2023年浙江省宁波市高考数学二模试卷+答案解析(附后)

2023年浙江省宁波市高考数学二模试卷
1. 若集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 设i为虚数单位，若复数z满足，则z的虚部为( )
A. B. C. 1 D. 2
3. 设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则
与分别为( )
A. B. C. D.
4. 已知非零向量满足，则( )
A. B.
C. D.
5. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸.若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，则平均降雨量是注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积( )
A. 寸
B. 2寸
C. 寸
D. 3寸
6. 已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值，则的值为( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 10
7. 设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点.若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数，，则的零点个数为( )
A. 2023
B. 2025
C. 2027
D. 2029
9. 根据某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温数据单位：绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是( )
A. 5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关
B. 9号的最高气温与最低气温的差值最大
C. 最高气温的众数为
D. 5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差大
10. 已知函数与及其导函数与的定义域均为R，是偶函数，
的图象关于点对称，则( )
A. B.
C. D.
11. 已知平面于点O，A，B是平面上的两个动点，且，
，则( )
A. SA与SB所成的角可能为
B. SA与OB所成的角可能为
C. SO与平面SAB所成的角可能为
D. 平面SOB与平面SAB的夹角可能为
12. 三支不同的曲线交抛物线于点，
，F为抛物线的焦点，记的面积为，下列说法正确的是( )
A. 为定值
B.
C. 若，则
D. 若，则
13. 若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则______ .
14. 写出一个半径为1，且与圆和圆均外切的圆的方程______ .
15. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以反
复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈“”.这就是数学史
上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”等
如取正整数
，根据上述运算法则得出
，共需经过8个步骤变成
简称为8步“雹程”
猜想的递推关系如下：已知数列
满足
为正整数，
若
，则m 所有可能取值的集合为______ .
16. 正四面体ABCD 的棱长为3，P 在棱AB 上，且满足
，记四面体ABCD 的
内切球为球
，四面体PBCD 的外接球为球
，则
______ .
17. 在
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
若，求
；
若
的最大角为最小角的2倍，求a 的值.
18. 盲盒，
是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性.某品牌推出2款盲盒套餐，A 款盲盒套餐包含4款不同单品，且必包含隐藏款X ；B 款盲盒套餐包含2款不同单品，有
的可能性出现隐藏款
为避免盲目购买与黄牛囤积，每人每天只能购买
1件盲盒套餐.开售第二日，销售门店对80名购买了套餐的消费者进行了问卷调查，得到如下列联表：
A 款盲盒套
餐
B 款盲盒套
餐合计年龄低于30岁183048年龄不低于30
岁221032合计40
40
80
根据
列联表，判断是否有
的把握认为A ，
B 款盲盒套餐的选择与年龄有关；
甲、
乙、丙三人每人购买1件B 款盲盒套餐，记随机变量为其中隐藏款X 的个数，求的分布列和数学期望；
某消费者在开售首日与次日分别购买了A 款盲盒套餐与B 款盲盒套餐各1件，并将6件单品全部打乱放在一起，从中随机抽取1件打开后发现为隐藏款X ，求该隐藏款来自于B 款盲盒套餐的概率.附：
，其中
，
19. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，平面平面
求证：平面ABCD；
设，，，平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为，求BC的长.
20. 已知等比数列的前n项和满足
求首项的值及的通项公式；
设，求满足的最大正整数n的值.
21. 已知双曲线E：，点与双曲线上的点的距离的最小值为
求双曲线E的方程；
直线l：与圆C：相切，且交双曲线E的左、右支于A，B
两点，交渐近线于点M，记，的面积分别为，，当
时，求直线l的方程.
