x＋2的图象在x轴上方，与y＝|sin x＋2|的图象相 同，故y＝|sin x＋2|与y＝sin x＋2周期相同为2π. 答案 2π
kπ+
π 2
,
0
,
k Ζ
kπ 2
，0，
k∈Z
对称 轴
x＝kπ ＋π2 ，k∈Z
x kπ,
k Z
无
周期
2π
2π
π
高考AB卷
学法大视野
2.周期性 (1)一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x
取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)
(0，1)，π2 ，0， (π，－1) ，3π2 ，0，(2π ，1).
高考AB卷
学法大视野
2.y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义
y＝Asin(ωx ＋φ)(A＞0，
ω ＞0)， x∈[0，＋∞)
振幅 周期
2π
A T＝
频率
相位 初相
f＝T1＝ 2π ω x＋φ φ
2π
0
－A
0
高考AB卷
学法大视野
4.函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的 图象的步骤
就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最 小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的 最小正周期 .
(江苏专版)高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第三节三角函数的图象与性质实用课件文
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.[考点一]函数 y＝ cos x－ 23的定义域为________． 解析：要使函数有意义，则 cos x－ 23≥0，即 cos x≥ 23， 解得 2kπ－π6≤x≤2kπ＋π6，k∈Z . 答案：2kπ－π6，2kπ＋π6(k∈Z )
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[解析] (1)∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x－π3≤76π，
∴sinπ6x－π3∈－ 23，1. ∴y∈[－ 3，2]，∴ymax＋ymin＝2－ 3. (2)∵x∈π6，76π，∴sin x∈－12，1. 又 y ＝ 3 － sin x － 2cos2x ＝ 3 － sin x － 2(1 － sin2x) ＝
(2)由正切函数的定义域，得 2x＋π6≠kπ＋π2，即 x≠k2π＋π6(k∈Z )．由 π2－ x2≥0 得 － π≤x≤π，借助于数轴可得该函数的定义域为 －π，－56π∪－56π，－π3∪－π3，π6∪π6，23π∪23π，π. [答案] (1)2kπ＋π3，2kπ＋56π，k∈Z (2)－π，－56π∪－56π，－π3∪－π3，π6∪π6，23π∪23π，π
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01 突破点（一） 三角函数(sānjiǎhánshù) 的定义域和值域 第三页，共44页。
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
正弦函数 三角函数
y＝sin x
余弦函数 y＝cos x
正切函数 y＝tan x
图象
定义域
_R__
值域
[_－__1_,_1_]
_R__ _[_－__1_,1_]_
x ＝－__π2_＋__2_k_π__(k_∈__Z__)
_π_＋__2_k_π__(k_∈__Z__) _ 时，取得最小值－1
(江苏专用)届高考数学大一轮复习第四章第27课三角函数的图象和性质自主学习【含答案】.docx
第27 课三角函数的图象和性质( 本课对应学生用书第56-58 页)自主学习回归教材正弦、余弦、正切函数的性质解析式y=sin x y=cos x y=tan x定义域R R（x|x ≠kπ+ 2,k ∈Z）值域[-1,1] [-1,1] R零点x=kπ,k ∈Z x=kπ,k ∈Zx=kπ+ 2,k ∈Z对称轴x=kπ,k ∈Z 无x=kπ+2,k ∈Z周期性T=2πT=2πT=π单调增区间 2 -,2k k2 2(k ∈Z)[2k π-π,2k π](k ∈Z)k-,k2 2Z)(k ∈单调减区间32k ,2 k2 2(k ∈[2k π,(2k+1) π](k ∈Z) 无Z)x1. ( 必修4P26练习2改编)y=sin 2的最小正周期为. [ 答案] 4π212 =4π.[ 解析] T=12x-32. ( 必修4P33练习2改编) 函数y=tan 的定义域为.[ 答案]k 5x x ,k Z2 12k[ 解析] 由题意得2x-3≠kπ+ 2, 即x≠2+512 ,k ∈Z, 故定义域为k 5x x ,k Z2 12.3. ( 必修4P32练习5改编) 函数y=sinx2x6 3的值域为.[ 答案]12 ,1[ 解析] 作出函数y=sinx 在区间2,6 3 上的图象, 可得12≤y≤1.2x44. ( 必修4P32练习7改编) 函数y=sin 的单调增区间为.[ 答案]3-k , k8 8(k ∈Z)3[ 解析] 令-2+2kπ≤2x+ 4≤2+2kπ, 可得- 8+kπ≤x≤8+kπ(k ∈Z).5. ( 必修4P48习题11改编) 已知函数f(x)=ax2sin x+btan x. 若f -4 =3, 则f 4 = .[ 答案] -3[ 解析] 易知f(x) 是奇函数, 故f 4 =-f -4 =-3.2。
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 简单的三角恒等变换课件 文
5π 1 θ 15 (4)设 <θ<3π，且|cos θ|＝ ，那么 sin 的值为 .( × ) 2 5 2 5 (5)公式 asin x＋bcos x＝ a ＋b sin(x＋φ)中 φ 的取值与 a，b 的值无
2 2
关.( × )
答案
2
考点自测
6 1 α － 3 1.已知 cos α＝ ，α∈(π，2π)，则 cos ＝________. 3 2
＝－8.
π 2 4 解析 原式＝cos 9· cos 9π·cos(－3π＋9π) π 2 4 π －cos 9· cos 9π·cos 9π·sin 9 ＝ π sin 9
解析答案
(2)已知
π cosθ＋4＝
π 10 0， ，则 2 10 ，θ∈
解析 α π ∵ ∈( ，π)， 2 2
1＋cos α ＝－ 2 2 6 ＝－ . 3 3
α ∴cos ＝－ 2
1 2 3 4 5
解析答案
1 2sin235° －1 －2 2. 的值为________. cos 10° － 3sin 10°
解析 2sin 35° －1 原式＝ 1 3 2 cos 10° － sin 10° 2 2
思维点拨
解析答案
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思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的
联系，然后进行变换.
2.利用三角函数值求角要考虑角的范围.
