人教版八年级数学下册教学设计-第十七章勾股定理17.2 第2课时 勾股定理的逆定理的应用(教案)

人教版八年级数学下册教学设计

第2课时勾股定理的逆定理的应用

1．进一步理解勾股定理的逆定理；(重

点)

2．灵活运用勾股定理及逆定理解决实

际问题．(难点)

一、情境导入

某港口位于东西方向的海岸线上，“远

望号”“海天号”两艘轮船同时离开港口，

各自沿一固定的方向航行，“远望号”每小

时航行16海里，“海天号”每小时航行12

海里，它们离开港口1个半小时后相距30

海里，如果知道“远望号”沿东北方向航

行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？

二、合作探究

探究点：勾股定理的逆定理的应用

【类型一】运用勾股定理的逆定理求

角度

如图，已知点P是等边△ABC内一点，P A

＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．

解析：将△BPC绕点B逆时针旋转60°

得△BEA，连接EP，判断△APE为直角三

角形，且∠APE＝90°，即可得到∠APB的

度数．

解：∵△ABC为等边三角形，∴BA＝

BC.可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得

△BEA，连EP，∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，

∠PBE＝60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE

＝PB＝4，∠BPE＝60°.在△AEP中，AE＝5，

AP＝3，PE＝4，∴AE2＝PE2＋P A2，∴△APE

为直角三角形，且∠APE＝90°，∴∠APB＝

90°＋60°＝150°.

方法总结：本题考查了等边三角形的判

定与性质以及勾股定理的逆定理．解决问题

的关键是根据题意构造△APE为直角三角

形．

【类型二】运用勾股定理的逆定理求

边长

在△ABC中，D为BC边上的点，AB＝13，

AD＝12，CD＝9，AC＝15，求BD的长．

解析：根据勾股定理的逆定理可判断出

△ACD为直角三角形，即∠ADC＝∠ADB

＝90°.在Rt△ABD中利用勾股定理可得出

BD的长度．

解：∵在△ADC中，AD＝12，CD＝9，

AC＝15，∴AC2＝AD2＋CD2，∴△ADC是

直角三角形，∠ADC＝∠ADB＝90°，

∴△ADB是直角三角形．在Rt△ADB中，

∵AD＝12，AB＝13，∴BD＝AB2－AD2＝

5，∴BD的长为5.

方法总结：解题时可先通过勾股定理的

逆定理证明一个三角形是直角三角形，然后

再进行转化，最后求解，这种方法常用在解

有公共直角或两直角互为邻补角的两个直

角三角形的图形中．

【类型三】勾股定理逆定理的实际应

用

如图，是一农民建房时挖地基的平面图，

按标准应为长方形，他在挖完后测量了一

下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC

＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖

的是否合格？

解析：把实际问题转化成数学问题来解

决，运用直角三角形的判别条件，验证它是

否为直角三角形．

解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，

∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又

∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，

∴∠ABC≠90°，∴该农民挖的不合格．

方法总结：解答此类问题，一般是根据

已知的数据先运用勾股定理的逆定理判断

一个三角形是否是直角三角形，然后再作进

一步解答．

【类型四】运用勾股定理的逆定理解

决方位角问题

如图，南北向MN 为我国领海线，即MN 以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A 艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B 密切注意．反走私艇A 和走私艇C 的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇B 测得距离C 艇12海里，若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？

解析：已知走私船的速度，求出走私船所走的路程即可得出走私船所用的时间，即可得出走私船何时能进入我国领海．解题的关键是得出走私船所走的路程，根据题意，CE 即为走私船所走的路程．由题意可知，△ABE 和△ABC 均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出．

解：设MN 与AC 相交于E ，则∠BEC ＝90°.∵AB 2＋BC 2＝52＋122＝132＝AC 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°.∵MN ⊥CE ，∴走私艇C 进入我国领海的最短距离是CE .由S △ABC ＝12AB ·BC ＝

12AC ·BE ，得BE ＝60

13海里．由CE 2＋BE 2＝122，

得CE ＝14413海里，∴14413÷13＝144

169≈0.85(小

时)＝51(分钟)，9时50分＋51分＝10时41

分．

答：走私艇C 最早在10时41分进入我国领海．

方法总结：用数学几何知识解决实际问题的关键是建立合适的数学模型，注意提炼题干中的有效信息，并转化成数学语言．

三、板书设计

1．利用勾股定理逆定理求角的度数 2．利用勾股定理逆定理求线段的长 3．利用勾股定理逆定理解决实际问题

在本节课的教学活动中，尽量给学生充足的时间和空间，让学生以平等的身份参与到学习活动中去，教师要帮助、指导学生进行实践活动，这样既锻炼了学生的实践、观察能力，又在教学中渗透了人文和探究精神，体现了“数学源于生活、寓于生活、用于生活”的教育思想．