22. 已知函数
讨论函数的单调性：
若，是方程的两不等实根，求证：
；
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由，得，即，
，
由，得，
，
故选：
求解不等式化简A与B，再由交集运算的定义得答案．
本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：，
则，其虚部为
故选：
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，且，则，
由正态曲线得，所以
故选：
根据题意和正态曲线即可求得，又根据正态曲线可得，进而即可求得
本题考查正态分布的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：，
，
，
，，当时，，，A错误；
，，B错误；
，，C错误；
，，，
，D正确．
故选：
对两边平方，进行数量积的运算可得出，然后可得出：
，时，，从而可判断出A的正误；
，从而可判断出B的正误；
，从而可判断出C的正误；根据
得出，从而可判断出D的正误．
本题考查了向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为18寸，下底面半径
为6寸，高为18寸．
积水深9寸，
水面半径为寸，
则盆中水的体积为立方寸
平地降雨量等于寸
故选：
由题意求得盆中水的上地面半径，代入圆台体积公式求得水的体积，除以盆口面积得答案．
本题考查柱、锥、台体的体积求法，正确理解题意是关键，属基础题．
6.【答案】A
【解析】解：函数的图象关于直线对称，
，，
即，
在上没有最小值，，，综合可得，
故选：
由题意，利用正弦函数的图象的对称性和最小值，求出的值．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：取P，Q的中点为M，连接OM，PF，
则由题意可得，，，
所以∽，所以，
因为直线PQ，PF的斜率之积为，
所以，
设，，
则有，
两式相减可得，
即，即，
即，
所以椭圆的离心率为
故选：
利用中点弦问题，结合点差法可得，即可求离心率．
本题考查了椭圆的离心率问题，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：，当时，，
，等价于，得或，
得或
由，得或，
由，得，进一步可得，
由，可得或或
依次类推，可得，，1，2，…，
又，，
可知当时，，当时，，
的增区间为，，减区间为
又，，
可得的图象如图：
由图可知，的图象与，，1，2，…，2023共有
个交点．
故选：
由，得当时，，问题等价于与直
线族，，1，2，…，2023的交点问题，再由导数研究函数的单调性，作出图象，数形结合得答案．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查化归与转化思想，训练了利用导数研究函数的单调性，属难题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A，由折线图可知，5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关，故A正确；
对于B，由折线图可知，6号的最高气温与最低气温的差值最大，故B错误；
对于C，由折线图可知，最高气温的众数为，故C正确；
对于D，5号到15号的最低气温的极差大约为，最高气温的极差大约为
，故D错误．
故选：
根据折线图逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了统计图表的应用，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：选项A，因为是偶函数，所以，所以，即A 正确；
选项B，因为的图象关于点对称，所以，
又是偶函数，所以，即B正确；
选项C，因为的图象关于点对称，所以，
两边求导得，，
令，则，
所以，即C正确；
选项D，因为是偶函数，所以，
两边求导得，，
令，则，
因为不一定是偶函数，所以不一定成立．
故选：
选项A，由偶函数的性质知，得解；
选项B，易知，结合是偶函数，得解；
选项C，由函数的对称性知，，两边求导，推出，得解；
选项D，由，两边求导，推出，而不一定是偶函数，得解．本题考查函数奇偶性的应用，导数的运算法则，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：如图，，，
，，且
对于A，当B位于线段OB上时，SA与SB所成角最小，
为，
当B位于线段BO的延长线上时，SA与SB所成角最小，为，
可得SA与SB所成的角的范围为，故A正确；
对于B，SA与平面所成角为，即SA与平面所有直线所成角的最小值为，
则SA与OB所成的角不可能为，故B错误；
对于C，由已知可得，在中，有为锐角，过O作AB所在直线的垂线OD，
连接SD，则SO在平面SAB上的射影落在SD上，即为SO与平面SAB所成的角，
可知，则，即SO与平面SAB所成的角可能为，故C正确；对于D，若平面SOB与平面SAB的夹角为，过A作，垂足为E，则平面SOB，
，又，可得，这与矛盾，故D错误．
故选：
由题意画出图形，结合已知可得，，且，然后结合线面角、二面角的定义，以及三角形中大边对大角逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间角的大小比较，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】AD
【解析】解：如图，设直线与抛物线的交于点，，则与关于x
轴对称，
设，，则，
联立，消x得，
则，
又，
则，
则，
对于A，，
，故A正确；对于B，，
因为不是定值，所以不是定值，故B错误；
对于C，设直线的倾斜角为，则，则
，
所以
，
又因，所以，所以，故C错误；
对于D，因为，所以，所以，故D正确．
故选：
设直线与抛物线的交于点，，则与关于x轴对称，设，
，则，联立，利用韦达定理求得，，进而可求得
，，结合焦半径公式即可判断A；判断是否为定值即可判断B；求出，即可
判断
本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
13.【答案】2
【解析】解：函数在区间上单调递增，
所以，
解得或2，
又，
故答案为：
利用指数函数的单调性求解．
本题主要考查了指数函数的单调性，属于基础题．
14.【答案】或
【解析】解：设圆的方程为，
由于该圆与圆和圆均外切，
故，解得或
故圆的方程为或
故答案为：或
直接利用两圆的位置关系建立方程组，进一步求出圆的方程．
本题考查的知识要点：圆的方程的求法，两点间的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：若，则，则或，