3.与三角函数的图象与性质相结合的综合问题.借助三角恒等变换将已
知条件中的函数解析式整理为 f(x) ＝ Asin(ωx＋ φ) 的形式，然后借助三
2 2
【南方凤凰台】2017版高考数学大一轮复习第四章三角函数第21
【南方凤凰台】2017版高考数学大一轮复习第四章三角函数第21第21课弧度制与任意角的三角函数(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修4P15练习6改编)若sin α0，cos α0，则α是第象限角. 三由sin α0，cos α0，知对应的角α是第三象限角.2.(必修4P10习题10改编)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 .π-3将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，又因为拨快10分钟，故应转过的角为11π圆周的6，即为-62π=-3.43 -3.(必修4P14例1改编)已知角α的终边与单位圆交于点55 ，那么tan α= .3-43y3-根据三角函数的定义，知tan α=x=5=-4.50π4.(必修4P10习题8改编)已知某扇形的半径为10，面积为3，那么该扇形的圆心角为 .π31150ππ22由S=2αr=2α10=3，得α=3.5.(必修4P14例1改编)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ=-，则y= .-8由正弦值为负数，且横坐标为正，可知该角为第四象限角，则sin θ=-5y=-8.1.角的概念的推广(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角. (2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角.终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限.(3)终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β=k360°+α，k∈Z}.2.角的度量(1)1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角.π180(2)弧度制与角度制的关系：1°=180弧度(用分数表示)，1弧度=π度(用分数表示).(3)弧长公式：l=|α|r.112(4)扇形面积公式：S=2rl=2|α|r.3.任意角的三角函数的定义设角α的终边上任意一点的坐标为P(x，y)(除原点)，点P到坐标原点的距离为yxyr(，则sin α=r，cos α=r，tan α=x.4.三角函数的定义域在弧度制下，正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是R、R、π | kπ，k Z2 .5.三角函数的符号规律第一象限全“+”，第二象限正弦“+”，第三象限正切“+”，第四象限余弦“+”.简称：一全、二正、三切、四余.6.三角函数线如图，设角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴于点M，则有向线段MP叫作角α的正弦线，有向线段OM叫作角α的余弦线；过点A(1，0)作单位圆的切线，交角α的终边或其反向延长线于点T，则有向线段AT叫作角α的正切线.【要点导学】要点导学各个击破象限角的表示例1 (1)若角θ的终边与120°角的终边重合，则2是第几象限角?(2)若角θ是第三象限角，判定2θ，2是第几象限角.(1)θ=120°+k360°，k∈Z，所以2=60°+k180°，k∈Z.若k为偶数，则2是第一象限角，若k为奇数，则2是第三象限角.综上，2是第一或第三象限角.(2)因为180°+k360°θ270°+k360°，k∈Z，所以360°+2k360°2θ540°+2k360°，k∈Z，所以2θ是第一或第二象限角或终边在y轴正半轴上的角.90°+k180°2135°+k180°，k∈Z.若k为偶数，则2是第二象限角，若k 为奇数，则2是第四象限角.所以2是第二或第四象限角.变式(1)终边落在x轴正半轴上的角的集合如何表示?终边落在x轴上呢? (2)终边落在坐标轴上的角的集合如何表示?π(3)已知α=6，角β的终边与α的终边关于直线y=x对称，求角β的集合.(1)终边落在x轴正半轴上的角的集合是{β|β=k360°，k∈Z}，终边落在x轴上的角的集合是{β|β=k180°，k∈Z}.(2){β|β=k90°，k∈Z}.π2kπ ，k Z3 . (3)例2 已知α=30°，β=60°，γ=300°，OA，OB，OC分别是角α，β，γ的终边. (1)分别写出两图中阴影部分(含边界)的所有角的集合；(2)写出图(2)中阴影部分在[0°，360°]上的所有角的集合.图(1) 图(2)(例2)【思维引导】(1)选择两条射线分别作为边界，一般按照逆时针方向确定范围；(2)一般用连续的范围表示区域角，若不能，也可以分段表示.(1)图(1)中OA可看作α的终边，OB可看作β的终边，故终边落在阴影部分内的角的集合可表示为{θ1|k180°+30°≤θ1≤k180°+60°，k∈Z}.图(2)中OC可看作-60°的终边，故终边落在阴影部分内的角的集合可表示为{θ2|k360°-60°≤θ2≤k360°+30°，k∈Z}.(2)[0°，360°]上所有角的集合为{θ|0°≤θ≤30°或300°≤θ≤360°}. 【精要点评】区域角也称为范围角，表示的是一定范围内角的全体，它是高考的考点之一.表示区域角时要注意考虑问题的范围以及边界的虚实线情况，同时有的学生容易忽视前提，写成[-60°，30°].变式用弧度表示顶点在原点、始边重合于x轴的正半轴、终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).图(1) 图(2)(变式)5π11π3π5π75°=12，330°=6，135°=4，225°=4.π5π2kπ- 2k ，k Z612 ，故图(1)为3π3π2kπ- 2kπ ，k Z任意角的三角函数的定义y例3 已知角α的终边经过点P(4，y)(y≠0)，且sin α=5，求cos α和tan α的值.【思维引导】由任意角的三角函数的定义，在直线上任取一点P，先求得r，进而求出各个三角函数值.因为点P(4，y)(y≠0)，所以原点到点P的距离yy又因为sin α=5，所以sin α=5，因为y≠0，所以y=±3，所以r=5.43当y=3时，cos α=5，tan α=4；43当y=-3时，cos α=5，tan α=-4.【精要点评】三角函数值只与角的大小有关，与点P在角的终边上的位置无关，由于P是除原点外的任意一点，故r恒为正，本题要注意对变量进行讨论.1变式已知角α的终边经过点P(x，x≠0)，且cos α=x，求sin α+tan的值.x≠0)，所以点P到原点的距离=x. 又因为cos α=x，所以cos α因为x≠0，所以. 所以r=当P的坐标为，，由三角函数的定义，有1sin αtan16所以sin α+tan=-6；1当时，同理可求得sin α+tan =.扇形的基本运算例4 如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径为6cm，求扇形的弧长及所含弓形的面积.(例4)【思维引导】直接结合弧长公式l=|α|r求弧长，其中角的大小单位是弧度制；求弓形的面积需要先求出扇形及三角形的面积，然后再作差求得弓形的面积.2π扇形的弧长l=|α|r=36=4π(cm). 112因为S扇形AOB=2lr=24π6=12π(cm)，1S△AOB=2r2sin120°=2)，所以S(12π-2弓形=S扇形AOB-S△AOB=.【精要点评】在解决扇形问题时要注意：l(1)扇形的圆心角α、弧长、半径之间的关系：|α|=r.| |1(2)扇形的面积S与圆心角α、弧长l、半径r之间的关系：S=2ππr2=2lr.(3)扇形的周长为C=2r+l.变式(1)已知圆心角为60°的扇形的弧长为2π，求它的内切圆的半径；(2)已知扇形的周长为4，求扇形面积的最大值.(1)如图，设内切圆半径为r，则扇形的半径为3r，扇形弧长πl=33r=πr=2π，解得r=2.(变式)(2)设扇形的半径为r(0r2)，弧长为l，由题意知l+2r=4，所以l=4-2r，11S=2lr=2(4-2r)r=-r2+2r=-(r-1)2+1，所以当r=1时，Smax=1.即当扇形的半径r=1时，扇形的面积最大为1.1.下列命题中正确的是 .(填序号) ①终边相同的角一定相等；②锐角都是第一象限角；③角α与角2α的终边一定不相同；④第二象限角一定大于第一象限角. ②2.若120°角的终边上有一点(-4，a)，则a= .a因为tan 120°=-4a=33.(2022年无锡期末)已知角α的终边经过点P(x，-6)，且tan α=-5，则x的值为 .10-63根据三角函数的定义得tan α=x=-5，所以x=10.4.已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第象限. 二由题意得tan α0且cos α0，所以角α的终边在第二象限.5.一个扇形OAB的面积是1 cm，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.2(第5题)1lr 1，r 1，2l 2r 4，l 2. 设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，则解得l所以圆心角α=r=2.如图，过点O作OH⊥AB于点H，则∠AOH=1弧度，所以AH=1sin 1=sin 1(cm)，所以AB=2sin 1(cm).趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第41~42页.【检测与评估】第四章三角函数第21课弧度制与任意角的三角函数一、填空题1.下列说法中，正确的是 .(填序号) ①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；③第二象限的角为钝角；④小于90°的角一定为锐角；⑤角α与-α的终边关于x轴对称.2.已知α是第一象限角，则角2的终边可能落在 .(填序号)①第一象限；②第二象限；③第三象限；④第四象限.3.已知cos θtan θ0，那么角θ是第象限角.4.已知角α的终边经过点P(8，-6)，那么sin α= .5.若角α的终边经过点P(a，2a)(a0)，则sin α+3cos α= .|sin |cos6.当α为第二象限角时，sina-|cos |的值为 .7.已知某扇形的周长是8 cm，面积为4 cm，则该扇形的圆心角的弧度是 .8.已知420°角的终边所在直线上有一点P(-4，a)，则实数a的值为 .二、解答题29.已知角θ的终边经过点m)(m≠0)，且sinθ=4m，试判断角θ所在的象限，并求出cosθ的值.10.已知角α的终边经过点P(，-a)(a≠0)，求角α的正弦、余弦、正切值.11.利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合：11sin x-2且cos x2.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)π12.已知扇形的圆心角为3，则扇形内切圆的面积与扇形的面积之比为 .sin(cos )13.已知θ为第二象限角，那么cos(sin )的符号为 .【检测与评估答案】第四章三角函数第21课弧度制与任意角的三角函数1.②⑤ 命题①错，如：390°角终边在第一象限，但不是锐角；命题③错，如：480°角终边在第二象限，但不是钝角；命题④错，如：―30°小于90°，但不是锐角.π π2.①③ 因为2kπα2+2kπ，所以kπ24+kπ.当k为偶数时，2的终边在第一象限；当k为奇数时，2的终边在第三象限.3. 三或四若cos θ0，tan θ0，则θ是第四象限角；若cos θ0，tan θ0，则θ是第三象限角，所以θ为第三或第四象限角.3-634. -5 因为10，所以sin α=10=-5.5，所以sin α=-5，cosα=-，所以sin α+3cos α=-+3|sin |6.2 由α为第二象限角，得|sin α|=sin α，|cos α|=-cos α，sin -cos|cos |=2.2r l 8，r 2，1llr 4，l 4，7. 2 设扇形的半径为r，所对的弧长为l，则有2解得故α=r=2.a8.-由三角函数的定义，得tan 420°=-4.因为tan a420°=tan(360°+60°)=tan 60°-4a=-9.4m，4.因为m≠0，所以θ是第二或第三象限角，所以cosθ10.=2|a|.①若a0，则r=2a，-a1sin α=2a=-2，cos α=2a=2，tan α=-3.②若a0，则r=-2a，1sin α=2，cos α=-，tan α=-.111. 在单位圆中作出满足sin x-2的区域如图(1)中阴影部分所示，易知2kπ-π7π6x2kπ+6，k∈Z；1ππ在单位圆中作出满足cos x2的区域如图(2)中阴影部分所示，易知2kπ-3x2kπ+3，k∈Z；ππ所以2kπ-6x2kπ+3，k∈Z.πx2k x 2k ，k Z63 . 即所求集合为图(1)图(2) (第11题)12.2∶3 设内切圆半径为r，则扇形半径为3r，扇形内切圆的面积与扇形的面积之比πr22π(3r)2为6=3.13.负号因为θ为第二象限角，ππ所以0sin θ12，-2-1cos θ0，所以sin(cos θ)0，cos(sin θ)0，所以sin(cos )cos(sin )0.。
(江苏专用)高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图象与性质 文-人教版高
【步步高】（某某专用）2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图象与性质 文1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 R R{x |x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z }值域[－1,1] [－1,1] R单调性在[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上递增； 在[π2＋2k π，3π2＋在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上递减 在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上递增；在(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )上递增2k π](k ∈Z )上递减最值当x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1当x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (k π，0)(k ∈Z ) (π2＋k π，0) (k ∈Z ) (k π2，0)(k ∈Z )对称轴方程 x ＝π2＋k π(k ∈Z )x ＝k π(k ∈Z )周期2π2ππ【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )(2)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( √ ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin |x |是偶函数．( √ ) (6)若sin x >22，则x >π4.( × )1．(教材改编)函数f (x )＝4－2cos 13x 的最小值是，取得最小值时，x 的取值集合为．答案 2 {x |x ＝6k π，k ∈Z }解析 ∵－1≤cos 13x ≤1，∴f (x )min ＝4－2×1＝2，此时的cos 13x ＝1，13x ＝2k π，∴x ＝6k π，k ∈Z .2．(2015·某某模拟)函数y ＝lg(sin x －cos x )的定义域为．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4<x <2k π＋5π4，k ∈Z解析 sin x －cos x >0，即sin x >cos x .画出y ＝sin x 及y ＝cos x 在[0,2π]上的图象如图．由图象知原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4<x <2k π＋5π4，k ∈Z .3．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝. 答案 32解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点， ∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 (x ∈[－π，0])的单调递减区间是．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3解析 ∵由题意知2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，∴k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )．又x ∈[－π，0]，∴－5π6≤x ≤－π3.5．函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不同的零点，则m 的取值X 围是． 答案 [1,2)解析 令f (x )＝0，则m ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，故－π6≤2x －π6≤5π6，设2x －π6＝t ，则m ＝2sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，根据题意并结合函数图象(图略)可知m 的取值X 围是[1,2)．题型一 三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y ＝2sin x －1的定义域为．(2)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间[0，π2]上的值域为．