无源网络的分析
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现代电路理论与设计
第２章
无源网络的分析与设计
2.1 用直接法综合无源网络
2.1 用直接法综合无源网络
2.1 用直接法综合无源网络
2.1.1
1
LC网络的输入阻抗
LC网络的输入阻抗及其零极点分布 常用的六种LC网络的输入阻抗及其零极点 分布如图所示。
LC网络
输入阻抗
零、极点的位置
(a)
L
Z sL
( s )(s ) Z (s) H 2 2 s ( s )(s )
2 2 z1 2 p1 2 2 z2 2 p2
(0 z1 p1 z 2 p 2 )
2.2 用部分分式法综合无源网络
将Z(s)的表达式展开为部分分式，并将复共轭 项组合，得：
2.2 用部分分式法综合无源网络
d. Z(s)的每一个极点对应一个元件；
e. 电容和电感的数目要么相等，要么差值为1；
f. 该网络实现了Z(s)的全部各种极点：第一个串 联电感实现了无穷大处的极点；第一个串联电 容实现了原点处的极点；第一个并联LC电路 实现了±jωp1处的极点；第n个并联LC电路实 现了±jωpn处的极点； g. 从福斯特1型网络不能看出零点的分布情况。
2.2 用部分分式法综合无源网络
也可以根据Z(∞) 值确定网络的第一个串联元 件是电感还是电容。 如果Z(∞)=0, 则网络的第一个串联元件是电容。 如果Z(∞)= ∞,则网络的第一个串联元件是电感。 (b) 如果元件的数目为偶数，则网络的串联电 感和串联电容要么都需要，要么都不需要。 如果Z(0)= ∞或Z(∞)= ∞, 则网络的串联电感 和串联电容都需要。 如果Z(0)=0或Z(∞)=0, 则网络的串联电感和 串联电容都不需要。
k0 k1s k2 s Z ( s) Hs 2 2 2 s s p1 s 2 p 2 kn s Z1 Z 2 Z3 2 2 s pn Zn (2 2 2)
K的求法如下： k0 sZ (s) s 0 s 2 2 pi ki Z ( s ) s s
可得如下关系：
C1 C2 8 C1C2 3
1 4 L2 (C1 C2 )
1 9 L2C2
求得各元件值为：
27 32 81 C2 120 120 L2 729 C1
2.1 用直接法综合无源网络 2.1.2 RC网络的输入阻抗
1 RC网络的输入阻抗及其零极点位置 八种常用的RC网络的输入阻抗及其零极点 位置如图所示.
(3) LC福斯特1型网络元件数目的确定
a. 福斯特1型网络元件数目由网络阻抗函数Z(s)的 极点总数目(包括无穷大处极点的数目)确定。 b. 串联电感和串联电容的确定 （a）如果元件的数目(极点的数目)为奇数，就 需要一个串联电感或串联电容。 具体可以根据Z(0)的值是零还是无穷大来确定 网络的第一个串联元件是电感还是电容。 如果Z(0)=0, 则网络的第一个串联元件是电感。 如果Z(0)= ∞,则网络第一个串联元件是电容。
2.2 用部分分式法综合无源网络
c.确定LC并联网络的个数 LC并联网络的个数根据阻抗函数共轭极点的 对数来确定。
2.2 用部分分式法综合无源网络
利用部分分式法综合实现的网络称为福斯特网 络。其中， 只包含电感和电容元件的福斯特网络称为LC福 斯特网络。 只包含电阻和电容元件的福斯特网络称为RC福 斯特网络。 这些网络都是通过网络的端口特性进行设计的。 网络的端口特性可以用阻抗表示，也可以用导纳 表示。根据阻抗表示式实现的福斯特网络称为福 斯特1型网络，根据导纳表示式实现的福斯特网络 称为福斯特2型网络。
2.2 用部分分式法综合无源网络 1/k H 1/k0
Z
1
1/k
2
1/k
n
K1ω2p
1
K2ω2p K3ω2p
2 3
ＬC福斯特1型网络
1/k1 Y H 1/k0 K1/ω2p
1/k2
1/k
n
K2/ω2p