当时，则，则或，则或；
当时，则或舍，若，则，则或；
即m所有可能取值的集合为
故答案为：
根据递推公式逆向寻找结果即可．
本题考查归纳推理和数列递推公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：如图，设点H为的中心，则平面BCD，连接BH，并延长BH交CD 于点E，
则点E为CD的中点，，则四面体ABCD的内切球的球心在AH上，
且四面体PBCD的外接球的球心在AH上，设四面体ABCD的内切球的半径为r，
，，，则
，
又，
则，解得，即，
由四面体PBCD的外接球的球心在AH上，得，
记BP的中点为M，则，，
，所以，则，所以
故答案为：
设点H为的中心，四面体ABCD的内切球的球心在AH上，且四面体PBCD的外接球的球心在AH上，利用等体积法求出四面体ABCD的内切球的半径，根据比例关系求出
，得出，即可得解．
本题考查几何体的内切球，外接球问题，属于中档题．
17.【答案】解：当时，，，在中，由余弦定理，得
，
所以；
由已知，最大角为角A，最小角为角C，即，
由正弦定理得，即，
又，所以，
将，代入上式得，
解得
【解析】在中，由余弦定理求得，即可求解；
由已知，最大角为角A，最小角为角C，即，利用正弦定理和余弦定理即可求解．本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
18.【答案】解：零假设为：：A，B款盲盒套餐的选择与年龄之间无关联，
根据列联表中的数据，经计算得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即有的把握认为A，B款盲盒套餐的选择与年龄有关；
的所有可能取值为0，1，2，3，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
P
或；
设事件A：随机抽取1件打开后发现为隐藏款X，
设事件：随机抽取的1件单品来自于A款盲盒套餐，
设事件：随机抽取的1件单品来自于B款盲盒套餐，
，
故由条件概率公式可得
【解析】根据独立性检验计算，再进行判断即可；
根据二项分布的概率公式，进行计算得分布列及数学期望即可；
根据全概率公式及条件概率公式分析计算即可．
本题考查了独立性检验和离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
19.【答案】证明：在平面ABCD内任取一点不在直
线AB与直线AD上，
过G分别作AD、AB的垂线GE、GF，
已知平面平面ABCD，平面平面ABCD，
由平面与平面垂直的性质定理可得，平面PAD，
平面PAB，
则，，而，则平面
ABCD；
解：由知，平面ABCD，又，
以A为坐标原点，分别以AB、DA、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．由已知得：，，，设，
则，
，，
设平面PBC与平面PDC的一个法向量分别为，，
由，取，得；
由，取，得
平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为，
，
解得：
即BC的长为
【解析】在平面ABCD内任取一点不在直线AB与直线AD上，过G分别作AD、AB的垂线GE、GF，由已知结合平面与平面垂直的性质可得平面PAD，平面PAB，得到
，，则平面ABCD；
由知，平面ABCD，又，以A为坐标原点，分别以AB、DA、AP所在直
线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设，
则，然后分别求出平面PBC与平面PDC的一个法向量，再由平面PBC与平面PCD 的夹角的余弦值为列式求解m值，则答案可求．
本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
20.【答案】解：，
，
，，，
数列为等比数列，公比，
又，，，
；
由知，，
，
，
，
，设，
，
当时，单调递增，又，
又，
，
满足题意的最大正整数n为
【解析】先根据题意求出公比，从而可求出，从而可得的通项公式；
先根据求出，再根据题意解不等式，即可求解．
本题考查等比数列的通项公式的求解，利用数列的单调性求解不等式问题，化归转化思想，属中档题．
21.【答案】解：设是双曲线上的任意一点，
则
，
所以当时，的最小值为，所以，
得，
所以双曲线E的方程为；
由直线l：与圆C：相切得
，
由直线交双曲线的左、右支于A，B两点，设，，
联立，消y整理得，
则，所以
，
所以，即，解得，
又，则，解得或，
所以，所以
，
又点到AB的距离，故，
设，，
联立方程组，消y整理得，
则，所以，
所以，
又点O到MN的距离，故，
所以当时，有，
整理得，即，
又，则，即，解得
舍去，
所以，则，所以直线方程为
【解析】设是双曲线上的任意一点，先求得，再结合题意即可求得的值，进而即可求出双曲线E的方程；
先根据直线l与圆C相切得到，设，，再联立直线l的方程
和双曲线E的方程，求得，，根据题意求得m的取值范围，设点到AB的距离为，从而求得，再联立直线l的方程和双曲线E的渐近线的方程，求得，，设点O到MN的距离为，从而求得，再结合即可求得k的值，进而即可求得直线l的方程．
本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用，属于难题．
22.【答案】解：，
当时，，在上单调递增，
当时，令得，
令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
证明：因为，是方程的两个不等实数根，即，是方程
的两个不等实数根，
令，则，，即，是方程的两个不等实数根，令，
则，
令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
，
当时，；当时，且，
所以，即，
令，
要证明，只需证明，
设，，
则，，令，
则
，
所以在上单调递增，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以得证．
要证，只需证，
只需证，
只需证，
只需证，
因为，
令得，
即①，
令得，
即②，
①+②得，
所以，得证．
【解析】求导得，分两种情况：当时，当时，分析的符号，进而可得的单调性．
根据题意可得，是方程的两个不等实数根，令，则，
，即，是方程的两个不等实数根，令，求导分析单调性，最值，
只需与有两个交点可得，令，
要证明，只需证明，设
，，令
，求导分析单调性，可得，即可得出答案．
要证，只需证，只需证，只需证
，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．。