张宇高数笔记

张宇高数笔记
第一章节极限与连续
数列收敛（有极限），则：
①任何子列都收敛，反之就不是收敛数列。

②它的极限存在且唯一。

③它是有界的。

（收敛一定有界，但有界不一定收敛，可能振荡）④它有保号性。

数列极限存在的解题手段：①夹逼法。

②定积分定义法。

③对于给定递推式的数列求极限：
（1）用单调有界证明极限存在，然后让等式两边极限相等解出A 。

（2）先斩后奏解出A ，然后用压缩映象原理列出|x n ?A |<=""> 根据题设条件得出x n+1和x n 的递推关系，然后用③的方法。

⑤充分运用题目中给出的函数关系式：
（1）x n+1=f(x n )，f (ξ)=ξ；则x n+1?x n =f (x n )?f(x n?1)，|x n+1?ξ|=|f (x n )?f (ξ)| （2）任何|f ′(x )|≤k 的函数，都可由拉氏定理得|f (x 1)?f (x 2)|≤k|x 1?x 2| （3）若知f(x)的单调性，可把x n+1和x n 的大小判断转化为对f (x n+1)和f(x n )的判断。

（4）若给出x n+1=f(x n )，f ′(x )和x 0的初值，则用拉氏定理:
|x n+1?x 0|=|f (x n )?f (x 0)|=|f′(ξ)(x n ?x 0)|≤A|(x n ?x 0)|压缩映象⑥对于累加型数列x n =∑f(n,k)n k=1求极限，常用无穷项相加放缩的方式夹逼出来。

函数极限存在（设为A ），则：①左右极限都为A 。

（证明题证极限存在的思路）②唯一性、有界性、保号性。

③?ε>0,?δ>0,当0<|x ?x 0|<δ时，有|f (x )?A |<ε
此定义在广义上，ε可以为任何形式，但必须满足“可以任意小”。

重要结论与具体解题技巧：
①闭区间上连续的函数必有界；开区间上连续的函数，两端点极限都存在才有界。

②无穷项相加的放缩：n ×u min ≤∑u i ≤n i=1 n ×u max 有限项相加（且u i ≥0）的放缩：1×u max ≤∑u i ≤n i=1 n ×u max ③诸如1
x 2之类的形式难以处理，想到用倒代换。

④见根号，有理化。

⑤分子分母都有不少幂次方，上下同除最大因子。

（当x<0时，用t=-x 替换）
形如a x +b x 、e a +e b
的指数相加，则提取最大因子。

⑥积分求导时，记得对积分限中的x 也要求一次导。

⑦x 出现在指数上，想到两种思路：（1）对于1∞型：limu v =e lim (u?1)v
（2）用e 、ln 置换掉指数，并想办法凑出e x ?1～x 的形式来化简。

⑧看到高斯函数[·]，想到夹逼；想到从左右两边分别趋近。

⑨两个连续函数加、减、乘、复合都连续。

除不一定，要看分母有没有为0的点。

连续函数和间断函数加减后一定间断，乘除则不一定。

⑩极限可拆的前提是拆开后的极限都存在。

两坨相加的东西难以化简，可以用其中一个除另一个再取极限，如果结果是0或∞，说明其中一个是高阶无穷小，直接扔掉。

判断函数分段点时，尽量先把函数写出分段函数形式，不易出错。

无穷小的运算规则：
①有限个无穷小的和、乘积是无穷小。

（无穷个则不一定）②有界函数乘无穷小为无穷小。

③加减时，低阶吸收高阶；乘法时，阶数累加。

泰勒公式：f (x )=∑f n (x 0)n!
i n=0
(x ?x 0)n +R n (x)
本章难题：例2.5、例2.11、例2.28、习2.8、习2.14（2）、源1.3、源1.6、源1.8、源1.12、源1.15、源1.41、源1.46、源1.82、源1.89、源1.92、源1.105
第二章节：导数
基础知识：
①导数定义中增量的广义化：lim
u→0
f (x 0+u )?f(x 0)
u
，这里的u 可以取任何表达式。

注意，u 需要从双向都能→0，若单向趋近，则只能得出单向导数。

② y =f (x )，反函数x =φ(y )，则dx
dy =1
y′；d 2x
dy 2=?y′′
y′3 ③可微的判别：作极限lim
Δx→0
Δy?dy Δx
，若极限等于0，则y =f (x )在点x 0处可微。

