上海中学高三练习12(2021

上海中学高三数学练习试卷12

2021.12

一. 填空题

1. 已知直线l 的一个方向向量是(3,1)l =-，则l 的倾斜角大小是

2. 过点(1,3)-，倾斜角的正弦值为45

的直线的一般式方程是 3. 过点(2,1)P -作圆225x y +=的切线，则该切线的一般式方程是

4. 已知圆22:1O x y +=与圆O '关于直线5x y +=对称，则圆O '的标准方程是

5. 若向量a 、b 满足()7a b b +⋅=，且||3a =，||2b =，则向量a 在b 上的投影为

6. 在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且G 为△ABC 的重心， 若30aGA bGB cGC ++=，则A =

7. 设椭圆方程22

143

x y +=的两个焦点为1F 、2F ，点P 为椭圆上任一点，则212||||PF PF 的最大 值为

8. 在平面直角坐标系中，记曲线为点(2cos 1,2sin 1)P θθ-+()θ∈R 的轨迹，直线20x ty -+=与曲线C 交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为

9. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数k ，均有lim()k n k n a S S →∞

=-成立， 则公比q =

10. 已知向量a 、b 满足||2a =，||3b =，则||||a b a b ++-的最大值为

11. 已知函数2()|

|1

f x a x =--（1x >，0a >）的图像为曲线L ，L 与x 轴交点为A ，对L 上异于点A 的任意一点P ，总存在L 上一点Q ，使得AP ⊥AQ 且||||AP AQ =，则a = 12. 已知△ABC 是边长为2的正三角形，平面上两动点O 、P 满足123OP OA OB OC λλλ=++（1231λλλ++=，123,,0λλλ≥），若||1OP =，则OA OB ⋅的最大值为

二. 选择题

13. 入射光线在直线1:230l x y --=上，经过x 轴反射到直线2l 上，再经过y 轴反射到直线3l 上，则直线3l 的方程是（ ）

A. 230x y -+=

B. 230x y -+=

C. 230x y +-=

D. 260x y -+=

14. 四叶回旋镖可看作是四个相同的直角梯形拼成的图形，

如图所示，4AB =，2CD =，45A ︒∠=，M 为线段HG

上一动点，则AF EM ⋅的最大值为（ ）

A. 8

B. 16

C. 162

D. 32

15. 过定点(1,2)作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围为 （ ）

A. 2k >

B. 32k -<<

C. 2k >或3k <-

D. 以上都不对

16. 直线2:

12x y l a b a b +=++经过第一象限内的点11(,)P a b ，则ab 的最大值为（ ） A.

76 B. 422- C. 523- D. 632-

三. 解答题

17. 在① 2n S n n c =++；② 3516a a +=且3542S S +=；③

11n n a n a n ++=且756S =. 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.

设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列， ，11b a =，1222a a b =

. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）求数列1{

}n n b S +的前n 项和n T .

18. 如图，有一块边长为1m 的正方形区域ABCD ，在点A 处装有一个可转动的小摄像头，其能捕捉图像的角∠P AQ 始终为45°（其中点P 、Q 分别在BC 、CD 上），设PAB θ∠=，tan t θ=.

（1）用t 表示PQ 的长度，并研究△CPQ 的周长l 是否为定值？

（2）问摄像头能捕捉到正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为多少？

19. 已知平面向量中有如下两个结论：

结论1：若OA 、OB 是不共线的两个平面向量，OC OA OB λμ=+，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是1λμ+=；

结论2：若OA 、OB 是不共线的两个平面向量，OP OA OB λμ=+，若点P 在与AB 平行的直线上，则k λμ+=（k 为定值）.

将上述两个结论推广至空间向量（无需写出推广结论）解决以下问题：

已知OA 、OB 、OC 是两两垂直的单位向量，P 是空间中一点.

（1）若OP xOA yOB zOC =++且241x y z ++=，求||OP OA OB --的最小值；

（2）若OP xOA yOB zOC =++且满足0,,112x y z x y z ≤≤⎧⎨

≤++≤⎩，求动点P 的轨迹所围成的区 域的体积.

20. 已知非空集合A ⊆R ，函数()y f x =的定义域为D ，若对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t ≤+恒成立，则称函数()f x 具有A 性质．

（1）当{1}A =-，判断()2f x x =-、()61g x x =+是否具有A 性质；

（2）当(1,2)A =，22()log ()f x x x

=+，[,)x m ∈+∞，若函数具有A 性质，求正数m 的 取值范围；

（3）当{2,}A m =-，m ∈Z ，若D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m 的值.