2
Kn/ω2p
n
ＬC福斯特2型网络
1
2.2 用部分分式法综合无源网络
2.2.1ＬC福斯特1型网络 (1)ＬC福斯特1型网络的结构 为了实现福斯特1型网络，考虑LC网络阻抗最 常用的表达式：
H (s j 2)(s j 2) (s 2 4) Z ( s) H s(s j3)(s j3) s(s 2 9)
2.1 用直接法综合无源网络
(2) 求H: 令s=jω,沿虚轴计算Z(s):
4 4 Z ( j ) H j[ H 〕 2 2 j (9 ) (9 )
2
p1
2.2 用部分分式法综合无源网络
1/k1 其中，
p1 导纳Y3由两个导纳组成，第一个是导纳为 1/k1法拉的电容，第二个是导纳为k1/ω2p1亨利 的电感。电容和电感并联构成阻抗Z3。 式（2-2-2）的其它各项也可以由电容和电感 并联构成。 式（2-2-2）的完全实现电路如图2-2-1所示。
零点 : s j
1 L2 (C1 C2 ) 1 L2C2
极点 : s 0, s j
2.1 用直接法综合无源网络 LC网络输入阻抗Z(s)零点和极点的特点：
• LC网络输入阻抗的零点和极点都在虚轴上、是简 单的; • 零点和极点是交替出现的, 不会有两个零点或两个 极点在虚轴上相邻的情况； • 原点处既可能出现零点，也可能出现极点； • LC网络输入阻抗的区别在于零点和极点的数目以 及在虚轴上的位置； • 一对共轭复频率±jωo共同形成(s2+ωo2)项。因此， 如果Z(s)有一个极点在原点处，则Z(s)的表达式的 形式为：
2.2 用部分分式法综合无源网络
LC福斯特1型网络及其各元件的功能
1/k1 H 1/k0 1/k2 1/kn
Z
实现无穷大 处的极点 z(∞)=∞
K1/ω2p1
实现原点处 的极点 z(∞)=∞
K2/ω2p2
K3/ω2p3
实现±jω pi处 的共轭复数点 极点z(∞)=∞
2.2 用部分分式法综合无源网络
2.1 用直接法综合无源网络
R1 (g) C2 C1
s 2 s(
R2
Z R1
1 C C 1 1 2) R2C2 R1C1C2 R1 R2C1C2 1 s(s ) R2C2
C1 (h) C2
R1
R2
C1 C2 1 1 1 [s ( )] CC C1 C2 R1 R2 Z 1 2 1 1 (s )(s ) R1C1 R2C2
s(s z1 )(s z 2 ) Z ( s) H 2 ( s 2 p1 )(s 2 2 p 2 )
2 2 2 2
零
极
零
极
零
(0 p1 z1 p 2 z 2 )
也就是说，如果最高的截止频率是一对极点，则分母 多项式的次数比分子多项式的次数高。如果最高的截止 频率是一对零点，则分母多项式的次数比分子多项式的 次数低。 当s很大或很小时，Z(s)是如下两种情况中的一个：
(s z1 )(s z 2 ) Z ( s) H 2 s(s 2 p1 )(s 2 2 p 2 )
2 2 2 2
极
零
极
零
极
(0 z1 p1 z 2 p 2 )
2.1 用直接法综合无源网络
• 如果Z(s)有一个零点在原点处，则Z(s)的表达式的 形式为：
1 LC
1 LC
L (d) C
z L(
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s2 s
(e) C2
L1 L2
s[ s 2 Z L1
1 1 1 ( )] C2 L1 L2 1 s2 L2C2
(f) C2
C1 L2
1 s2 C C2 L2 (C1 C2 ) Z 1 [ ] 1 C1C2 2 s( s ) L2C2
Z ( s) sL or 1 Z (s) sC
也就是说，在频率接近零或无穷大时，输入阻抗相当 于一个电感或电容。
2.1 用直接法综合无源网络 例2.2 已知一个网络的输 入电抗变化曲线如图2-1-2 所示。求其阻抗表达式Z(s).