其中增量Δy = f (x 0+Δx )?f(x 0)，微分（线性增量）dy = f′(x 0)Δx 由于事实上，Δy =dy +o (Δx )，故dy 又被称为Δy 的“线性主部”。

④斜渐近线：lim
x→∞f(x)x
=k 1，lim x→∞
[f (x )?k 1x]=b 1，则y =k 1x +b 1
⑤凹函数的另一种定义：f[λx 1+(1?λ)x 2]<λf (x 1)+(1?λ)f(x 2)，0<λ<1 ⑥曲率及曲率半径：k =|y′′|[1+(y′)2]3
2；R =
1k
=
[1+(y′)2]3
2
|y′′|
；
曲率圆心：α=x ?
y ′[1+(y′)2]
y′′
；β=y +
1+(y′)2y′′
⑦内外可导?复合可导；但复合可（不可）导?内外可（不可）导。

解题技巧：
①证明题中牢记导数的定义，尤其是遇到抽象函数时，首选构造导数的定义。

②求导题中牢记导数的定义：
（1）间断点处必须用导数的定义求导。

（2）用求导公式过于复杂，用定义法往往简单。

（3）当x,y 用参数方程表示时，导数的定义式写成lim
Δx→0Δy
Δx
，转化为Δt ，如例3.20
③导数类题目要时刻谨记函数是否连续，不连续就不能往里代。

题目中若给出存在二阶导数f′′(0)，则f(x)在0处连续，f′(x)在0处连续，但是f′′(x)在0处不一定连续！此时如果要求f′′(0)，只能在f′(x)的基础上用定义法求，不能使用求导公式。

④高阶导数常用处理方法：（1）多项式分母因式分解法。

（2）莱布尼兹公式法。

（3）先求出一阶导，有时还要求二阶导，然后让他们与多项式相乘，构造等式。

（4）展开式的唯一性法。

⑤判断极值点和拐点时，不要忘了第二充分条件，利用f ′′(x 0)和f′′′(x 0)来判断。

拐点第二充分条件：f ′′(x 0)=0，f ′′′(x 0)≠0。

⑥求斜渐近线时，别忘了x →+∞和x →?∞两种情况，可能有两条！
第三章节：中值定理
基础知识：
①费马定理：极值不在区间端点取到，则f ′(x )=0必在区间内部取到。

②拉格朗日增量形式：f (b )?f (a )=f ′[a +θ(b ?a )](b ?a)，其中0<θ<1 ③拉格朗日余项：f n+1(ξ)
(n+1)!(x ?x 0)n+1 ④佩亚诺余项：o((x ?x 0)n ) ⑤常用函数求导模型：
（1）f ′(
x )+g (x )f (x )=0原函数
F (x )=e ∫g (x )dx f(x)，例如：
f′(x )?λf (x )=0原函数? F (x )=e ?λx f(x)；f ′′(x )+g (x )f′(x )=0原函数
F (x )=e ∫g (x )dx f′(x) （2）f (x )g ′′(x )?g (x )f ′′(x)=0原函数
F (x )=f (x )g ′(x )?g (x )f′(x )原函数
F (x )=g(x)
f(x) （3）f (x )+f ′′(x )=0原函数
F (x )=f 2(x )+[f′(x)]2
（4）f (x )?f ′′(x )=0原函数
F (x )=e x [f (x )?f ′(x )]原函数
F (x )=?f (x )e x
（5）f (x )f ′′(x )?[f ′(x )]2=0原函数
F (x )=
f ′(x )f (x )
原函数
F (x )=lnf(x)
牢记：找母亲不行就找外婆，往已知条件上靠。

解题技巧：
①使用拉格朗日中值定理的情况：
（1）需要寻找f (x )和f′(x )的关系，尤其是已知特定点的函数值f(x 0)=a
（2）时常需要在区间(a,b)内再进行划分(a,ξ)、(ξ,b)；特别地，当题干中的(a,b)在式子中高度对称时，往往取ξ=
a+b 2
②使用泰勒展开的情况：
（1）要求的为高阶导数。

