江苏省常州市溧阳市光华高级中学2022年高一数学理期末试题含解析

江苏省常州市溧阳市光华高级中学2021-2022学年高一数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知□ABCD的三个顶点A（﹣1，﹣2），B（3，1），C（0，2），则顶点D的坐标为（）A．（2，﹣3）B．（﹣1，0）C．（4，5）D．（﹣4，﹣1）
参考答案：
D
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】四边形ABCD是平行四边形，可得，即可得出．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴=+=（﹣4，﹣1），
故选：D．
2. 已知函数，则的值是（）
A. －2
B. 1
C. 0
D. 2
参考答案：
B
【分析】
由分段函数的解析式，结合分段条件，代入即可求解.
【详解】由题意，函数，可得.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中熟练应用分段函数的解析式，结合分段条件，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3. 已知x与y之间的一组数据：
已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85，则m的值为（）
A．1 B．0.85 C．0.7 D．0.5
参考答案：
D
【考点】线性回归方程．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出m的值．
【解答】解：∵==， =，
∴这组数据的样本中心点是（，），
∵关于y 与x 的线性回归方程=2.1x+0.85，
∴=2.1×+0.85，解得m=0.5，
∴m 的值为0.5．
故选：D．
【点评】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目，并且题目所用的原理不复杂，是一个好题．
4. 已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】函数的图象．
【分析】先由函数f（x）的图象判断a，b的范围，再根据指数函数的图象和性质即可得到答案．【解答】解：由函数的图象可知，﹣1＜b＜0，a＞1，则g（x）=a x+b为增函数，当x=0时，y=1+b＞0，且过定点（0，1+b），
故选：C
5. （5分）下列函数中，既是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）
A．y=（）x B．y=﹣x2 C．y=﹣x3 D．y=log3（﹣x）
参考答案：
C
考点：奇偶性与单调性的综合．
专题：函数的性质及应用．
分析：运用奇偶性和单调性的定义和常见函数的性质，即可判断A，B，D不满足条件，C满足条件．
解答：对于A．函数为指数函数，图象不关于原点对称，不为奇函数，则A不满足条件；
对于B．函数为二次函数，图象关于y轴对称，则为偶函数，则B不满足条件；
对于C．函数的定义域为R，f（﹣x）=x3=﹣f（x），则为奇函数，由y′=﹣3x2≤0，则f（x）在R 上递减，则C满足条件；
对于D．函数的定义域为（﹣∞，0），不关于原点对称，不具奇偶性，则D不满足条件．
故选C．
点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，主要考查定义法和运用常见函数的性质，属于基础题和易错题．
6. 如果奇函数在区间上是增函数且最大值为5，那么在区间上是（）
A 增函数且最小值为-5
B 增函数且最大值为-5
C 减函数且最大值是-5
D 减函数且最小值是-5
参考答案：A
7. 直线的倾斜角是（）
A． B. C. D.
参考答案：
D
8. 设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于（）
A．6 B．7 C．8 D．9
参考答案：
A
9. 曲线和直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于（）
A．B．2 C．3 D．4
参考答案：
A
略
10. 已知函数，则（）
A 、 8 B、—8 C 、8或—8 D、16
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若f（x）=x2﹣，则满足f（x）＜0的x 取值范围是．
参考答案：
（0，1）
【考点】其他不等式的解法．
【分析】f （x ）＜0即为x 2＜，由于x=0不成立，则x ＞0，考虑平方法，再由幂函数的单调性，
即可得到解集．
【解答】解：f （x ）＜0即为x 2＜，
由于x=0不成立，则x ＞0， 再由两边平方得，x 4＜x ，
即为x 3＜1解得x ＜1，则0＜x ＜1， 故解集为：（0，1）． 故答案为：（0，1）．
【点评】本题考查不等式的解法，注意函数的定义域，运用函数的单调性解题，属于基础题． 12. 设
，
，若
，则实数
.
参考答案：
4
13.
已知直线a ，b 与平面
α
，β，γ，能使α⊥β的条件是________．(填序号) ①α⊥γ，β⊥γ；②α∩β＝a ，b ⊥a ，b ?β；
③a ∥α，a ∥β；④a ⊥β，a ∥α. 参考答案： ④ 14. 函数的值域为________________________．
参考答案： （0 ，+∞）
15. 已知圆O ：，由直线上一点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，若在直
线上至少存在一点P ，使
，则k 的取值范围是 .
参考答案：
16. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
参考答案：
17. 在中，若则 .学
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 证明函数 是增函数，并求函数的最大值和最小值。

参考答案：
证明：设
且
是增函数。

当x=3时， 当x=5时，
19. 如图，已知正四棱锥V ﹣ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，VM 是棱锥的高，若AC=6cm ，VC=5cm ．
（1）求正四棱锥V﹣ABCD的体积；
（2）求直线VD与底面ABCD所成角的正弦值．
参考答案：
【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】（1）利用勾股定理计算棱锥的高VM，代入棱锥的体积公式计算；（2）∠VDM是直线VD与底面ABCD所成角，在Rt△VDM中计算sin∠VDM．【解答】解：（1）∵正四棱锥V﹣ABCD中，ABCD是正方形，
∴MC=AC=BD=3（cm）．
且S正方形ABCD=AC×BD=18（cm2）．
Rt△VMC中，VM==4（cm）．
∴正四棱锥的体积为V==（cm3）．
（2）∵VM⊥平面ABCD，∴∠VDM是直线VD与底面ABCD所成角，
∵VD=VC=5，
在RT△VDM中，sin∠VDM=．
所以直线VD与底面ABCD所成角的正弦值为．20. 下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
对于是偶函数，不合题意；对于是奇函数，不合题意；对于，是奇函数，不合题意；对于，且，，即不是奇函数，又不是偶函数，合题意，故选B.
21. 已知圆C：.
（1）若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程；
（2）若圆D的半径为3，圆心在直线：上，且与圆C外切，求圆D的方程.
参考答案：
(1) 和;(2) 或
试题分析：（1）先求出圆心和半径，然后分成直线斜率存在或不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径列方程可求得直线的方程.（2）设出圆圆心坐标，利用两圆外切，连心线等于两圆半径的和列方程，可求得的值，从而求得圆的方程.
试题解析：
(1)圆化为标准方程为，所以圆的圆心为，半径为，①若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意.
②若直线的斜率存在,设直线的方程为，即.由题意知，圆心
到已知直线的距离等于半径，所以，即，解得，所以，直线方程为，综上，所求的直线方程是和.
(2) 依题意设，又已知圆的圆心为，半径为，由两圆外切，可知，
，解得或，或，所求圆的方程为或
.
22. (普通班做)如图6，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．（1）求证：EF∥平面；
（2）求证：平面⊥平面．
参考答案：
普通班：（1）证明:连结BD.
在长方体中，对角线.
又 E、F为棱AD、AB的中点，
. .
又B1D1平面，平面，
EF∥平面CB1D1.
（2）在长方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1，
AA1⊥B1D1.
又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
B1D1⊥平面CAA1C1.
又 B1D1平面CB1D1，平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
略。