数学培优竞赛新方法-第18讲 从三角形的内切圆谈起

第18讲从三角形的内切圆谈起
数学是一个非常美的领域，这是因为它的主要部分是由人类的心灵构成的，你可以自由探索自己心中的数学世界，这不是很美吗？那里有真正自由，正是这种自由才是数学美的力量所在。

-----瑟斯顿
知识纵横
和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形。

三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质：
1.三角形的内心是三角形的三内角平分线交点，它到三角形的三边距离相等；
2.圆外切四边形的两组对边之和相等，其逆亦真，是判定四边形是否有内切圆的主要方法。

当圆外切三角形、四边形是特殊三角形、四边形时，就得到隐含丰富结论的下列图形：
例题求解
【例1】如图，⊙O 是ABC Rt ∆内切圆，切点为F E D 、、，
若BE AF 、的长度是方程030132
=+-x x 的两个根，则ABC ∆的面积是
【例2】如图，以正方形ABCD 的边BC 为直径作半圆O ，过点D 作直线切半圆于点F ，交AB 于点E ，则DAE ∆与直角梯形EBCD 的周长的比值为（）A.43 B.54 C.65 D.7
6
【例3】如图，已知过原点O 和)2,2(M 的动圆⊙1O 交坐标轴于B A 、两点，设BOA ∆的内切圆⊙I 的直径为d ，求AB d +的值.
【例4】如图，在ABC Rt ∆中，其中3,4,90==︒=∠BC AC C ，其中⊙1O 、⊙2O ，...、⊙n O 为n 个相等的圆，⊙1O 与⊙2O 相外切，⊙2O 与⊙3O 相外切，……，⊙1-n O 与⊙n O 相外切，⊙1O 、⊙2O ，...、⊙n O 都与AB 相切，且⊙n O 与BC 相切，⊙1O 与AC 相切，求这些等圆的半径r （用n 表示）.
圆与梯形的珠联璧合【例5】如图，的直径cm AB 8=，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切o O 于E，交AM 于D ，BN 于C ，设x AD =，y BC =，求y 与x 的函数关系式．
对于例5，在条件不变的情况下，我们还可得出以下结论：
（1）BC AD CD +=；
（2）以AB 为直径的圆与CD 相切；
（3）以CD 为直径的圆与AB 相切；
（4）BC AD ⋅为一定值。

【例6】如图，已知直径与等边三角形ABC 的高相等的圆AB 和BC 边相切于点D 和E ，与AC 边相交于点F 和G ，求DEF ∠的度数．
分析若要运用切线的性质，则需确定圆心，这是解本题的关键。

例5图
例6图
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基础夯实
1.如图，在梯形ABCD 中，CD AB //，⊙O 为内切圆，E 为切点．若cm OA 8=，cm OD 6=，求OE 的长为。