（2）给出了f′(x )、f′′(x )等的取值范围。

（3）当题干中的(a,b)在式子中高度对称时，展开点往往取x =a+b 2
（4）别的方法都行不通，泰勒展开试试。

③柯西中值定理的两种题型：（1）单中值型：证明af (b )?bf(a)
a?b
=f (ξ)?ξf′(ξ)
解：
f(b)b ?f(a)
a 1
b ?1a
=f (ξ)?ξf′(ξ)，则F (x )=
f (x )x
，g (x )=1x ，F (b )?F(a)g (b )?g(a)=F′(ξ)
g′(ξ)
（2）双中值型：证明f′(η)tan
a+b 2
=f′(ξ)sinη
cosξ
解：f′(ξ)cosξ
f′(η)
sinη
=tan
a+b 2
，则g (x )=sinx ，?(x )=
cosx ，f′(ξ)g′(ξ)
f′(η)
′(η)
=
f (b )?f(a)
g (b )?g(a)f (b )?f(a)?(b )??(a)
第四章节：微分不等式
罗尔原话：
若f n (x )=0至多有k 个根，则f (x )=0至多有k+n 个根。

实根定理：
实系数奇次方程至少有一个实根。

基本不等式：
2
1a +1b ≤√ab ≤a +b 2≤√a 2+b 2
2
第五章节：积分
不定积分：
①求不定积分一定不要忘记常数C 。

②原函数存在定理：含有第一类间断点、无穷间断点的函数必没有原函数。

仅含有振荡间断点的函数有原函数。

③有关原函数各种定理的证明，马上想到导数的定义。

④子孙三代的奇偶性、周期性：（1）一切函数求导后奇偶性改变。

（2）f (x )为奇无条件
→
∫f (t )dt x a 为偶；f (x )为偶∫f (u )du 0
a → ∫f (t )dt x
a 为奇。

（3）∫f (t )dt x
a 周期为
T ∫f (x )dx=0
T
0← f (x )周期为T 无条件
→ f′(t )周期为T
（4）推论：若奇函数f (x )为周期函数，则∫f (x )dx =0T
⑤常用手段：
（1）对根号内进行变形后，三角换元。

（2）代换不掉的根号整体换元。

（3）分母幂次过高，倒代换。

（4）a x 、e x 、lnx 、arcsinx 、arctanx 等常常被直接代换，甚至考虑整个式子代换。

（5）幂函数与三角函数相乘，优先考虑分部积分。

（6）有理函数：(ax +b )→A
ax+b ；(ax +b)2→A
ax+b +B
(ax+b)2；px 2+qx +r →Ax+B
px 2+qx+r （7）分母有e ?x 、e 3?x 之类的，利用e ?x ·e x =1上下同乘化为正。

（8）实在积不出来的部分，不可求积可抵消，拆成∫f (x )dx +∫g(x)dx ，对其中求完导能转化成另一项的那项进行分部积分，消除积不出来的部分。

1.∫x +sinx 1+cosx dx =∫x 1+cosx +sinx 1+cosx dx =∫x 1+cosx dx +xsinx 1+cosx ?∫x 1+cosx
dx
2.∫xe x (1+x)2dx =∫e x 1+x dx ?∫e x (1+x)2dx =e x 1+x +∫e x (1+x)2dx ?∫e x
(1+x)2
dx
3.设I n =∫(x 2?1)n dx ?1
1，则I n =x(x 2?1)n |1?1
2n ∫x 2(x 2?1)n?1dx ?1
1
=?2n ∫(x 2?1)(x 2?1)n?1+(x 2?1)n?1dx =?2nI n ?2nI n?1?1
1
定积分：
①定积分存在充分条件：f (x )连续，或有界且只有有限个间断点。

②定积分存在必要条件：f (x )在积分区间上必须有界。

③常用手段
（1）奇偶性、周期性、区间再现、拆积分限
（2）点火公式：∫sin n xdx =π2
0∫cos n xdx =π2
0{n?1n
·n?3
n?2 (2)
3·1 (n 为正奇数)
n?1
n
·
n?3n?2
(12)
·π2
(n 为正偶数)
中点火：∫sin n xdx
=π
02∫sin n xdx π2
∫cos n
xdx ={2∫cos n xdx (n 为正偶数π
2
0)
0 (n 为正奇数)π
大点火：∫sin n xdx =2π
0∫cos n xdx
={4∫cos n xdx (n 为正偶数π2
0)0 (n 为正奇数)
2π
0 （3）利用变量代换构造对称区间，再用奇偶性化简。

（∫(x ?1)dx t=x?1
2
0∫tdt =1
10）④精确定义：数列满足分母齐次，分子低一次，就想到定积分定义:
∫f (x )dx =lim n→∞∑f(i n x)x n n
1
x
0最常用→ ∫f (x )dx =lim n→∞∑f(i n )1
n n
1
10
放缩：0<1i <1，0<i< p="">
n <1，放缩后两边都凑出定积分定义，再夹逼。