(3)函数y ＝cos 2x ＋sin x (|x |≤π4)的最小值为．答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (3)1－22 解析 (1)由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，所以2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.(3)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴t ＝－22时，y min ＝1－22. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； ③通过换元，转换成二次函数求值域．(1)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为 .(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为．答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k πk ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∈Z ，∴2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 题型二 三角函数的单调性例2 (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是．(2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值X 围是．答案 (1)⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．(2)由π2＜x ＜π，ω＞0得，ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4， 又y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出整体函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为． (2)已知ω＞0，函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，则ω的取值X 围是． 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π，k ∈Z (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74解析 (1)由已知函数为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．(2)函数y ＝cos x 的单调递增区间为 [－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14＞0，k ∈Z ，得k ＝1，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74. 题型三 三角函数的周期性、对称性 命题点1 周期性例 3 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为． 答案 ①②③解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2， 故周期为π的有：①②③. 命题点2 求对称轴、对称中心例4 (1)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 (ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(填正确的序号)．①关于直线x ＝π8对称；②关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称； ③关于直线x ＝π4对称；④关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0对称． (2)已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则x 0＝.答案 (1)① (2)－π6解析 (1)依题意得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1≠0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋π4＝sin 3π4＝22≠0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≠1，因此该函数的图象关于直线x ＝π8对称．(2)由题意可知2x 0＋π3＝k π，k ∈Z ，故x 0＝k π2－π6，k ∈Z ， 又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0， ∴k ＝0时，x 0＝－π6.命题点3 由对称性求参数例 5 (2015·某某八校联考)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为．答案 2解析 由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2.思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断． (2)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为．(2)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为．答案 (1)2或－2 (2)－33解析 (1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ， ∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2. (2)由x ＝5π3是f (x )图象的对称轴，可得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫10π3，解得a ＝－33.4．三角函数的对称性、周期性、单调性典例 (1)(2015·某某改编)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(填正确的序号)． ①y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2②y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ③y ＝sin 2x ＋cos 2x ④y ＝sin x ＋cos x(2)(2015·课标全国Ⅰ改编)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，且|φ|<π2，则f (x )的单调递减区间为．(3)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为．思维点拨 (1)逐个验证所给函数是否满足条件；(2)根据图象先确定函数的周期性，然后先在一个周期内确定f (x )的减区间；(3)由f (x ＋π4)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可．解析 (1)对于①，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，符合题意． (2)由图象知，周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π.∴π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .(3)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3.答案 (1)① (2)⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z (3)－1或3温馨提醒 (1)研究三角函数的性质时一定要做到心中有图，充分利用数形结合思想；(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与对称轴的交点是最值点．[方法与技巧]1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．3．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的X 围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．[失误与防X]1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．3．三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．对于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π2，下列说法正确的是(填正确的序号)． ①f (x )的周期为π，且在[0,1]上单调递增；②f (x )的周期为2，且在[0,1]上单调递减；③f (x )的周期为π，且在[－1,0]上单调递增；④f (x )的周期为2，且在[－1,0]上单调递减．答案 ②解析 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝cos πx ，则周期T ＝2，在[0,1]上单调递减． 2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为． 答案 2－ 3解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1. ∴y ∈[]－3，2，∴y max ＋y min ＝2－ 3.3．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是． 答案 2解析 根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4ω， 将⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0， 故ω的最小值为2.4．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是． ①是奇函数；②在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减； ③⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心； ④最小正周期为π.答案 ③解析 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，①错误； 在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，②错误； 最小正周期为π2，④错误．∵当x ＝π6时，tan ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心，③正确． 5．函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是．答案 [0,1]解析 y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x 2. ∵cos 2x ∈[－1,1]，∴y ∈[0,1]．6．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) 解析 由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ，2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )得 k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )． 7．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 解析 由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得， x ＝k π2－π8(k ∈Z )． ∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )． 8．设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为．答案 2解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4， f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T 2＝2.9．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12. (1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解 (1)因为0＜α＜π2，sin α＝22， 所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12 ＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 所以最小正周期T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的最小正周期为π，且图象上有一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－3. (1)求f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值及对应x 的值． 解 (1)由2πω＝π，得ω＝2. 由函数f (x )图象的一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－3，得A ＝3.且2×2π3＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，0<φ<π2， ∴φ＝π6，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π6 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π12， ∴y max ＝3 2.此时，2x ＋5π12＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ＝k π＋π24，k ∈Z . B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的单调递减区间是． 答案 [k π－3π8，k π＋π8]，(k ∈Z ) 解析 由f (π8)＝－2得， f (π8)＝－2sin(2×π8＋φ)＝－2sin(π4＋φ)＝－2，所以sin(π4＋φ)＝1. 因为|φ|<π，所以φ＝π4. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 12．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于．答案 32解析 ∵ω＞0，－π3≤x ≤π4， ∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4. 由已知条件知－ωπ3≤－π2， ∴ω≥32. 13．(2014·)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为． 答案 π解析 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性， ∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12. 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， ∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3. ∴14T ＝7π12－π3＝π4， ∴T ＝π.14.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝. 答案 3解析 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2， 所以ω＝2.由题意可知，图象过定点(3π8，0)， 所以0＝A tan(2×3π8＋φ)， 即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )， 又|φ|<π2，所以φ＝π4. 又图象过定点(0,1)，所以A ＝1.综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)， 故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3. 15．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时， g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.8 解三角形的综合应用课件
§4.8 解三角形的综合应用
内容 索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想与方法系列 思想方法 感悟提高 练出高分
基础知识 自主学习
1
知识梳理
1.仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线 在水平视线 上方 叫仰角，目标视线在水平视线 下方 叫俯角(如图①).