2.如图，在平面直角坐标系中有一正方形
AOBC，反比例函数x
k y =
经过正方形AOBC 对角线的交点，半径为)224(-的圆内切于△ABC，则k 的值。

3.如图，在ABC Rt ∆中，3=AB ，4=BC ，圆心O 在AC 上，⊙O 与BC 相切于点D ，求⊙O 的半径为。

第2题第1题第3题
4.如图，一圆内切四边形ABCD ，且16=AB ，10=CD
，则四边形的周长为。

5.已知：如图，以定线段AB 为直径作半圆O ，P 为半圆上任意一点（异于A ，B ），过点P 作半圆O 的切线分别交过A ，B 两点的切线于D ，C ，AC 、BD 相交于N 点，连接ON 、NP ．下列结论：①四边形ANPD 是梯形；②NP ON =；③PC DP ⋅为定值；④P A 为
NPD ∠的平分线．其中一定成立的是（
）A．①②B．②④C．①③④D．②③④
6.如图，ABC ∆中，内切圆O 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，则以下四个结论中，错误的结论是（）
A.点O 是ODE ∆的外心
B.)(21C B AFE ∠+∠=
∠C.A BOC ∠+︒=∠2190 D.B DFE ∠-︒=∠21907.如图，已知∠ABC=90°，AB=BC．直线l 与以BC 为直径的⊙O 相切于点C．点F 是⊙O 上异于B、C 的动点，直线BF 与l 相交于点E，过点F 作AF 的垂线交直线BC 与点D．
（1）如果BE=15，CE=9，求EF 的长；
（2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；
（3）探求动点F 在什么位置时，相应的点D 位于线段BC 的延长线上，且使CD BC 3=，
请说明你的理由．第5题第4题第6题
第7题
8.如图，在直角梯ABCD 中，BC AD //，︒=∠90B ，13=AD 厘米，16=BC 厘米，5=CD 厘米，AB 为⊙O 的直径，动点P 沿AD 方向从点A 开始向点D 以1厘米/秒的速度运动，动点Q 沿CB 方向从点C 开始向点B 以2厘米/秒的速度运动，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．
（1）求⊙O 的直径；
（2）求四边形PQCD 的面积y 关于P 、Q 运动时间t 的函数关系式，并求当四边PQCD 为等腰梯形时，四边形PQCD 的面积；
（3）是否存在某一时刻t ，使直线PQ 与⊙O 相切？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
第8题
A. B. C. D.能力拓展9.已知等腰ABC
∆中，AC AB =，4=BC ，内切圆的半径为1，则腰长为．
10.如图，正方形ABCD 边长为cm 4，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则ADE ∆的面积（）
（日本数学奥林匹克竞赛题）
11.如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，A ∠、B ∠的平分线相交于点P ，又AB PE ⊥于点E ,若3,2==AC BC ，则EB AE ⋅=
12.在平面直角坐标系中，以正方形ABCD 的边AB 为弦的⊙M 与x 轴相切，若点A 的坐标为)8,0(，则圆心的坐标为M （
）A．)5,4(-B．)4,5(-C．)4,5(-D．)
5,4(-13.已知BC AC ⊥于C ，c AB b CA a BC ===,,，下列选项中的半径为
b
a a
b +的是（）第11题第10题第12题
14.如图，在矩形ABCD 中，连接AC ，如果O 为ABC ∆的内心，过O 作AD OE ⊥于E ，作CD OF ⊥于F ，则矩形OFDE 的面积与矩形的面积的比值为（）
A.21
B.32
C.43
D.不能确定
15.如图1，ABC Rt ∆两直角边的边长为2,1==BC AC ．
（1）如图2，⊙O 与ABC Rt ∆的边AB 相切于点x ，与边CB 相切于点y ．请你在图2中作出并标明⊙O 的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）P 是这个ABC Rt ∆上和其内部的动点，以P 为圆心的⊙P 与ABC Rt ∆的两条边相切．设⊙P 的面积为S ，你认为能否确定S 的最大值？若能，请你求出S 的最大值；若不能，请你说明不能确定S 的最大值的理由．
16.如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的切线，OC 平行于弦AD ，过点D 作AB DE ⊥于点E ，连接AC ，与DE 交于点P ．问EP 与PD 是否相等？证明你的结论．第14题
第16题
综合创新
17.如图，点),(n m M 在第一象限，且428342-=-+-n m m ，过M O 、两点作圆分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于B A 、两点，C 在弧AO 上，BC 交M O 、于D ，且CD CO =．
（1）求M 点的坐标；
（2）若︒=∠60BOM ，连AM ，求
OB AM 的值；（3）过D 作AB DH ⊥于H ,求AB DH 21+的值．
18.如图，圆O 是等边三角形ABC 的内切圆，与AB ，AC 两边分别切于D ，E 两点，连接DE ，点P 是劣弧DE 上的一个动点（不与D ，E 重合），过点P 作AB PM ⊥于M ，AC PN ⊥于N ，BC PK ⊥于K ，PK 交DE 于L 点.
（1）求证PN
PM PL ⋅=2（2）PN PM PK +=。