⑤定积分比大小：（1）观察奇偶性；（2）相互作差比较，通常运用到区间再现公式。

变限积分：
①变限积分F (x )=∫f (t )dt x
a 是f (x )在区间[a,b]上的一个原函数。

②变限积分F (x )=∫f (t )dt x a 只要存在，就必然是连续的；而变限积分存在的条件，是被积函数f (x )必须有界。

③对于简单的变限积分函数，直接算出来表达式最快。

④x ∫f (t )dt x
a 型变限积分求导后，无关变量x 可以直接放入积分中，方便运算。

⑤变限积分都是带有隐含的初值条件的。

反常积分：①无穷区间：∫1
x p
dx +∞1；在p >1时收敛，p ≤1时发散。

②无界函数：∫1x p
dx 10
（奇点在0）；在p <1时收敛，p ≥1时发散。

③任何类型积分前，注意检查积分区间是否有奇点。

④注意按照(0，1),(1，+∞)划分区间，聚焦有奇点的那部分，再等价代换。

⑤有的积分可以直接算出来，再判断敛散性。

三角函数有理积分常用手段：
①1+cosx ，立刻想到2cos 2x 2；1?cosx ，立刻想到2sin 2x
2 ②总是想想能不能上下同除cos 2x 凑出sec 2x 和tanx ③∫1
1+sinx dx ，1+sinx 的处理方法{(sin x 2+cos x
2)2
1?sinx (1+sinx)(1?sinx)
=1?sinx cos 2
x
④∫12+cosx dx ，12+cosx =1
1+2cos 2x 2
=sec 2
x
2
sec 2x
2
+2
一元积分几何运用：①平面图形面积：
（1）直角坐标：S =∫|y 1(x )?y 2(x)|dx b
a
（2）极坐标：S =1
2∫|r 12(θ)?r 22
(θ)|dθβα
（3）参数方程：代入直角坐标表达式，注意上下限转换。

②旋转体体积：对于（2）来说：dV =πr 2y =π[(x +dx )2?x
2]≈π(2xdx )y =2πxydx
（1）绕x 轴：V =π∫y 2(x )dx =b
a π∫|y 12(x )?y 22(x )|dx b
a
绕y=a ：V =π∫[y (x )?a]2dx b
a
（2）绕y 轴：V =2π∫x|y (x )|dx =b a 2π∫x|y 1(x )?y 2(x )|dx b
a 绕x=a ：V =2π∫|x ?a||y (x )|dx b
a ③平面曲线的弧长：
ds =√(Δx)2+(Δy)2=√(Δx)2+(y ′(x )Δx)2=√1+[y′(x)]2dx （其中Δx =dx ）（1）直角坐标 y =y (x )：s =∫√1+[y′(x)]2b
a dx
（2）参数方程 x =x (t )，y =y (t )：s =∫√[x′(t)]2+[y′(t)]2β
αdt （3）极坐标r =r(θ)：s =∫√[r(θ)]2+[r′(θ)]2β
αdθ ④旋转曲面的面积：
dS =2πyds =2πy √1+[y′(x)]2dx
（1）直角坐标：绕x 轴：S =2π∫|y(x)|√1+[y′(x)]2dx b
a
绕y 轴：把|y(x)|换成|x|
（2）参数方程：绕x 轴：S =2π∫|y(t)|√[x′(t)]2+[y′(t)]2βαdt
绕y 轴：把|y(t)|换成|x(t)|
⑤平行截面面积为已知的立体体积：
垂直于x 轴的平面（往往要自己构造）截立体所得的截面面积是A (x )，则立体体积为：V =∫A (x )dx b
a 解题的关键就在于构造平面，然后确定x 处的截面面积A(x) ⑥曲边梯形的形心：
x?=∫xf(x)dx
b
a ∫f(x)dx
b a ; y ?=12∫f 2
(x)dx
b a ∫f(x)dx
b a
注解：几何运用中，对于直角坐标长得很奇怪的曲线，转换为极坐标或参数方程进行求解。

