全国高考数学第3章三角函数解三角形第5节两角和与差的正弦余弦和正切公式教师用书文新人教A版

第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
———————————————————————————————— [考纲传真] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos _αsin_β； (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β
1∓tan αtan β.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos 2
α－sin 2
α＝2cos 2
α－1＝1－2sin 2
α； (3)tan 2α＝2tan α
1－tan 2
α. 3．有关公式的变形和逆用 (1)公式T (α±β)的变形：
①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． (2)公式C 2α的变形： ①sin 2
α＝12(1－cos 2α)；
②cos 2
α＝12(1＋cos 2α)．
(3)公式的逆用：
①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2
； ②sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4．辅助角公式
a sin α＋
b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( )
(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1
－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )
(4)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2
＋b 2
sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－
3
2
B.
3
2
C ．－1
2
D.12
D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝1
2
，故选D.]
3．(2016·全国卷Ⅲ)若tan θ＝－1
3，则cos 2θ＝( )
A ．－45
B ．－15
C.15
D.45
D [∵cos 2θ＝cos 2
θ－sin 2
θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2
θ
1＋tan 2
θ. 又∵tan θ＝－1
3，∴cos 2θ＝1－191＋19
＝45
.]
4．(2017·云南二次统一检测)函数 f (x )＝3sin x ＋cos x 的最小值为________．
－2 [函数f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6的最小值是－2.]
5．若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. π
3
[由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β
＝3，即tan(α＋β)＝ 3.
又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π
3
.]
(1)化简：sin 2α－2cos 2
α
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.
(2)化简：2cos 4x －2cos 2
x ＋
12
2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π
4＋x .
(1)22cos α [
原式＝2sin αcos α－2cos 2
α
2
2α－cos α
＝22cos α.]
(2)原式＝－2sin 2x cos 2
x ＋
12
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－x
＝12
－sin 2
2x
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12cos 2
2x sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π2－2x ＝1
2cos 2x .
[规律方法] 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 2．三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
[变式训练1] 化简sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2
α＝________.
12 [法一：原式＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π32＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π32
－sin 2
α
＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2
α＝1－
cos 2α2－1－cos 2α2＝1
2
. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12
.]
(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°
＝( )
A.12
B.
32
C. 3
D. 2
(2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝________. (1)C (2)1 [(1)原式＝
－－sin 20°
sin 70°
＝
＋
－sin 20°
sin 70°
＝
3cos 20°
cos 20°
＝ 3.
(2)sin 50°(1＋3tan 10°)
＝sin 50°⎝
⎛⎭
⎪⎫
1＋3·
sin 10°cos 10°
＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°
cos 10°
＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
12cos 10°＋32sin 10°cos 10°
＝
2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°
cos 10°
＝1.]
☞角度2 给值求值
(1)(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝3
5
，则sin 2α＝( )
A.7
25
B.15 C ．－15
D ．－725
(2)(2016·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π3＝ ( )
A.1＋35
8 B.1＋53
8 C.1－35
8
D.
1－53
8
(1)D (2)A [(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝3
5
，
∴sin 2α＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725. (2)由7sin α＝2cos 2α得7sin α＝2(1－2sin 2
α)，即4sin 2
α＋7sin α－2＝0，∴sin α＝－2(舍去)或sin α＝14.∵α为锐角，∴cos α＝154，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14×12＋
154×32＝1＋35
8，故选A.] ☞角度3 给值求角
已知sin α＝
55，sin(α－β)＝－1010
，α，β均为锐角，则角β等于( )
A.5π
12 B.π3 C.π4
D.π6
C [∵α，β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π
2.
又sin(α－β)＝－
1010，∴cos(α－β)＝31010
. 又sin α＝
55，∴cos α＝255
， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝
55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22
. ∴β＝π4
.]
[规律方法] 1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与
特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解．
2．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
3．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.
已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫x －6，x ∈R. 【导学号：31222124】
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．
[解] (1)由已知，有
f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π32
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －1
2cos 2x ＝
34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x －π6.
所以f (x )的最小正周期T ＝
2π
2
＝π.5分 (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π
3
，－π6上是减函数，
在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π4上是增函数，
且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.12分
[规律方法] 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
2．把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2
sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭
⎪⎫其中tan φ＝b a ，可进一步
研究函数的周期、单调性、最值与对称性．
[变式训练2] (1)(2016·山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )
A.π2 B ．π C.
3π2
D ．2π
(2)(2014·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． (1)B (2)1 [(1)法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝
⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32cos x －12sin x
＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π
2
＝π.
法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2
x －3sin 2
x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π
2
＝π.故选B.
(2)f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)． ∴f (x )max ＝1.]
