小学奥数技巧解几何题技巧附答案

学习奥数的重要性

1. 学习奥数是一种很好的思维训练。奥数包含了发散思维、收敛思维、换元思维、反向思维、逆向思维、逻辑思维、空间思维、立体思维等二十几种思维方式。通过学习奥数，可以帮助孩子开拓思路，提高思维能力，进而有效提高分析问题和解决问题的能力，与此同时，智商水平也会得以相应的提高。

2. 学习奥数能提高逻辑思维能力。奥数是不同于且高于普通数学的数学内容，求解奥数题，大多没有现成的公式可套，但有规律可循，讲究的是个“巧〞字；不经过分析判断、逻辑推理乃至“抽丝剥茧〞，是完成不了奥数题的。所以，学习奥数对提高孩子的逻辑推理和抽象思维能力大有帮助

3. 为中学学好数理化打下根底。等到孩子上了中学，课程难度加大，特别是数理化是三门很重要的课程。如果孩子在小学阶段通过学习奥数让他的思维能力得以提高，那么对他学好数理化帮助很大。小学奥数学得好的孩子对中学阶段那点数理化大都能轻松对付。

4. 学习奥数对孩子的意志品质是一种锻炼。大局部孩子刚学奥数时都是兴趣盎然、信心百倍，但随着课程的深入，难度也相应加大，这个时候是最能考验人的：少局部孩子凭着天分，凭着在困难面前的百折不挠和愈挫愈坚的毅力，坚持了下来、学了进去、收到了成效；一局部孩子在家长的“威逼利诱〞之下，硬着头皮熬了下来；不少孩子更是或因天资缺乏、或惧怕困难、或受不了这份苦、再或是其它原因而在中途打了退堂鼓。我以为，只要能坚持学下来，不管最后取得什么样的结果，都会有所收获的，特别是对孩子的意志力是一次很好的锻炼，这对他今后的学习和生活都大有益处。

〔三〕解几何题技巧

1.等分图形

【均分整体】有些几何问题，只要把大图形均分为假设干个小图形，就能找到问题的答案。

例如，下面两图中的正方形分别内接于同一个等腰直角三角形〔内接指四个顶点全在三角形的边上〕。左图〔图4.11〕中正方形面积为72平方厘米，求右图〔4.12〕中正方形的面积。

由于左右两个三角形完全相同，我们不妨把这两个图形进行等分，看看这两

个正方形分别与同一个等腰直角三角形有什么样的关系。等分后的情况见图4.13和图4.14。

积是

图4.12的正方形面积是

【均分局部】有些几何问题，整体的均分不太方便，或不能够办到，这时可以考虑把它的局部去均分，然后从整体上去观察，往往也能使问题获得解决。

例如图4.15，在正方形ABCD中，画有甲、乙、丙三个小正方形。问：乙、丙面积之和与甲相比，哪一个大些？

大家由前面的“均分整体〞已经知道，像甲、乙这样的两个正方形，面积不是相等的。如图4.16，经过等分，正方形甲的面积等于△ABC面积的一半；正方形丙的面积等于△EDF的一半，正方形乙的面积等于梯形ACFE面积的一半。这样，一个大正方形ABCD，就划分成了三个局部：等腰直角△ABC；等腰梯形ACFE；等腰直角△EDF。其中甲、乙、丙的面积分别为各自所在图形的一半，而△EDF的面积加梯形ACFE的面积等于△ADC的面积，即等于△ABC的面积。所以，乙、丙面积之和等于甲的面积。

2.平移变换

【平移线段】有些几何问题，通过线段的上、下、左、右平移以后，能使问题很快地得到正确的解答。

例如，下面的两个图形〔图4.17和图4.18〕的周长是否相等？

单凭眼睛观察，似乎图4.18的周长比图4.17的要长一些。但把有关线段平移以后，图4.18就变成了图4.19，其中的线段，有的上移，有的左移，有的右移，它可移成一个正方形。于是，不难发现两图周长是相等的。

【平移空白或阴影局部】有些求阴影局部或空白局部面积的几何题，采用平移空白局部或平移阴影局部的方法，往往能化难为易，很快使问题求得解答。例如，计算图4.20中阴影局部的面积。

圆面积〞，然后相加，得整个阴影局部的面积。这显然是很费时费力的。但认真观察一下就会发现，图4.20左半左上部的空白局部，与右半左上部的阴影局部大小一样，只需将右半左上部的阴影局部，平移到左半左上部的空白局部，所有的阴影局部便构成一个正方形了〔如图4.21〕。所以，阴影局部的面积很快就可求得为5×5=25。

又如，一块长30米，宽24米的草地，中间有两条宽2米的走道，把草地分为四块，求草地的面积〔如图4.22〕。

这只要把丙向甲平移靠拢，把丁向乙平移靠拢，题目也就很快能解答出来了。〔具体解法略〕

3.旋转变换

【旋转成定角】例如下面的题目：

“在图4.23中，半径为8厘米的圆的内外各有一个正方形，圆内正方形顶

点都在圆周上，圆外正方形四条边与圆都只有一个接触点。问：“大正方形的面积比小正方形的面积大多少？〞

按一般方法，先求大、小正方形的面积，再求它们的差，显然是有难度的。假设将小正方形围绕圆心旋转45°，使原图变成图4.24，容易发现，小正方形的面积为大正方形面积的一半。所以，大正方形面积比小正方形的面积大〔8×2〕×〔8×2〕÷2

=16×16÷2

=128〔平方厘米〕

又如，如图4.25，求正方形内阴影局部的面积。〔单位：厘米〕

外表上看，题目也是很难解答的。但只要将两个卵叶片形的阴影局部绕正方形的中心，分别按顺时针和逆时针方向旋转90°，就得到了一个由阴影局部组成的半圆〔如图4.26〕，于是，阴影局部的面积就很容易解答出来了。〔解答略〕【开扇式旋转】有些图形相互交错，增加了解答的难度。假设像翻开折扇一样，绕着某个定点作“开扇式〞旋转，往往会使人顿开茅塞，使问题很快获得解决。例如，求图4.27的阴影局部的面积〔单位：厘米〕。假设采用正方形面积减空白局部面积的求法，

计算量是很大的。由于它是由两个形状相同的扇形交叉重叠而成的，我们不妨把右下部的扇形翻开，顺时针方向旋转90°，得到图4.28；再继续旋转，得到图4.29。在图4.29中，阴影局部面积便是半圆面积减三角形面积的差。所以，阴影局部面积是

42×3.14÷2-〔4+4〕×4×2

=25.12-16

=9.12〔平方厘米〕

又如，求图4.30阴影局部的面积〔单位：厘米〕。

将这个图从中间剪开，以o为旋转中心，将右半局部按顺时针方向转到左半部下方，便变成了图4.31。于是，阴影局部的面积便是半圆面积减去两直角边均为2厘米的一个空白等腰直角三角形面积的差。即

〔4÷2〕2×3.14÷2-2×2÷2

=6.28-2

=4.28〔平方厘米〕

4.对称变换

【将军饮马】据说古代希腊有一位将军向当时的大学者海伦请教一个问题：