例如：x 3
+y 3
=3axy ?{x =rcosθy =rsinθ
r =3asinθcosθsin θ+cos θ?S =1
2∫r 2(θ)dθπ
20
x 23
+y 2
3
=a 23
{x =acos 3t y =asin 3t ?S =4∫|y |dx =4∫|asin 3t |d (acos 3t )0π2
a 0
一元积分物理运用（微元法）：①变力做功：
dW =F (x )dx ?W =∫F(x)dx b
a
②抽水做功：（取目标平面为原点向下建系，x 轴竖直）
dW =mgx =ρVgx =ρ[A (x )dx ]gx =ρgxA(x)dx W =ρg ∫x A(x)dx b
a 解题的关键就在于确定x 处的水平截面面积A(x)
③水压力：（取水面为原点向下建系，x 轴竖直）
dP =ρgxdS =ρgx[f (x )??(x)]dx
W =ρg ∫x [f (x )??(x)]dx b
a 解题的关键就在于确定水深x 处的平板宽度f (x )??(x) ③其他类问题
（1）管道水流、市中心人口等问题，要记得微小面积取圆环：
dS =π(r +dr)2?πr 2=2πrdr
（2）所有问题都能划归成：在点x 处，取微小厚度，然后写表达
式并积分。

积分等式与不等式：
①推广的积分中值定理：
设f (x )、g(x)在[a,b]上连续且g(x)不变号，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得∫f (x )g (x )dx =f(ξ)∫g(x)dx b
a b
a
②同时出现积分号和极限号：
（1）用积分中值定理或推广的积分中值定理去积分。

如：lim n→∞
∫x n 1+x
dx 10
=lim
n→∞
11+ξ∫x n dx 10
=lim n→∞1
1+ξ
·
11+n
=0
（2）先在积分内部夹逼，化为好积形式，然后积出来，两边取极限。

如：0≤
x n 1+x
≤x n
，所以0≤
∫x n
1+x dx
10≤
1
n+1，所以lim n→∞∫x n
1+x dx 10=0
③把定积分不等式转化为方程不等式：
解法：将上限变量化，然后移项构造辅助函数。

注意点一：当上限麻烦时，也可下限变量化，切不可教条化。

注意点二：辅助函数求导后通常要把x 放入积分dt 内部。

④运用拉格朗日中值定理：
通常所给条件为f (x )一阶可导，且某一端点值较为简单（甚至为0）。

⑤化简原则：
当被积函数复杂，而积分区间简单时，优先化简为被积函数简单，积分区间复杂。

⑥和式不等式的基本思想：（1）若函数f (x )单增，则：f (k )≤∫f (x )dx ≤f (k +1)?∑f (k )≤∑∫f(x)dx k+1
k
≤n?1
k=1n?1k=1k+1
k
∑f (k +1)n?1k=1
f (1)+f (2)+···+f(n ?1)≤∫f(x)dx ≤n
1f (2)+f (3)+···+f(n) （2）若函数f (x )单减，则：
f (2)+f (3)+···+f(n)≤∫f(x)dx ≤n
1f (1)+f (2)+···+f(n ?1)
第六章节：多元函数
偏导数：
①偏导定义式：ef
ex =lim
x→0
f (x 0+?x,y 0)?f(x 0,y 0)
x
=lim
x→x 0
f (x,y 0)?f(x 0,y 0)
x?x 0
②若z=f(x,y)具有二阶连续偏导，则f xy′′=f yx′′(f12′′=f21′′)，运算时可合并。

若e2u
ex2=e2u
ey2
，则f11′′=f22′′，运算时可合并。

③偏导连续性：
（1）用定义法求此点偏导。

→（2）用公式法求。

→（3）计算公式法在此点的极限。

④方向导数的定义：ef
el(x
0,y0)=f(x0+tcosα,y0+tsinα)?f(x0,y0)
t
，其中l=(cosα,sinα)
方向导数计算公式：ef
el(x
0,y0)
=f x′(x0,y0)cosα+f y′(x0,y0)sinα
梯度：gradf(x0,y0)=f x′(x0,y0)i?+f y′(x0,y0)j?
方向导数和梯度的关系：ef
el
=gradf·l。

即梯度是向量，方向导数是一个数。

梯度乘上方向就变为方向导数。

可微：
①可微的判别：作极限lim
22
，若极限等于0，则z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微。

其中增量Δz= f(x0+Δx,y0+Δy)?f(x0,y0)，全微分dz=f x′(x0,y0)Δx+f y′(x0,y0)Δy
②如果把f(x,y)写成f(x,y)=A(x?x0)+B(y?y0)+o√(x?x0)2+(y?y0)2
就证明f(x,y)在(x0,y0)处可微，且f x′(x0,y0)=A，f y′(x0,y0)=B
③关系的梳理：
（1）可微意味着所有路径都通，偏导或方向导数存在意味着特殊路径通。