跟踪训练3
如图，在△ABC 中，已知 B＝π3，AC＝4 3，D 为 BC 边上一 点.若 AB＝AD，则△ADC 的周长的最大值为________.
解析答案
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思想与方法系列
思想与方法系列 9.函数思想在解三角形中的应用
典例 (14分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船 上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直 线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即 确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇， 并说明理由.
解析答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
6.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平
面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部
的连线成30°角，则两条船相距____m1.0 3
解析 如图，OM＝AOtan 45°＝30 (m)，
思维升华
解析答案
跟踪训练2
创新设计2017版高考数学(江苏专用文科)一轮复习练习：第四章 三角函数、解三角形 第1讲 含答案
基础巩固题组(建议用时：40分钟）一、填空题1。
已知点P（tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限。
解析由P（tan α，cos α)在第三象限得tan α＜0，cos α＜0，∴α在第二象限角。
答案二2。
已知角α的终边经过点（－4，3），则cos α＝________。
解析由三角函数的定义知cos α＝错误!＝－错误!.答案－错误!3。
若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈（0，π）的弧度数为________。
解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为错误!r，所以错误!r ＝α·r，∴α＝错误!.答案错误!4。
设P是角α终边上一点，且｜OP|＝1，若点P关于原点的对称点为Q,则Q点的坐标是________。
解析由已知P（cos α，sin α）,则Q(－cos α，－sin α）.答案 (－cos α,－sin α）5。
已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点,且sin θ＝－255，则y ＝______。
解析 因为sin θ＝错误!＝－错误!，所以y ＜0，且y 2＝64，所以y ＝－8.答案 －86。
已知点P 错误!落在角θ的终边上，且θ∈［0，2π)，则θ的值为________。
解析 由sin 错误!＞0，cos 错误!＜0知角θ是第四象限的角,∵tan θ＝错误!＝－1，θ∈［0,2π)，∴θ＝错误!.答案 错误!7。
在直角坐标系中，O 是原点,A 点坐标为（错误!，－1)，将OA 绕O 逆时针旋转450°到B 点，则B 点的坐标为________.解析 设B （x ，y ），由题意知|OA ｜＝｜OB |＝2，∠BOx ＝60°,且点B 在第一象限，∴x ＝2cos 60°＝1，∴y ＝2sin 60°＝3，∴B 点的坐标为（1，错误!).答案 （1，错误!）8。
(江苏专版)高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第四节函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模
[ 解 析 ] (1) 由 图 象 可 得 A ＝ 2 ， 最 小 正 周 期 T ＝ 4×71π2－π3＝π，则 ω＝2Tπ＝2.由 f 71π2＝ 2sin76π＋φ＝－ 2， 且|φ|＜π2，得 φ＝π3，则 f(x)＝ 2sin2x＋π3，f 1214π＝
2sin1112π＋π3＝ 2sin54π＝－1.
φ
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2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找 五个关键点，如下表所示：
x
－ωφ
－ωφ＋2πω
π－φ ω
23ωπ －ωφ
ωx＋φ
_0 _
π 2
_π _
3π 2
y＝Asin(ωx＋φ) 0
A
0
－A
2π－φ ω _2_π_
0
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3．由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0， ω＞0)的图象的两种方法
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考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 1.“五点法”画图 (1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)， π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0)，图象如图①所示．
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(2)由题图可知 A＝ 2，
法一：T4＝71π2－π3＝π4，所以 T＝π，故 ω＝2，因此 f(x)＝
2sin(2x＋φ)，又π3，0对应五点法作图中的第三个点，因此
2×π3＋φ＝π，所以 φ＝π3，故 f(x)＝ 2sin2x＋π3.
法二：以π3，0为第二个“零点”，71π2，－
(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数 第28课 函数f(x) 文
第28课 函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(必修4P40练习5改编)函数y=23sin π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的振幅为 ，周期为 ，初相为 .【答案】23 4π π32.(必修4P39练习2改编)函数y=3sin2x 向 平移 个单位长度，可得到函数y=3sinπ2-5x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象. 【答案】右 π103.(必修4P40练习4改编)要得到函数y=cos(2x+1)的图象，只需将函数y=cos 2x 的图象向左平移 个单位长度即可.【答案】124.(必修4P37例1改编)要得到函数y=2sin π24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象，可将函数y=2sinπ4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象上 .【答案】每一点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)5.(必修4P48练习13改编)已知简谐运动f (x )=A sin (ωx+φ)π2ϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期和初相φ分别为.(第5题)【答案】6，π6【解析】由图象可得T=2×(4-1)=6，则ω=π3.由图象知f (x )过点(1，2)且A=2，所以sin π3ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1.又|φ|<π2，所以φ=π6.1.函数y=A sin(ωx+φ)的图象(1)用“五点法”画函数y=A sin(ωx+φ)的图象的步骤：①列表；②描点；③连线. (2)用“变换法”由函数y=sin x 的图象得到函数y=A sin(ωx+φ)的图象的规律：①由函数y=sin x 的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度，得到函数y=sin(x+φ)的图象；纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω，得到函数y=sin(ωx+φ)的图象；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数y=A sin(ωx+φ)的图象.②由函数y=sin x 的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω，得到函数②y=sin ωx 的图象；向左(φ>0)或向右(φ<0)平移ϕω个单位长度，得到函数y=sin(ωx+φ)的图象；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数y=A sin(ωx+φ)的图象.2.函数y=A sin(ωx+φ)的性质振幅：A；周期：T=2πω；频率：f=1T；相位：ωx+φ；初相：x=0时的相位，即φ.【要点导学】要点导学各个击破与f(x)=A sin(ωx+φ)有关的基本问题例1(2015·湖北卷)某同学用“五点法”画函数f(x)=A sin(ωx+φ)π0||2ωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭，在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y=g(x)的图象，求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心.【思维引导】(1)根据表中已知数据，求得A，ω，φ的值，从而将数据补全.(2)求出y=g(x)的表达式，令y=g(x)=0求出对称中心.【解答】(1)根据表中已知数据可得，A=5，π3ω+φ=π5π26，ω+φ=3π2，解得ω=2，φ=-π6.数据补全如下表：且函数f(x)的解析式为f(x)=5sin2-6x⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)由(1)知f(x)=5sinπ2-6 x⎛⎫ ⎪⎝⎭，且由题知g(x)=5sinππ2-66x⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=5sinπ26x⎛⎫+⎪⎝⎭.因为y=sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.令2x+π6=kπ，解得x=π2k-π12，k∈Z，即y=g(x)图象的对称中心为ππ-0212k⎛⎫⎪⎝⎭，，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为π-012⎛⎫⎪⎝⎭，.【精要点评】将五点作图法、三角函数图象的平移与三角函数的图象及其性质联系在一起，正确运用方程组的思想，合理地解三角函数值，准确使用三角函数图象的平移和三角函数的图象及其性质是解题的关键，能较好的考查学生对基础知识的实际应用能力、准确计算能力和规范解答能力.变式已知函数y=3sin1π-24x⎛⎫⎪⎝⎭.(1)用“五点法”作出函数的图象；(2)说出此图象是由y=sin x的图象经过怎样的变化得到的；(3)求此函数的周期、振幅、初相；(4)求此函数的对称轴、对称中心和单调增区间.【解答】(1)①列表：②描点.③作图，如图所示.(变式)(2)方法一：“先平移，后伸缩”.