Z(ω) 12 3 -1
ω
解：(1)从电抗曲线可知，Z(s)的极点为s=0 和s=±j3( ω=3,则ｓ＝ｊω＝±j3) ，零点为 s=±j2 和s=∞。由此可写出Z(s)的表达式：
2.2 用部分分式法综合无源网络
（2）福斯特1型网络的特点 a. 凡是归一化系数为正、在虚轴上具有相互交 替的简单零点和极点的有理函数所表示的输 入阻抗都可以用图2-2-1所示的福斯特1型网络 实现； b. 第一个电感使Z(∞)=∞ ,即Z(s)在s=∞时为无穷 大。如果没有它，Z(∞)=0。这是因为在这种 情况下，两个输入端之间由多个电容连通； c. 第一个电容使Z(0)=∞,即Z(s)在s=0时为无穷大。 如果没有它，Z(0)=0。这是因为在这种情况 下，两个输入端之间有多个电感连通；
零点: s 0
(b)
C
Z
1 sC
极点: s 0
(c)
C
L
z
1 s ( ) C s2 1 LC
1 LC )
零点: s 0 极点: s j
零点 : s j 极点 : s 0
零点 : s 0, s j 极点 : s j 1 L2C2 1 1 1 ( ) C2 L1 L2
2
1 1 Y3 s ( ) k1 s k1
Y3
K1/ω2p1
2.2 用部分分式法综合无源网络
1/k1 H 1/k0 1/k2 1/kn
Z
K1/ω2p1
K2/ω2p2 K3/ω2p3
图2-2-1 福斯特1型网络的实现
k0 kn s k1s k2 s Z ( s) Hs 2 2 2 2 2 2 s s p1 s p 2 s pn
2.1 用直接法综合无源网络 RC网络输入阻抗Z(s)的特点： • • • • 零点一定在负实轴轴上，是简单的。 极点在负实轴轴上或原点处，是简单的。 零点和极点是交替出现的； 靠近原点处的第一个临界频率是极点。
2.2 用部分分式法综合无源网络
2.2 用部分分式法综合无源网络
2.2 用部分分式法综合无源网络
零点 : s j
1 L2 (C1 C2 )
1 极点 : s 0, s j L2C2
比较
8 (s 2 4) Z ( s) 3 s(s 2 9)
和
1 C C2 L2 (C1 C2 ) Z ( s) 1 [ ] 1 C1C2 s( s 2 ) L2C2 s2
2 2
从电抗曲线可知,当ω=1时，Z(ω)=-1.于是可 求得： H=8/3 (3)所求的阻抗函数为：
8 (s 4) Z ( s) 2 3 s(s 9)
2
2.1 用直接法综合无源网络
可用如下电路实现：
C1 C2
1 C C L2 (C1 C2 ) Z 1 2[ ] C1C2 s(s 2 1 ) L2C2 s2
RC网络
输入阻抗
零、极点的位置 无零点、无极 点
(a)
R
ZR
(b)
C
Z
1 sC
极点: s 0,
1 RC
(c)
C
R
z
1 1 C s 1 RC
1 ) RC
极点 : s
R (d) C
z
R( s s
零点 : s 极点 : s 0
1 RC
(e) C2
R1 R2
1 1 1 s ( ) C2 R1 R2 Z R1 1 s R2C2
零点 : s 极点 : s
零点 : s
1 1 1 ( ) C2 R1 R2 1 R2C2
1 R2 (C1 C2 ) 1 R2C2
(f) C2
C1 R2
1 s C C2 R2 (C1 C2 ) Z 1 [ ] 1 C1C2 s( s ) R2C2
极点 : s 0, s
2
2
pi
(i 1,2,, n)
2.2 用部分分式法综合无源网络
由上式可知：
第一项:Z1=Hs, 可以用一个电感量为H亨的电 感实现： H 第二项:Z2=k0/s, 可以用一个电容量为1/k0法拉 的电容实现： 1/k0 第三项：
k1s 1 Z3 2 2 s p1 s( 1 ) 1 k1 k1 s 1 Y3
现代电路理论与设计
第２章
无源网络的分析与设计
2.1 用直接法综合无源网络
2.1 用直接法综合无源网络
2.1 用直接法综合无源网络