故可微必定偏导数和方向导数存在，但是偏导或方向导数存在不一定可微。

（2）偏导存在推不出可微，但偏导数连续则可微。

（3）可微但偏导数不一定连续，不可微则偏导一定不连续，但偏导可能存在。

（4）可偏导和方向导数存在，之间没有必然联系。

链式求导法则：
极其重要：无论原函数对谁求导，求了几次导，求导后的新函数仍具有与原函数完全相同的复合结构，要继续用尿分叉求导法则。

隐函数存在定理：
① y=f(x)，函数F(x,y)在P(x0,y0)处有F(x0,y0)=0，则两边对x求偏导：F x′+F y′dy
dx
=0。

若F y′(x0,y0)≠0，则有dy
dx =?F x′
F y′
② z=f(x,y)，函数F(x,y,z)在P(x0,y0,z0)处有F(x0,y0,z0)=0，则两边对x求偏导：
F x′+F z′ez
ex =0。

若F z′(x0,y0,z0)≠0，则有ez
ex
=?F x′
F z′
；同理ez
ey
=?F y′
F z′
③没有思路时，就在等式两边对x求偏导。

④隐函数繁杂，则换一件外衣作桥梁，请看下面这道例题：
已知函数F(u,v,w)可微，F u ′(0,0,0)=1，F v ′(0,0,0)=2，F w ′(0,0,0)=3，函数z =f (x,y )由
F (2x ?y +3z,4x 2?y 2+z 2,xyz )=0确定，且满足f (1,2)=0，则f x ′(1,2)为多少？解：设
G (x,y,z )=F (2x ?y +3z,4x 2?y 2+z 2,xyz )=0
由②知：ez
ex =?G x ′G z
′=?2F u ′+8xF v ′+yzF w
′3F u
′+2zF v
′+xyF w
′ ；由于(x,y,z )=(1,2,0)时，(u,v,w )=(0,0,0)
所以根据题干信息，把值全部代进去即可。

逆问题反求原函数：
①已知二阶偏导数表达式求原函数，则连续积分两次回到原函数。

②对x 积分，就会附带y 的表达式；对y 积分，就会附带x 的表达式。

③例：e2z
exey =x +y 两边对y 积分，得ez
ex =xy +1
2y 2+φ(x)
多元函数极值问题：①无条件极值：
隐函数形式：设z =z(x,y)由xy +z 2+18=0所确定，试求z =z(x,y)的极值点和极值。

显函数形式：求函数f (x,y )=x +y ?(x +y)2 无论隐、显函数，步骤如下：
（1）令z x ′=0，z y ′
=0，求出驻点(x 0,y 0)
（2）在驻点处，令A =z xx ′′、B =z xy ′′、C =z yy ′′
（3）?=B 2
AC ,若{
<0，则{A >0，极小
A <0，极大?>0，不是极值点?=0，取领域比较
当?=0时，取领域比较。

例如f (x,y )=x 4+y 4?(x +y)2，已知?=0的极值点为f (0,0)=0，则在(0,0)的任一领域x 2+y 2<δ2<1内，取(ε,?ε)，得f (ε,?ε)=2ε4>0；而f (ε,ε)=2ε2(ε?√2)(ε+√2)<0，故f (0,0)=0不是极值。

②闭区域上的最值：
算出区域内的无条件驻点（注意它会不会超出边界），再算出边界上的驻点（拉格朗日法或直接代入法），然后比较所有的点的值大小。

注：拉格朗日乘数法方程组有几种常用手段：
（1）I 型轮换对称，则x=y=z ；II 型轮换对称，立刻把各方程轮换相减，总可以分解出两个未知数之差的因式。

（2）通过式子之间互相加减，凑出所要求的目标函数表达式。

③最值的存在问题：
只要函数在有界闭区域上连续，就必定既有最大值又有最小值。

④两种判断极值点的题型：
（1）可以利用保号性判断：此类题分子中不含xy 。

例如：lim x→0,y→0
f (x,y )?f(0,0)x 3+y 3?3x 2?3y 2
=1，则由保号性知在(0,0)附近f (x,y )?f(0,0)
x 3+y 3?3x 2?3y 2>0，又可通过极
值三部曲得出(0,0)为分母F(x,y)的极大值，且F (0,0)=0，故在在(0,0)邻域分母为负，即知f (x,y )?f (0,0)<0，f (0,0)为极大值。