先把y=sin x 的图象上所有的点向右平移π4个单位长度，得到y=sin π-4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象；再把y=sin π-4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=sin 1π-24x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象；最后将y=sin 1π-24x ⎛⎫⎪⎝⎭的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y=3sin 1π-24x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象.方法二：“先伸缩，后平移”.先把y=sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=sin 2x的图象；再把y=sin 2x 的图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到y=sin 122x π⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=sin 1π-24x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象；最后将y=sin 1π-24x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y=3sin 1π-24x ⎛⎫⎪⎝⎭的图象.(3)周期T=2πω=2π12=4π，振幅A=3，初相是-π4.(4)由于y=3sin1π-24x⎛⎫⎪⎝⎭是周期函数，通过观察图象可知，所有与x轴垂直并且通过图象的最值点的直线都是此函数的对称轴，即令12x-π4=π2+kπ，解得x=3π2+2kπ，k∈Z，此即为对称轴方程.图象与x轴的所有交点都是函数的对称中心，令12x-π4=kπ，得x=π2+2kπ，k∈Z，所以对称中心为π2π02k⎛⎫+⎪⎝⎭，(k∈Z)；因为x前的系数为正数，所以把12x-π4视为一个整体，令-π2+2kπ≤12x-π4≤π2+2kπ，解得x∈3π4422k kπππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，(k∈Z)为此函数的单调增区间.例2(2015·苏锡常镇二模)已知函数f(x)=sinπ6x⎛⎫+⎪⎝⎭+cos x.(1)求函数f(x)的最大值，并写出当f(x)取得最大值时x的取值集合；(2)若α∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，fπ6α⎛⎫+⎪⎝⎭=5，求f(2α)的值.【思维引导】要求函数的最值，就需把函数变形为y=A sin(ωx+φ)的形式，再通过y=A sin(ωx+φ)的图象与性质得到答案.【解答】(1)f(x)=sinπ6x⎛⎫+⎪⎝⎭+cos x=sin x+12cos x+cos x=2sin x+32cosπ3x⎛⎫+⎪⎝⎭.当x+π3=2kπ+π2(k∈Z)，即x=2kπ+π6(k∈Z)时，f(x)此时x的取值集合为π2π6x x k k⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z，.(2)由(1)知，f(x)π3x⎛⎫+⎪⎝⎭，又因为fπ6α⎛⎫+⎪⎝⎭=，ππ63α⎛⎫++⎪⎝⎭α=5，即cos α=35.又因为α∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，所以sin α=45.sin 2α=2sin αcos α=2×45×35=2425，cos 2α=2cos2x-1=-725，所以f(2α)π23α⎛⎫+⎪⎝⎭=sin 2α+32cos 2α=×2425-32×725=50.【精要点评】熟练掌握三角函数的同角的基本关系和恒等变换公式以及三角函数y=A sin(ωx+φ)+B的性质是解决本题的关键.变式设函数f(x)=2sin2ωx-sinωx·cosωx(ω>0)，且y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求函数f(x)在区间3ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.【解答】(1)f (x )=2-sin 2ωx-sin ωx cos ωx=2-·1-cos22x ω-12sin2ωx=2cos2ωx-12sin2ωx =-sinπ2-3x ω⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4， 又ω>0，所以2π2ω=4×π4，因此ω=1.(2)由(1)知f (x )=-sinπ2-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x-π3≤8π3，所以-2≤sin π2-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤1. 因此-1≤f (x)≤2.故f (x )在区间3ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值分别为2，-1.与f (x )=A sin(ωx+φ)有关的综合问题微课7 ● 典型示例例3 已知函数f (x )=10sin 2x cos 2x+10cos 22x.(1)求函数f (x )的最小正周期.(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2.①求函数g (x )的解析式；②求证：存在无穷多个互不相同的正整数x 0使得g (x 0)>0.【思维导图】【规范解答】(1)因为f (x )=10sin 2x cos 2x+10cos22x=5sin x+5cos x+5=10sinπ6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+5. 所以函数f (x )的最小正周期T=2π.(2)①将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到y=10sin x+5的图象；再向下平移a (a>0)个单位长度后得到g (x )=10sin x+5-a 的图象. 又因为函数g (x )的最大值为2，所以10+5-a=2，解得a=13. 所以g (x )=10sin x-8.②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0-8>0，即sin x 0>45.由45<2知，存在0<α0<π3，使得sin α0=45.由正弦函数的性质可知，当x∈(α0，π-α0)时，均有sin x>4 5.因为y=sin x的周期为2π，所以当x∈(2kπ+α0，2kπ+π-α0)(k∈Z)时，均有sin x>4 5.因为对任意的整数k，(2kπ+π-α0)-(2kπ+α0)=π-2α0>π3>1，所以对任意的正整数k，都存在正整数x k∈(2kπ+α0，2kπ+π-α0)，使得sin x k>4 5.亦即存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)>0.● 总结归纳(1)三角函数的定义域、值域、单调性、周期、奇偶性、对称性都是通过将解析式变形为f(x)=A sin(ωx+φ)的形式后讨论求解的；(2)若三角函数图象变换是纵向伸缩和纵向平移，则都是相对于f(x)而言，即f(x)→Af(x)和f(x)→f(x)+k；若三角函数图象变换是横向伸缩和横向平移，都是相对于自变量x而言，即f(x)→f(ωx)和f(x)→f(x+a)；(3)本题第②问是解三角不等式问题，由函数的周期性，先在一个周期内求解，然后再加周期，将存在无穷多个互不相同的正整数x0使得g(x0)>0转化为解集长度大于1，是本题的核心.● 题组强化1.(2015·湖南卷)已知ω>0，在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则ω= .【答案】π2【解析】根据三角函数图象与性质可得交点坐标为11π2π4kω⎛⎛⎫+⎪⎝⎭⎝，215π2π4kω⎛⎛⎫+⎪⎝⎭⎝，k1，k2∈Z，距离最短的两个交点一定在同一个周期内，所以(2)2=2215ππ-44ω⎛⎫⎪⎝⎭+(-)2，所以ω=π2.2.如果函数y=3sin ωx (ω>0)在ππ-34⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，那么ω的取值范围是 . 【答案】302⎛⎤ ⎥⎝⎦，【解析】令X=ωx ，当x ∈ππ-34⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，X ∈ππ-34ωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，要使得y=3sin X 在区间ππ-34ωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调增函数，所以ππππ--3422ωω⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，由此可得ππ--32ππ42ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，，又ω>0，所以0<ω≤32.3.(2016·苏北四市期中)将函数y=sin 2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，若所得图象过点π6⎛ ⎝⎭，则φ的最小值为 . 【答案】π6【解析】y=sin 2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后得y=sin(2x+2φ)的图象，由所得图象过点π6⎛ ⎝⎭，得2=sin π23ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以φ=k π或φ=k π+π6，由φ>0，知φ的最小值为π6.4.(2014·山东卷)已知向量a =(m ，cos 2x )，b =(sin 2x ，n )，设函数f (x )=a ·b ，且y=f (x )的图象过点π12⎛ ⎝和点2π-23⎛⎫ ⎪⎝⎭，. (1)求实数m ，n 的值；(2)将y=f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度后得到函数y=g (x )的图象，若y=g (x )的图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y=g (x )的单调增区间. 【解答】(1)由题意知f (x )=a ·b =m sin 2x+n cos 2x.因为y=f (x )的图象过点π12⎛ ⎝和2π-23⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以ππsin cos 664π4π-2sin cos 33m n m n =+⎨⎪=+⎪⎩，，即4m n ⎧=⎪+=，解得 1.m n ⎧⎪⎨=⎪⎩ (2)由(1)知f (x )sin 2x+cos 2x=2sinπ26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 由题意知g (x )=f (x+φ)=2sinπ226x ϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，依题意知到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2).将其代入y=g (x )得sin π26ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1，由0<φ<π，得φ=π6， 所以g (x )=2sinπ22x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2cos 2x. 令2k π-π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π-π2≤x ≤k π，k ∈Z ，故y=g (x )的单调增区间为π,2k k ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .1.