2.1.1
1
LC网络的输入阻抗
LC网络的输入阻抗及其零极点分布 常用的六种LC网络的输入阻抗及其零极点 分布如图所示。
LC网络
输入阻抗
零、极点的位置
(a)
L
Z sL
( s )(s ) Z (s) H 2 2 s ( s )(s )
2 2 z1 2 p1 2 2 z2 2 p2
(0 z1 p1 z 2 p 2 )
2.2 用部分分式法综合无源网络
将Z(s)的表达式展开为部分分式，并将复共轭 项组合，得：
2.2 用部分分式法综合无源网络
d. Z(s)的每一个极点对应一个元件；
e. 电容和电感的数目要么相等，要么差值为1；
f. 该网络实现了Z(s)的全部各种极点：第一个串 联电感实现了无穷大处的极点；第一个串联电 容实现了原点处的极点；第一个并联LC电路 实现了±jωp1处的极点；第n个并联LC电路实 现了±jωpn处的极点； g. 从福斯特1型网络不能看出零点的分布情况。
2.2 用部分分式法综合无源网络
也可以根据Z(∞) 值确定网络的第一个串联元 件是电感还是电容。 如果Z(∞)=0, 则网络的第一个串联元件是电容。 如果Z(∞)= ∞,则网络的第一个串联元件是电感。 (b) 如果元件的数目为偶数，则网络的串联电 感和串联电容要么都需要，要么都不需要。 如果Z(0)= ∞或Z(∞)= ∞, 则网络的串联电感 和串联电容都需要。 如果Z(0)=0或Z(∞)=0, 则网络的串联电感和 串联电容都不需要。
k0 k1s k2 s Z ( s) Hs 2 2 2 s s p1 s 2 p 2 kn s Z1 Z 2 Z3 2 2 s pn Zn (2 2 2)
K的求法如下： k0 sZ (s) s 0 s 2 2 pi ki Z ( s ) s s
可得如下关系：
C1 C2 8 C1C2 3
1 4 L2 (C1 C2 )
1 9 L2C2
求得各元件值为：
27 32 81 C2 120 120 L2 729 C1
2.1 用直接法综合无源网络 2.1.2 RC网络的输入阻抗
1 RC网络的输入阻抗及其零极点位置 八种常用的RC网络的输入阻抗及其零极点 位置如图所示.
(3) LC福斯特1型网络元件数目的确定
a. 福斯特1型网络元件数目由网络阻抗函数Z(s)的 极点总数目(包括无穷大处极点的数目)确定。 b. 串联电感和串联电容的确定 （a）如果元件的数目(极点的数目)为奇数，就 需要一个串联电感或串联电容。 具体可以根据Z(0)的值是零还是无穷大来确定 网络的第一个串联元件是电感还是电容。 如果Z(0)=0, 则网络的第一个串联元件是电感。 如果Z(0)= ∞,则网络第一个串联元件是电容。
2.2 用部分分式法综合无源网络
c.确定LC并联网络的个数 LC并联网络的个数根据阻抗函数共轭极点的 对数来确定。
2.2 用部分分式法综合无源网络
利用部分分式法综合实现的网络称为福斯特网 络。其中， 只包含电感和电容元件的福斯特网络称为LC福 斯特网络。 只包含电阻和电容元件的福斯特网络称为RC福 斯特网络。 这些网络都是通过网络的端口特性进行设计的。 网络的端口特性可以用阻抗表示，也可以用导纳 表示。根据阻抗表示式实现的福斯特网络称为福 斯特1型网络，根据导纳表示式实现的福斯特网络 称为福斯特2型网络。
2.2 用部分分式法综合无源网络 1/k H 1/k0
Z
1
1/k
2
1/k
n
K1ω2p
1
K2ω2p K3ω2p
2 3
ＬC福斯特1型网络
1/k1 Y H 1/k0 K1/ω2p
1/k2
1/k
n
K2/ω2p
2
Kn/ω2p
n
ＬC福斯特2型网络
1
2.2 用部分分式法综合无源网络
2.2.1ＬC福斯特1型网络 (1)ＬC福斯特1型网络的结构 为了实现福斯特1型网络，考虑LC网络阻抗最 常用的表达式：
H (s j 2)(s j 2) (s 2 4) Z ( s) H s(s j3)(s j3) s(s 2 9)
2.1 用直接法综合无源网络