（2）用去极限号定理：此类题分子中含xy ，保号性判断不了正负。

例如：lim
x→0,y→0
f (x,y )?4xy x 2+y 2
=1，则f (0,0)=0，同时
f (x,y )?4xy x 2+y 2
=1+α，其中α为无穷小量。

故
f (x,y )=x 2+y 2+4xy +α(x 2+y 2)。

当y =x ，f (x,y )=6x 2+α·2x
2>0；当y =?x ，f (x,y )=?2x 2+α·2x 2<0。

可见，f (0,0)=0不是极值点。

第七章节：二重积分
基础知识：
①二重积分底面积dσ不能是负的，所以二重积分下限必须小于上限。

但二次积分没有这个要求，所以二次积分化为二重积分时一定要检查上下限。

②二重积分存在性： f (x,y )连续，或f (x,y )有界且只有有限个间断点，则二重积分存在。

③二重积分估值定理：为了求f (x,y )的最大值和最小值，常用到的放缩有：0<1。

<="" p="">
二重积分的计算：①检查是否有奇偶性、轮换性？是否能做辅助线构造奇偶性、轮换性？是否用完轮换性后可以产生奇偶性？
②计算二重积分，从化成二次积分下手，从而方便进一步运算与求导。

③命题人居心叵测，记得交换积分次序，还要小心上下限的大小关系。

④命题人居心叵测，记得进行坐标变换。

⑤极坐标下，dr 的积分上下限往往是带有θ的表达式{
极点O 在区域D 外部：∫rdr r 2
(θ)
r 1(θ)极点O 在区域D 边界：∫rdr r(θ)0极点O 在区域D 内部：∫rdr r(θ)0
⑥对于积分∫√x 2?y 2，先积y 要比先积x 简单得多，因为可以设y 为xsint ，算起来十分方便。

而先积x 就要设它为ysect ，较困难。

故我们要适当调整积分次序。

⑦对于积分∫√a 2?x 2dx a 0，这是一个半径r =a 的14圆，直接就等于1
4πa 2。

⑧对于积分区域D 和f (x,y )同表达式的积分，可以利用坐标变换而简化。

例如I =?[1
4?(x ?2√2)2
(y 2√2)2
]dxdy ，其中D ={(x,y)|(x 2√2)2
(y 2√2)2
≤1
4} 则可令X =x ?
2√2dX =dx ,Y =y 2√2
dY =dy
⑨有极限和积分同时出现，马上想到积分中值定理。

⑩由于dx 、dy 是等价的，所以两个定积分相乘，都能把其中一个定积分的dx 换成dy ，而看
成二重积分。

参数方程很难转成直角坐标，可以直接在积分限中用y(x)来表示，后面再代方程进去。

例如：区域D ={x =t ?sint
y =1?cost (0≤t ≤2π)，设它的直角坐标方程为y =y(x)(0≤x ≤2π)则?(2y +π)dxdy =∫dx ∫(2y +π)dy =∫[y 2(x )+πy (x )]2π
0y (x )
2π
0dx
=∫(1?cost)3dt +π∫(1?cost)2dt 2π
02π0 ?同定积分一样，算不出的部分可以先保留，会和其他的部分消去。

第八章节：微分方程
齐次型：
令u =y
x ? y =ux ? dy
dx =u +x du
dx
复合函数型：
dy =sin (x +y +100)dx ?dy dx
=sin (x +y +100)?令u =x +y +100?
du dx
=1+
dy dx
原方程化为du
dx =1+sinu
一阶线性微分方程：
y ′+P (x )y =q (x ) ? y =e ?∫P (x )dx [∫e ∫P(x)dx ·q (x )dx +C]注：在一阶线性微分方程中，若出现lnx ，不用加绝对值。

但是，偶次幂∫14x
dx =ln |x|1
4，就
不能去掉绝对值。

二阶线性微分方程解的结构：
①若y 1(x )、y 2(x )是y ′′+p(x)y ′+q(x)y =0线性无关的两个特解，则y (x )=C 1y 1(x )+C 2y 2(x )是方程y ′′+p(x)y ′+q(x)y =0的通解。

②若y (x )=C 1y 1(x )+C 2y 2(x )是方程y ′′+p(x)y ′+q(x)y =0的通解，y ?(x)是y ′′+p(x)y ′+q(x)y =f(x)的一个特解，则y (x )+y ?(x)是y ′′+p(x)y ′+q(x)y =f(x)的通解。