(2015·常州期末)函数f (x )=cos 2xsin s22x x ⎛⎫-⎪⎝⎭的最小正周期为 .【答案】2π【解析】因为f (x )=cos 2x·sin 22x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=12sinx-·1cos 2x+=sin π-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-2，所以f (x )的最小正周期为2π.2.(2015·苏州调查)已知函数y=A sin(ωx+φ)π002A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭，，的图象上一个最高点的坐标为(2)，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x 轴交于点(6，0)，则此函数的解析式为 .【答案】sinππ84x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 【解析】由题意得=6-2，所以T=16，ω=2πT =π8.又sinπ28ϕ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭=1，所以π4+φ=π2+2k π(k ∈Z ).又因为|φ|<π2，所以φ=π4，所以sinππ84x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.3.(2016·苏州期中)将函数y=sinπ26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象向右平移φπ02ϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后，得到函数f (x )的图象，若函数f (x )是偶函数，则φ的值等于 .【答案】π3【解析】由题意知，平移后的图象的函数解析式为f (x )=sinπ2-26x ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为其为偶函数，所以f (0)=±1，所以2φ-π6=π2+k π，所以φ=π3+π2k ，又0<φ<π2， 所以φ=π3.4.(2015·天津卷)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)，x∈R，若函数f(x)在区间(-ω，ω)上单调递增，且函数f(x)的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为.【答案】【解析】由f(x)在区间(-ω，ω)内单调递增，且f(x)的图象关于直线x=ω对称，可得2ω≤πω，且f(ω)=sin ω2+cos ω2⇒sin2π4ω⎛⎫+⎪⎝⎭=1，所以ω2+π4=π2⇒ω=2.5.(2015·安徽卷)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.【解答】(1)因为f(x)=sin2x+cos2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos2x=sinπ24x⎛⎫+⎪⎝⎭+1，所以函数f(x)的最小正周期为T=2π|2|=π.(2)由(1)知，f(x)sinπ24x⎛⎫+⎪⎝⎭+1，当x∈π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，2x+π4∈π5π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，由正弦函数y=sin x在π5π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象知，当2x+π4=π2，即x=π8时，f(x)+1；当2x+π4=5π4，即x=π2时，f(x)取得最小值0.综上，f(x)在π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，+1，最小值为0.【融会贯通】融会贯通 能力提升如图，已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)π002A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭，，的图象与y 轴的交点为(0，1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0，2)和(x 0+2π，-2).(1)求f (x )的解析式及x 0的值；(2)若锐角θ满足cos θ=13，求f (4θ)的值.【思维引导】【规范解答】(1)由题意可得A=2，2T =2π，T=4π，即2πω=4π，所以ω=12， (2)分所以f (x )=2sin12x ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由f(0)=2sin φ=1，|φ|<π2，及f(x)的单调性得φ=π6.……………4分所以f(x)=2sin1π26x⎛⎫+⎪⎝⎭.令f(x0)=2sin1π26x⎛⎫+⎪⎝⎭=2，得12x0+π6=2kπ+π2(k∈Z)，x0=4kπ+2π3(k∈Z)， (6)分又因为x0是最小的正数，所以x0=2π3.…………………………………………………………………………………7分(2)因为θ∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，cos θ=13，所以sin θ=3， (8)分所以cos 2θ=2cos2θ-1=-79，sin 2θ=2sin θcosθ=9，………………………………11分f(4θ)=2sinπ26θ⎛⎫+⎪⎝⎭=sin 2θ+cos 2θ=×-79=.……………………14分【精要点评】对于y=A sin(ωx+φ)的试题的处理，要充分理解它的性质，并熟练掌握它的图象，结合函数的图象是解决问题的基本手段.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第55~56页.【检测与评估】第28课 函数f (x )=Asin(ωx +φ)的图象一、 填空题1.要得到函数y =sinπ4-4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数y =sin 4x 的图象向 平移 个单位长度.2.(2015·浙江卷)函数f (x )=sin 2x +sin x cos x +1的最小正周期为 ，最小值为 .3.(2014·南京二模)已知函数f (x )=Asin(ωx +φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f π3⎛⎫⎪⎝⎭=.(第3题)4.已知函数f (x )=sin(2x +φ)π2ϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭向左平移π6个单位长度后为奇函数，则函数f (x )在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值为 .5.(2015·苏锡常镇二模)若函数y=3sin（2x+π4）的图象向左平移φπ2ϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度后，所得函数的图象关于原点成中心对称，则φ= .6.已知将函数f(x)=sinπ34x⎛⎫+⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位长度后得到y=g(x)的图象，则g(x)在π2π33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值为.7.已知ω>0，函数f(x)=sinπ4xω⎛⎫+⎪⎝⎭在ππ2⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，那么ω的取值范围是.8.如图是函数y=sin(ωx+φ)π002ωϕ⎛⎫><<⎪⎝⎭，在区间π5π-66⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象，将该图象向右平移m(m>0)个单位长度后，所得图象关于直线x=π4对称，则m的最小值为.(第8题)二、解答题9.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)π0-02ωϕ⎛⎫><<⎪⎝⎭，的最小正周期为π，且fπ4⎛⎫⎪⎝⎭=.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；(3)若f(x)>2，求x的取值范围.(第9题)10.已知函数f(x)=sin x+sinπ3x⎛⎫+⎪⎝⎭.(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值时x的集合；(2)不画图，说明函数y=f(x)的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变化得到.11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（ω>0，0<φ<π2）的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)=fπ-12x⎛⎫⎪⎝⎭-fπ12x⎛⎫+⎪⎝⎭的单调增区间.(第11题)三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.若将函数y=2sin(3x+φ)的图象向右平移π4个单位长度后得到的图象关于点π3⎛⎫⎪⎝⎭，对称，则|φ|的最小值为.13.设函数f(x)=sin x-cos x，若0≤x≤2 017π，则函数f(x)的各极值之和为.【检测与评估答案】第28课函数f(x)=A sin(ωx+φ)的图象1.右π16【解析】设将函数y=sin 4x的图象向右平移φ个单位长度，得到函数y=sin 4(x-φ)=sin(4x-4φ)=sinπ4-4x⎛⎫⎪⎝⎭的图象，所以φ=π16.2.π2【解析】f(x)=sin2x+sin x cos x+1=12sin 2x+1-cos22x+1=12sin 2x-12cos2x+32=sinπ2-4x⎛⎫⎪⎝⎭+32，所以T=2π2=π，f(x)min=32-.3. 1【解析】由题图可知A=2，2πω=411ππ-3126⎛⎫⎪⎝⎭，所以ω=2.当x=π6时，sinπ3ϕ⎛⎫+⎪⎝⎭=1，又0<φ<π，所以φ=π6，所以f(x)=2sinπ26x⎛⎫+⎪⎝⎭，所以fπ3⎛⎫⎪⎝⎭=2sin5π6=1.4.-【解析】函数f(x)=sin(2x+φ)π||2ϕ⎛⎫<⎪⎝⎭向左平移π6个单位长度后得到函数fπ6x⎛⎫+⎪⎝⎭=sinπ26xϕ⎡⎤⎛⎫++⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=sinπ23xϕ⎛⎫++⎪⎝⎭.因为此时函数为奇函数，所以π3+φ=kπ(k∈Z)，所以φ=-π3+kπ(k∈Z).因为|φ|<π2，所以当k=0时，φ=-π3，所以f(x)=sinπ2-3x⎛⎫⎪⎝⎭.当0≤x≤π2时，-π3≤2x-π3≤2π3，即当2x-π3=-π3时，函数f(x)=sinπ2-3x⎛⎫⎪⎝⎭取得最小值为sinπ-3⎛⎫⎪⎝⎭=-.5.3π8【解析】方法一：函数y=3sinπ24x⎛⎫+⎪⎝⎭的图象向左平移φ个单位长度后得y=3sinπ224xϕ⎛⎫++⎪⎝⎭，要所得函数图象关于原点对称，则2φ+π4=kπ，即φ=π2k-π8.又0<φ<π2，所以φ=3π8.方法二：令2x+π4=kπ，即x=π2k-π8，故原函数的对称中心为ππ-028k⎛⎫⎪⎝⎭，，其中原点右边的一个对称中心为3π8⎛⎫⎪⎝⎭，，故只需要将原函数向左平移3π8个单位长度即可得到新函数关于原点对称.6.-2【解析】g(x)=sinπ3-34xπ⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-sinπ34x⎛⎫+⎪⎝⎭，又因为π3≤x≤2π3，所以5π4≤3x+π4≤9π4，所以g(x)min=g2π3⎛⎫⎪⎝⎭=-sinπ4=-.7.1524⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】由ωππ-2⎛⎫⎪⎝⎭≤π，得ω≤2.