9工程力学材料力学答案

9-1 试求图示各轴的扭矩，并指出最大扭矩值。

解：(a)
(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2截面；
(2) 取1-1截面的左段；
110 0 x
M
T M T M =-==∑
(3) 取2-2截面的右段；
220 0 0x
M
T T =-==∑
(4) 最大扭矩值：
M M T =max
(b)
(1) 求固定端的约束反力；
0 20 x
A A M
M M M M M =-+-==∑
(a)
(c)
(d)
(b)
x
T
M
(2) 取1-1截面的左段；
110 0 x
A A M
M T T M M =-+===∑
(3) 取2-2截面的右段；
220 0 x
M
M T T M =--==-∑
(4) 最大扭矩值：
max T M =
注：本题如果取1-1、2-2截面的右段，则可以不求约束力。

(c)
(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2、3-3截面；
(2) 取1-1截面的左段；
110 20 2 x
M
T T kNm =-+==∑
(3) 取2-2截面的左段；
220 210 1 x
M
T T kNm =-++==∑
(4) 取3-3截面的右段；
330 20 2 x
M
T T kNm =-==∑
M A
x
T 2
x
x
x
T 3
(5) 最大扭矩值：
max 2 T kNm =
(d)
(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2、3-3截面；
(2) 取1-1截面的左段；
110 10 1 x
M
T T kNm =+==-∑
(3) 取2-2截面的左段；
220 120 3 x
M
T T kNm =++==-∑
(4) 取3-3截面的左段；
330 1230 0x
M
T T =+-+==∑
(5) 最大扭矩值：
max 3 T kNm =
9-2 试画题9-1所示各轴的扭矩图。

解：(a)
(b)
x
x
x
T T
x
M
(c)
(d)
9-4 某传动轴，转速n =300 r/min(转/分），轮1为主动轮，输入的功率P 1=50 kW ，轮2、轮
3与轮4为从动轮，输出功率分别为P 2=10 kW ，P 3=P 4=20 kW 。

(1) 试画轴的扭矩图，并求轴的最大扭矩。

(2) 若将轮1与论3的位置对调，轴的最大扭矩变为何值，对轴的受力是否有利。

解：(1) 计算各传动轮传递的外力偶矩；
1
12349550
1591.7 318.3 636.7P M Nm M Nm M M Nm n
===== (2) 画出轴的扭矩图，并求轴的最大扭矩；
max 1273.4 T kNm =
(3) 对调论1与轮3，扭矩图为；
T
x
T
x 3kNm
4
P
T (Nm)
T (Nm) 955
max 955 T kNm =
所以对轴的受力有利。

9-8 图示空心圆截面轴，外径D =40 mm ，内径d =20 mm ，扭矩T =1 kNm ，试计算A 点处(ρA =15
mm)的扭转切应力τA ，以及横截面上的最大与最小扭转切应力。

解：(1) 计算横截面的极惯性矩；
4454() 2.35610 32
p I D d mm π
=
-=⨯
(2) 计算扭转切应力；
65
6max max 5
6min min
5
1101563.7 2.356101102084.9 2.356101101042.4 2.35610A A T MPa
I T MPa I T MPa
I ρρρρτρτρτ⨯⨯===⨯⨯⨯===⨯⨯⨯===⨯ 9-16 图示圆截面轴，AB 与BC 段的直径分别为d 1与d 2，且d 1=4d 2/3，试求轴内的最大切
应力与截面C 的转角，并画出轴表面母线的位移情况，材料的切变模量为G 。

解：(1) 画轴的扭矩图；
(2) 求最大切应力；
max 3
33212213.5114()16163
AB AB pAB T M M M
d W d d τπππ=
===
T
x
max 3
32216116
BC BC pBC T M M
W d d τππ=
== 比较得
max 3
2
16M
d τπ=
(3) 求C 截面的转角；
4
4
4222216.614132
323BC BC
AB AB C AB BC pAB pBC
T l T l Ml Ml Ml
GI GI Gd d G d G ϕϕϕππ=+=
+=+
=⎛⎫ ⎪⎝⎭
9-18 题9-16所述轴，若扭力偶矩M =1 kNm ，许用切应力[τ] =80 MPa ，单位长度的许用扭
转角[θ]=0.5 0/m ，切变模量G =80 GPa ，试确定轴径。

解：(1) 考虑轴的强度条件；
[][]6max
13
3116
max
23
3222211016 80 50.3116
11016 80 39.9116
AB BC M d mm d d M d mm d d ττππττππ⨯⨯⨯=≤≤≥⨯⨯=≤≤≥ (2) 考虑轴的刚度条件；
[]0603134118021032180 100.5 73.5 8010TAB AB
pAB M d mm GI d θθπππ⨯⨯=⨯≤⨯⨯≤≥⨯⨯ []0603234218011032180 100.5 61.8 8010TBC BC
pBC M d mm GI d θθπππ
⨯⨯=⨯≤⨯⨯≤≥⨯⨯ (3) 综合轴的强度和刚度条件，确定轴的直径；
1273.5 61.8d mm d mm ≥≥
9-19 图示两端固定的圆截面轴，直径为d ，材料的切变模量为G ，截面B 的转角为φB ，试求所加扭力偶矩M 之值。

解：(1) 受力分析，列平衡方程；
B M
0 0x
A B M
M M M =-+-=∑
(2) 求AB 、BC 段的扭矩；
AB A BC A T M T M M ==-
(3) 列补充方程，求固定端的约束反力偶；
()44
322320
0A A AB BC M M a
M a G d G d
ϕϕππ-+=+= 与平衡方程一起联合解得
21 33
A B M M M M =
= (4) 用转角公式求外力偶矩M ；
44323 64A B
AB
B M a G d M G d a
πϕϕϕπ===。