③若y 1?(x)是y ′′+p(x)y ′+q(x)y =f 1(x)的一个特解，y 2?
(x)是y ′′+p(x)y ′+q(x)y =f 2(x)
的一个特解，则y 1?(x )+y 2?
(x)是y ′′+p(x)y ′+q (x )y =f 1(x )+f 2(x)的一个特解。

④若y 1(x )、y 2(x )、y 3(x )是非齐次方程y ′′+p(x)y ′+q(x)y =f(x)的特解，则：（1）y 1(x )?y 2(x )、y 2(x )?y 3(x )是y ′′+p(x)y ′+q(x)y =0线性无关的特解。

y =C 1[y 1(x )?y 2(x )]+C 2[y 2(x )?y 3(x )]是y ′′+p(x)y ′+q(x)y =0的通解。

y =C 1[y 1(x )?y 2(x )]+C 2[y 2(x )?y 3(x )]+y 1是
y ′′+p(x)y ′+q(x)y =f(x)的通解。

（2）记y =ay 1(x )+by 2(x )+cy 3(x )，则：
它是y ′′+p(x)y ′+q(x)y =0的解的充要条件是a +b +c =0 它是y ′′+p(x)y ′+q(x)y =f(x)的解的充要条件是a +b +c =1
二阶常系数线性微分方程：
①二阶常系数齐次线性微分方程的通解：对于y ′′+py ′+qy =0 ? λ2+pλ+q =0
（1）p 2?4q >0，y =C 1e λ1x +C 2e λ2x （2）p 2?4q =0，y =(C 1+C 2x)e λx
（3）p 2?4q <0，y =α±βi ，y =e αx (C 1cosβx +C 2sinβx) ②二阶常系数齐非次线性微分方程的特解：
（1）自由项为f (x )=P n (x )e αx ，则y ?=e αx Q n (x)x k
{
e αx
照抄
Q n (x )为x 的n 次一般多项式
k ={0 (α≠λ1,α≠λ2)1 (α=λ1或α=λ2)
2 (α=λ1=λ2)
（2）自由项为f (x )=e αx [P m (x )cosβx +P n (x )sinβx]
则y ?=e αx [Q 1(x )cosβx +Q 2(x )sinβx]x
k
{
e αx
照抄
Q 1(x )、Q 2(x )分别为x 的max {m,n }次一般多式k ={0 (α±βi 不是特征根)1 (α±βi 是特征根)
常见问题与解题手段：
①一阶和二阶线性方程不仅仅能对y′和y ′′写公式，对x′和x′′同样可以，注意转换关系： dx
dy
=1
y′ ； d 2x
dy 2=?y′′
(y′)3 ②二阶方程只能含2个任意常数，因此对于分段形式的通解，要利用间断点的y 和y′相等，来把4个常数化成2个。

③有时消掉常数项，就能把方程化为齐次式解答，例如：
(4?x +y )dx ?(2?x ?y )dy =0，令x =X +3，y =Y ?1，则dY
dX =X?Y
X+Y ④遇到变限积分，别忘记它隐含一个为0的初值条件。

⑤学会凑积分pdp =1
2
dp 2、
1p 2
dp =?dp ?1。

例如，对于yp dp
dy ?p 2=y 4，可以化为dp 2
dy ?2
y p 2=2y 3。

⑥绝对值正负号问题：|y|
1
2
、|y|√2、ln|x|1
4等偶次幂，正负号无法被任意常数
C 吸收，都不
能直接去绝对值。

微分方程应用题：
①千万注意系数前的正负号。

对于冷却问题、冰融化问题、减速问题等任何↓类问题，一定要在系数k 前加负号！
②所有问题都能划归成：在t 时刻，写出变化率的微分关系式，然后解微分方程。

③牛顿第二定律的三种解法：（设阻力与速度成正比，位移为x ）（1）建立x 和v 的关系：m dv
dt =?kv ，又dv
dt =dv
dx ·dx
dt =v dv
dx ，解出x (t )=f(v)，代入初值。

对于滑行最远距离问题，再让v →0，即知x max
（2）建立v和t的关系：m dv
dt
=?kv，解出v(t)=f(t)，代入初值。

对于滑行最远距离问题，再让v(t)从0到+∞进行积分，即知x max
（3）建立x和t的关系：m d 2x
dt2=?k dx
dt
，解出通解x(t)=f(t)，代入初值。

对于滑行最远距离问题，再让t→+∞，即知x max
注：三种模型中优先使用第三种。

如果三种模型都解决不了，使用第三种并且联立各式，寻找x、v、t的相互关系。

</i<>。