由ωx+π4∈π244ππωπω⎛⎫++⎪⎝⎭，π4⊂π3π22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，得π2ω+π4≥π2，πω+π4≤3π2，故12≤ω≤5 4.8.π6【解析】令f(x)=y=sin(ωx+φ)，由三角函数图象知，T=5π6+π6=π，所以2πω=π，所以ω=2.因为函数f(x)过点π-06⎛⎫⎪⎝⎭，，所以-π6×2+φ=kπ，又0<φ<π2，所以φ=π3，所以f(x)=sinπ23x⎛⎫+⎪⎝⎭，将该函数图象向右平移m个单位长度后，所得图象的解析式为g(x)=sinπ2-23x m⎛⎫+⎪⎝⎭，因为函数g(x)的图象关于直线x=π4对称，所以2×π4+π3-2m=π2+kπ(k∈Z)，解得m=π6-π2k(k∈Z)，又因为m>0，所以m的最小值为π6.9. (1) 因为最小正周期T=2πω=π，所以ω=2.又因为fπ4⎛⎫⎪⎝⎭=cosπ24ϕ⎛⎫⨯+⎪⎝⎭=cosπ2ϕ⎛⎫+⎪⎝⎭=-sin φ=2，且-π2<φ<0，所以φ=-π3.(2) f(x)=cosπ2-3x⎛⎫⎪⎝⎭，列表如下：图象如图所示(第9题)(3) 因为cosπ2-3x⎛⎫⎪⎝⎭>2，则2kπ-π4<2x-π3<2kπ+π4，k∈Z，所以2kπ+π12<2x<2kπ+7π12，k∈Z，所以kπ+π24<x<kπ+7π24，k∈Z，所以x的取值范围为π7π2424k kππ⎛⎫++⎪⎝⎭，，k∈Z，10. (1) f(x)=sin x+sinπ3 x⎛⎫+⎪⎝⎭=sin x+sin x cos π3+cos x sinπ3=sin x+12sinx+cos x=32sinx+cos xπ6x⎛⎫+⎪⎝⎭.当sinπ6x⎛⎫+⎪⎝⎭=-1时，f(x)min此时x+π6=3π2+2kπ，k∈Z，解得x=4π3+2kπ，k∈Z.所以f(x)的最小值为x的取值集合为4π2π3x x k k∈⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭Z，.(2) y=sin x的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得x的图象，然后把x的图象向左平移π6个单位长度，得f(x)π6x⎛⎫+⎪⎝⎭的图象.11. (1) 由图象知T=2×11π5π-1212⎛⎫⎪⎝⎭=π，所以ω=2.当x=5π12时，ωx+φ=π+2kπ(k∈Z)，所以2×5π12+φ=π+2kπ(k∈Z)，所以φ=π6+2kπ(k∈Z).因为0<φ<π2，所以φ=π6，所以f(x)=A sinπ26x⎛⎫+⎪⎝⎭.又f(0)=1，所以A sin π6=1，即A=2.所以f(x)=2sinπ26x⎛⎫+⎪⎝⎭.(2) 由(1)知g(x)=2sinππ2126x⎡⎤⎛⎫-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-2sinππ2126x⎡⎤⎛⎫++⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=2sin 2x-2sinπ23 x⎛⎫+⎪⎝⎭=2sin 2x-21sin22x x ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭=sin 2x=2sinπ2-3x⎛⎫⎪⎝⎭.令2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2(k∈Z)，得kπ-π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z).所以函数g(x)的单调增区间是π5ππ-π1212k k⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，(k∈Z).12.π4【解析】将函数y=2sin(3x+φ)的图象向右平移π4个单位长度后得到y=2sinπ3-4xϕ⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=2sin3π34xϕ⎛⎫-+⎪⎝⎭的图象.因为该函数的图象关于点π3⎛⎫⎪⎝⎭，对称，所以3π2sin334πϕ⎛⎫⨯-+⎪⎝⎭=2sinπ4ϕ⎛⎫+⎪⎝⎭=0，故有π4+φ=kπ(k∈Z)，解得φ=kπ-π4(k∈Z).当k=0时，|φ|取得最小值π4.13.【解析】f'(x)=cos x+sinπ4x⎛⎫+⎪⎝⎭，令f'(x)=0，得x=-π4+kπ (k∈Z).因为f(x)=sinπ-4x⎛⎫⎪⎝⎭，所以fπ-π4k⎛⎫+⎪⎝⎭=sinππ-π-44k⎛⎫+⎪⎝⎭=sinππ-2k⎛⎫⎪⎝⎭=-kπ.当k当k为偶数时，函数取得极小值因为0≤x≤2 017π，所以14≤k≤80694，。
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第27课 三角函数的图象和性质(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(必修4P37例1改编)函数y=sin π24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的单调增区间为 . 【答案】3ππ-ππ88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，(k ∈Z ) 【解析】令-π2+2k π≤2x+π4≤π2+2k π，可得-3π8+k π≤x ≤π8+k π(k ∈Z ).2.(必修4P33例4改编)函数y=tan π-24x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的定义域为 . 【答案】ππ--Z 28k x x k ∈⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭， 【解析】因为π4-2x ≠k π+π2，则x ≠-π2k -π8(k ∈Z )，所以定义域为ππ--Z 28k x x k ∈⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭，.3.(必修4P32练习6改编)函数y=cos π2-4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调增区间为 . 【答案】3ππ-ππ88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，(k ∈Z )【解析】令-π+2kπ≤2x-π4≤2kπ(k∈Z)，得-3π8+kπ≤x≤π8+kπ(k∈Z)，故所求单调增区间为3ππ-ππ88k k⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，(k∈Z).4.(必修4P32习题5改编)函数y=2sin xπ2π63x⎛⎫≤≤⎪⎝⎭的值域为.【答案】[1，2]【解析】根据正弦函数的图象可知，当x=π6时，函数取得最小值1；当x=π2时，函数取得最大值2.5.(必修4P30例2改编)设M和m分别表示函数y=13cos x-1的最大值和最小值，则M+m= .【答案】-2【解析】因为-1≤cos x≤1，所以-43≤13cos x-1≤-23.所以M=-23，m=-43.所以M+m=-2.正弦、余弦、正切函数的性质【要点导学】要点导学 各个击破三角函数的定义域与值域例1 (1)函数lg(2sin x-1)的定义域为 .(2)函数y=sin -2sin -1x x 的值域为 .【思维引导】(1)函数有意义的条件是被开方数非负，真数大于0，以及分母非零.(2)本小题是由三角函数构成的一次分式函数，考查三角函数与一次分式函数的性质，可以利用sinx 的有界性和一次分式函数y=ax bcx d ++的有关性质求解.【答案】(1)π5π2π2π36k k ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，(k ∈Z ) (2)32∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，【解析】(1)由题意得1-2cos02sin-10xx≥⎧⎨>⎩，，解得1cos21sin2xx⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，，所以π5π2π2πZ 33π5π2π2πZ 66k x k kk x k k∈∈⎧+≤≤+⎪⎪⎨⎪+<<+⎪⎩，，，，即x∈π5π2π2π36k k⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，(k∈Z).(2)因为y=sin-2sin-1xx=1-1sin-1x，所以当sin x=-1时，y min=1+12=32，所以值域为32∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，.【精要点评】(1)通过列不等式组得到关于x的不等式，即可求出函数的定义域.(2)还可以将sin x表示为y的函数：sin x=-2-1yy(y≠1)，利用sin x的有界性，即可得到-1≤-2-1yy<1，从而求出y的取值范围.变式(1)函数y=lg sin的定义域为.(2)函数y=2cos12cos-1xx+的值域为.【答案】(1)π2π23x k x k kπ⎧⎫<≤+∈⎨⎬⎩⎭Z，(2)1-3∞⎛⎤⎥⎝⎦，∪[3，+∞)【解析】(1)由sin01cos2xx>⎧⎪⎨≥⎪⎩，⇒2kπ<x≤π3+2kπ，k∈Z.(2)方法一：易得y=2cos12cos-1xx+=1+22cos-1x.因为-1≤cos x≤1，所以y≤13或y≥3，故函数的值域为1-3∞⎛⎤⎥⎝⎦，∪[3，+∞).方法二：由题意得cos x=12(-1)yy+.因为-1≤cos x≤1，所以-1≤12(-1)yy+≤1，解得y≤13或y≥3，所以函数的值域为1-3∞⎛⎤⎥⎝⎦，∪[3，+∞).例2求函数y=sin x+cos x+sin x cos x的值域.【思维引导】注意到sin x+cos x与sin x cos x两者之间的关系，可设sin x+cos x=t，则有sin x cos x=2-12t，从而得到关于t的二次函数，注意变量t的取值范围.【解答】设sin x+cos x=t，t且sin x cos x=2-1 2t，所以y=2-12t+t=22-12t t+=2(1)-22t+，所以当t=-1时，y min=-1；当y max=12+故所求函数的值域为1-12⎡+⎢⎣，. 【精要点评】求三角函数值域的常用方法有：①将函数式化为y=A sin(ωx+φ)的形式，然后根据定义域求出值域即可； ②采用反函数法，利用sin x 和cos x 的有界性求值域；③采用换元法，转化为代数函数求解，但应特别注意所换新元的范围.变式 函数y=cos 2x+2sin xπ2π63x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的最大值和最小值分别是 . 【答案】32，1【解析】由题知y=-221sin -2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+32， 因为π6≤x ≤2π3，所以12≤sin x ≤1，所以当sin x=12时，y max =32；当sin x=1时，y min =1.三角函数性质的综合应用例3 已知向量a =1cos -2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，b =x ，cos2x )，x ∈R ，设函数f (x )=a ·b . (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调增区间；(3)求函数f (x )在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.