(完整word版)一元二次方程的基本概念及性质

一元二次方程的基本概念及性解法

1、 一般式：____________，a 为____________,b 为___________,c 为________。 即时巩固：

1．方程(m 2－1）x 2

＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程,则m 满足的条件是…（ ）

（A ）m ≠1 （B ）m ≠0 (C ）｜m ｜≠1 （D ）m ＝±1

2。方程（x –1)(2x +1）=2化成一般形式是 ，它的二次项系数是 . 2、 一元二次方程的解法

(1)直接开平方法 （也可以使用因式分解法）

①2(0)x a a =≥ 解为:________ ②2()(0)x a b b +=≥ 解为：__________

③2()(0)ax b c c +=≥ 解为：_______ ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为:_______

1．方程x 2－2＝0的解是x ＝ ；

(2）配方法①二次项的系数为“1”的时候:直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示： 2

220()()022P P x Px q x q ++=⇔+-+=示例：22233310()()1022

x x x -+=⇔--+=②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数,之后的方法同上: 22220 (0)()0 ()()022b b b ax bx c a a x x c a x a c a a a ++=≠++=⇒-⇒++=

(3)公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠,用配方法将其变形为：

222

4()24b b ac x a a -+=①当

____________时，右端是正数．方程有两个不相等的实根： ② 当____________时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根;__________

③ 当__________________时，右端是负数．因此,方程没有实根.

备注:公式法解方程的步骤:

①把方程化成一般形式，并确定出a 、b 、c

②求出2

4b ac ∆=-，并判断方程解的情况。③代公式：1,22b x a -= （4）因式分解法：提公因式分,平方公式,平方差，十字相乘法

如:20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+= 适合用提供因式，而且其中一个根为0

24120(6)(2)0x x x x --=⇔-+= 225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+=

课堂巩固：

1、若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：

(1） 2212x x +； (2） 1211x x +； （3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．

2、已知关于x 的方程221(1)104

x k x k -+++=，根据下列条件,分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； （2） 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．

3、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．

（1)是否存在实数k ,使12123(2)(2)2

x x x x --=-成立？若存在,求出k 的值; 若不存在,请您说明理由．(2） 求使

1221

2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．

4、韦达定理相关知识

（1）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两实数根21x x 和，那么=+21x x ,12*x x = 。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称____________.

（2）二次三项式的因式分解（公式法） 在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时，如果可用公式求出方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和，那么_________________．如果方程)0(02≠=++a c bx ax 无根，则此二

次三项式c bx ax ++2不能分解。

即时巩固：

（1)一元二次方程02=++q px x 的两个根是21x x 和，则=+21x x ，=•21x x 。

(2)以21x x 和为根的一元二次方程（二次项系数为1)是0)(21212=•++-x x x x x x

(3）在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，有一根为0，则=c ；有一根为1，则=++c b a ；有一根为1-,则=+-c b a ；若两根互为倒数，则=c ；若两根互为相反数,则=b 。

课后练习:

1．方程（m 2－9)x 2＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是( ）

（A ）m ≠3 （B)m ≠0 （C ）m ≠—3 (D ）m ≠±3

2．方程（3x ＋1）(x －1）＝(4x －1）（x －1）的解是（ ）

（A)x 1＝1，x 2＝0 (B)x 1＝1，x 2＝2 (C ）x 1＝2，x 2＝－1 （D ）无解

3．方程x x -=+65的解是( )

（A ）x 1＝6，x 2＝－1 （B)x ＝－6 （C ）x ＝－1 (D ）x 1＝2，x 2＝3

4．若关于x 的方程2x 2－ax ＋a －2＝0有两个相等的实根，则a 的值是（ ）

(A ）－4 （B)4 （C ）4或－4 （D ）2

5．如果关于x 的方程x 2

－2x －2

k ＝0没有实数根，那么k 的最大整数值是（ ） （A ）－3 （B)－2 (C ）－1 （D ）0

6．以 213+ 和 2

13- 为根的一个一元二次方程是（ ） （A ）02132=+-x x （B ）02132=++x x （C ）0132=+-x x （D ）02

132=-+x x 7．4x 2－5在实数范围内作因式分解，结果正确的是( )

（A ）（2x ＋5）（2x －5)（B ）（4x ＋5）（4x －5）（C ）)5)(5(-+x x （D ）)52)(52(-+x x

8．关于x 的方程x 2－（a 2－2a －15）x ＋a －1＝0的两个根互为相反数， a 是（ )

(A)5 （B)－3 (C ）5或－3 （D)1 9、关于x 的方程是（m 2–1)x 2+(m –1） x –2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程；

当m 时，方程为一元一次方程.

10、方程0322=+x x 的根是 。

11、当k = 时,方程0)1(2=+++k x k x 有一根是0。

12、若方程kx 2–6x +1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 .

13、设x 1、x 2是方程3x 2+4x –5=0的两根，则

=+2111x x .x 12+x 22= . 14、关于x 的方程2x 2+(m 2–9)x +m +1=0，当m = 时，两根互为倒数;

当m = 时,两根互为相反数.

15、若x 1 =23-是二次方程x 2+ax +1=0的一个根,则a = ,该方程的另一个根x 2 = .

16、方程x 2+2x +a –1=0有两个负根，则a 的取值范围是 。

17、若p 2–3p –5=0，q 2－3q –5=0，且p ≠q ，则=+2

211p q 。 18、分解因式:122--x x = ，2232y xy x --= 。

19、如果把一元二次方程 x 2

–3x –1=0的两根各加上1作为一个新一元二次方程的两根，

那么这个新一元二次方程是 。

20、已知方程0)1(2=+++k x k x 的两根平方和是5，则k = .

21、解下列方程:

（1)9)12(2=-x (2）42)2)(1(+=++x x x