[思想与方法]
三角恒等变换的三种变换角度
(1)变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系．常用的拆角、拼角方法是：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2＋β. (2)变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”，“升幂与降幂”“1”的代换等．
(3)变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等． [易错与防范]
1．三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增解的有效措施．求角的某一三角函数值时，应选择在该范围内是单调函数，若已知正切函数值，则选正
切函数；否则，若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，选正弦较
好．
2．计算形如y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]形式的函数最值时，不要将ωx ＋φ的范围和x 的范围混淆．
课时分层训练(二十一) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) 【导学号：31222125】
A.1
6 B.1
3 C.1
2
D.23
A [因为cos 2⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42
＝1＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16，故选A.]
2.
cos 85°＋sin 25°cos 30°
cos 25°
等于( )
A ．－32
B.22
C.12
D ．1
C [原式＝sin 5°＋3
2
sin 25°
cos 25°
＝
－
＋
32sin 25°cos 25°＝1
2cos 25°cos 25°＝1
2
.]
3．(2017·杭州二次质检)函数f (x )＝3sin x 2cos x
2＋4cos 2
x
2
(x ∈R)的最大值等于
( )
A ．5 B.92 C.5
2
D ．2
B [由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x 2＝3
2sin x ＋2cos x ＋2≤
94＋4＋2＝92
，故选B.]
4．(2016·福建师大附中月考)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
3
＋2α
＝( ) A ．－7
8
B ．－14
C.14
D.78
A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π
3－α
＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝－78.]
5．定义运算⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
a
b c
d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于( )
【导学号：31222126】
A.π
12 B.π6 C.π4
D.π3
D [依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0＜β＜α＜π
2，
∴0＜α－β＜π
2
，
故cos(α－β)＝1－sin
2
α－β＝
1314
， 而cos α＝17，∴sin α＝43
7，
于是sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝
437×1314－17×3314＝32.故β＝π3
.] 二、填空题
6.sin 2
50°1＋sin 10°
________. 12 [sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°＋
＝
1－
＋
＋
＝
1＋sin 10°＋＝12
.] 7．(2016·吉林东北师大附中等校联考)已知0＜θ＜π，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝17，那么sin θ＋cos θ＝________.
－15 [由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝17，解得tan θ＝－34，即sin θcos θ＝－34，∴cos θ
＝－4
3
sin θ，
∴sin 2
θ＋cos 2
θ＝sin 2
θ＋
169sin 2θ＝259
sin 2
θ＝1. ∵0＜θ＜π，∴sin θ＝35，∴cos θ＝－45，∴sin θ＋cos θ＝－1
5.]
8．化简2＋2cos 8＋21－sin 8＝________.
【导学号：31222127】
－2sin 4 [2＋2cos 8＋21－sin 8 ＝
＋
＋21－2sin 4cos 4
＝2×2cos 2
4＋2－
2
＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4)＝－2sin 4.] 三、解答题
9．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.
(1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，求cos β的值．
[解] (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π
2＜α＜π，所
以cos α＝－
3
2
.5分 (2)因为π2＜α＜π，π
2
＜β＜π，
所以－π＜－β＜－π2，故－π2＜α－β＜π
2.7分
又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝4
5
.
cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－
32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310
.12分 10．已知函数f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4cos x .
(1)求函数f (x )的定义域；
(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－4
3，求f (α)的值．
[解] (1)要使f (x )有意义，则需cos x ≠0，
∴f (x )的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ≠k π＋π
2，k ∈Z
.5分 (2)f (x )＝1－2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
22sin 2x －22cos 2x cos x
＝1＋cos 2x －sin 2x cos x ＝2cos 2
x －2sin x cos x cos x
＝2(cos x －sin x ).7分
由tan α＝－43，得sin α＝－4
3cos α.
又sin 2
α＋cos 2
α＝1，且α是第四象限角， ∴cos 2
α＝925，则cos α＝35，sin α＝－45
.
故f (α)＝2(cos α－sin α)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45＝14
5
.12分
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．若cos 2αsin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4＝－2
2，则cos α＋sin α的值为( )
【导学号：31222128】
A ．－72
B ．－12
C.1
2
D.72 C [∵cos 2αsin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4
＝
cos 2
α－sin 2
α
22α－cos α
＝－2(sin α＋cos α)＝－
22，∴sin α＋cos α＝12
.] 2．已知sin α＋sin β＝3(cos β－cos α)，α，β∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin 3α＋sin
3β＝________.
0 [由已知得：sin α＋3cos α＝3cos β－sin β， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫β＋π6，
又α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，β＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6，2π3.
故α－π6＝β＋π6，即α＝β＋π
3
.
∴sin 3α＋sin 3β＝sin(3β＋π)＋sin 3β＝0.]
3．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6.
(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．
[解] (1)f (x )＝2sin x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3
2
. 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.3分 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
解得－π12＋k π≤x ≤5π
12
＋k π，k ∈Z ，
所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z.7分
(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，1，9分 f (x )∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，1＋
32. 故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0，1＋32.12分。