【思维引导】先将向量关系转化为三角函数f (x )=A sin(ωx+φ)，然后再求解.【解答】(1)f (x )=a ·b =cos xx-12cos2x=sin2x-12cos2x=sinπ2-6x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)令-π2+2kπ≤2x-π6≤π2+2kπ，k∈Z，则-π3+2kπ≤2x≤2π3+2kπ，k∈Z，即-π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z.所以f(x)的单调增区间为π63k kπππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，(k∈Z).(3)当x∈π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，2x-ππ5π-666⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，当x=0时，f(x)取得最小值f(0)=-1 2；当x=π3时，f(x)取得最大值fπ3⎛⎫⎪⎝⎭=1.所以f(x)在π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值分别为1，-12.【精要点评】一般地，此类问题需要把较为复杂的三角函数形式转化为f(x)=A sin(ωx+φ)+C的形式，然后再求周期、最值或单调区间等.其中最小正周期T=2π||ω，单调区间与相应正弦(或余弦、正切)函数的性质有关，求最值时可借助三角函数的图象.变式已知函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)，且其图象的一条对称轴是直线x=π8.(1)求φ的值；(2)求函数f(x)的单调增区间.【解答】(1)因为x=π8是函数图象的一条对称轴，所以sinπ28ϕ⎛⎫⨯+⎪⎝⎭=±1.所以π4+φ=kπ+π2，k∈Z.因为-π<φ<0，所以φ=-3π4.(2)由(1)知φ=-3π4，所以f(x)=sin3π2-4x⎛⎫ ⎪⎝⎭.令2kπ-π2≤2x-3π4≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ+π8≤x≤kπ+5π8，k∈Z，故函数f(x)的单调增区间为π5π88k kππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，，k∈Z.1.函数y=|sin x|的单调增区间为.【答案】πππ2k k⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，(k∈Z)【解析】作出y=|sin x|的图象，由图象可知，单调增区间为πππ2k k⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，(k∈Z).2.函数y=2sin2x-3sin 2x的最大值是.+1【解析】y=2×1-cos22x-3sin 2x=-cos 2x-3sin 2x+1sin(2x+φ)+1，所以函数的最大1.3.函数f(x)=sinπ2-4x⎛⎫⎪⎝⎭在区间π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值是.【答案】-4.(2015·南通二调)若函数f(x)=2sinπ3xω⎛⎫+⎪⎝⎭(ω>0)的图象与x轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为.【答案】π2【解析】由题意得12·2πω=2，解得ω=π2.5.(2015·南通期末)已知函数f(x)=sinπ26x⎛⎫+⎪⎝⎭，若y=f(x-φ)π2ϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭是偶函数，则φ= .【答案】π3【解析】f(x-φ)=sin()π26xϕ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦=sinπ226xϕ⎛⎫+-⎪⎝⎭.因为y=f(x-φ)π2ϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭是偶函数，所以π6-2φ=π2+kπ(k∈Z)，所以φ=-π6-π2k.又因为0<φ<π2，所以φ=π3.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第53~54页.【检测与评估】第27课三角函数的图象和性质一、填空题1.函数y的定义域为.2.函数y=tanπ-4x⎛⎫⎪⎝⎭的定义域为.3.函数y=cos2cos1xx++的值域为.4.若函数f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，ω= .5.(2014·苏州调研)若函数f(x)=sin(x+θ)π2θ⎛⎫<<⎪⎝⎭的图象关于直线x=π6对称，则θ= .6.函数y=sin 2x2x的最小正周期是.7.已知当x=θ时，函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值，则cosθ= .8.设函数f(x)=sinπ26x⎛⎫+⎪⎝⎭，给出下列命题：①f(x)的图象关于直线x=π3对称；②f(x)的图象关于点π6⎛⎫⎪⎝⎭，对称；③f(x)的最小正周期为π，且在π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数；④把f(x)的图象向右平移π12个单位长度，得到一个奇函数的图象.其中正确的命题是.(填序号) 二、解答题9.(2014·福建卷)已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)-1 2.(1)若0<α<π2，且sin α=，求f(α)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间.10.(2015·北京卷)已知函数f(x)=sin x22x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间2π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值.11.已知函数f(x)=a22cos sin2xx⎛⎫+⎪⎝⎭+b.(1)若a=-1，求函数f(x)的单调增区间；(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[5，8]，求a，b的值.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.若函数y=cosπ6xω⎛⎫+⎪⎝⎭(ω∈N*)的一个对称中心为π6⎛⎫⎪⎝⎭，，则ω的最小值为.13.已知函数y=sin π3x在区间[0，t]上至少取得两次最大值，则正整数t的最小值为.【检测与评估答案】第27课三角函数的图象和性质1.ππ2π-2π66k k⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，，k∈Z【解析】由cosx-≥0，得cos x≥，所以2kπ-π6≤x≤2kπ+π6，k∈Z.2.ππ-Z4x x k k∈⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭，【解析】因为π4-x≠kπ+π2，k∈Z，所以x≠-kπ-π4，k∈Z，即x≠kπ-π4，k∈Z.3.32∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，【解析】由y=cos2cos1xx++得cos x=-2-1yy+，所以-2-1yy+≤1，即(y-2)2≤(y-1)2，解得y≥3 2.4.34【解析】由0≤x≤π3，得0≤ωx≤π3ω<π3，则f(x)在π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，且在这个区2sinπ3ω0<π3ω<π3，所以π3ω=π4，即ω=34.5. π3 【解析】因为f (x )的图象关于直线x=π6对称，所以sin π6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=±1，而0<θ<π2，所以θ=π3.6. π7.-8.③④ 【解析】对于①，f π3⎛⎫ ⎪⎝⎭=sin ππ236⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭=sin 5π6=12，不是最值，所以x=π3不是函数f (x )的图象的对称轴，故该命题错误；对于②，f π6⎛⎫ ⎪⎝⎭=sin ππ266⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭=1≠0，所以点π06⎛⎫ ⎪⎝⎭，不是函数f (x )的图象的对称中心，故该命题错误；对于③，函数f (x )的最小正周期为T=2π2=π，当x ∈π012⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，令t=2x+πππ663⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，显然函数y=sin t 在ππ63⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，故函数f (x )在π012⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，所以该命题正确；对于④，把f (x )的图象向右平移π12个单位长度后所对应的函数解析式为g (x )=sin ππ2-126x ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=sin 2x ，是奇函数，所以该命题正确.故填③④.9. (1) 因为0<α<π2，sin α=，所以cos α=2，所以f (α)=2×⎝⎭-12=12.(2) 因为f(x)=sin x cos x+cos2x-12=12sin 2x+1cos22x+-12=12sin 2x+12cos2x=2sinπ24x⎛⎫+⎪⎝⎭，所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ-3π8≤x≤kπ+π8，k∈Z，所以f(x)的单调增区间为3πππ-π88k k⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，，k∈Z.10. (1) 因为f(x)=sin2sinπ3x⎛⎫+⎪⎝⎭所以f(x)的最小正周期为2π.(2) 因为0≤x≤2π3，所以π3≤x+π3≤π.当x+π3=π，即x=2π3时，f(x)取得最小值.所以f(x)在区间2π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值为f2π3⎛⎫⎪⎝⎭11.f(x)=a(1+cos x+sin x)+b=sinπ4x⎛⎫+⎪⎝⎭+a+b.(1) 当a=-1时，f(x)π4x⎛⎫+⎪⎝⎭+b-1，由2kπ+π2≤x+π4≤2kπ+3π2(k∈Z)，得2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4(k∈Z)，所以函数f(x)的单调增区间为π5π2π2π44k k⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，(k∈Z).(2) 因为0≤x≤π，所以π4≤x+π4≤5π4，所以-2≤sinπ4x⎛⎫+⎪⎝⎭≤1，依题意知a≠0.①当a>0时，85a bb++==⎪⎩，，所以a=3，b=5.②当a<0时，85ba b=⎧⎪++=，，所以a=3-b=8.综上所述，a=3，b=5或a=3-b=8.12.2【解析】依题意得cosππ·66ω⎛⎫+⎪⎝⎭=0，π6(ω+1)=kπ+π2，ω=6k+2(其中k∈Z).又因为ω为正整数，所以ω的最小值为2.13.8【解析】函数y=sin π3x的最小正周期T=6，则54T≤t，所以t≥152，又t∈N*，所以t min=8.。