(2) 求H: 令s=jω,沿虚轴计算Z(s):
4 4 Z ( j ) H j[ H 〕 2 2 j (9 ) (9 )
2
p1
2.2 用部分分式法综合无源网络
1/k1 其中，
p1 导纳Y3由两个导纳组成，第一个是导纳为 1/k1法拉的电容，第二个是导纳为k1/ω2p1亨利 的电感。电容和电感并联构成阻抗Z3。 式（2-2-2）的其它各项也可以由电容和电感 并联构成。 式（2-2-2）的完全实现电路如图2-2-1所示。
零点 : s j
1 L2 (C1 C2 ) 1 L2C2
极点 : s 0, s j
2.1 用直接法综合无源网络 LC网络输入阻抗Z(s)零点和极点的特点：
• LC网络输入阻抗的零点和极点都在虚轴上、是简 单的; • 零点和极点是交替出现的, 不会有两个零点或两个 极点在虚轴上相邻的情况； • 原点处既可能出现零点，也可能出现极点； • LC网络输入阻抗的区别在于零点和极点的数目以 及在虚轴上的位置； • 一对共轭复频率±jωo共同形成(s2+ωo2)项。因此， 如果Z(s)有一个极点在原点处，则Z(s)的表达式的 形式为：
2.2 用部分分式法综合无源网络
LC福斯特1型网络及其各元件的功能
1/k1 H 1/k0 1/k2 1/kn
Z
实现无穷大 处的极点 z(∞)=∞
K1/ω2p1
实现原点处 的极点 z(∞)=∞
K2/ω2p2
K3/ω2p3
实现±jω pi处 的共轭复数点 极点z(∞)=∞
2.2 用部分分式法综合无源网络
2.1 用直接法综合无源网络
R1 (g) C2 C1
s 2 s(
R2
Z R1
1 C C 1 1 2) R2C2 R1C1C2 R1 R2C1C2 1 s(s ) R2C2
C1 (h) C2
R1
R2
C1 C2 1 1 1 [s ( )] CC C1 C2 R1 R2 Z 1 2 1 1 (s )(s ) R1C1 R2C2
s(s z1 )(s z 2 ) Z ( s) H 2 ( s 2 p1 )(s 2 2 p 2 )
2 2 2 2
零
极
零
极
零
(0 p1 z1 p 2 z 2 )
也就是说，如果最高的截止频率是一对极点，则分母 多项式的次数比分子多项式的次数高。如果最高的截止 频率是一对零点，则分母多项式的次数比分子多项式的 次数低。 当s很大或很小时，Z(s)是如下两种情况中的一个：
(s z1 )(s z 2 ) Z ( s) H 2 s(s 2 p1 )(s 2 2 p 2 )
2 2 2 2
极
零
极
零
极
(0 z1 p1 z 2 p 2 )
2.1 用直接法综合无源网络
• 如果Z(s)有一个零点在原点处，则Z(s)的表达式的 形式为：
1 LC
1 LC
L (d) C
z L(
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s2 s
(e) C2
L1 L2
s[ s 2 Z L1
1 1 1 ( )] C2 L1 L2 1 s2 L2C2
(f) C2
C1 L2
1 s2 C C2 L2 (C1 C2 ) Z 1 [ ] 1 C1C2 2 s( s ) L2C2
Z ( s) sL or 1 Z (s) sC
也就是说，在频率接近零或无穷大时，输入阻抗相当 于一个电感或电容。
2.1 用直接法综合无源网络 例2.2 已知一个网络的输 入电抗变化曲线如图2-1-2 所示。求其阻抗表达式Z(s).
Z(ω) 12 3 -1
ω
解：(1)从电抗曲线可知，Z(s)的极点为s=0 和s=±j3( ω=3,则ｓ＝ｊω＝±j3) ，零点为 s=±j2 和s=∞。由此可写出Z(s)的表达式：
2.2 用部分分式法综合无源网络
（2）福斯特1型网络的特点 a. 凡是归一化系数为正、在虚轴上具有相互交 替的简单零点和极点的有理函数所表示的输 入阻抗都可以用图2-2-1所示的福斯特1型网络 实现； b. 第一个电感使Z(∞)=∞ ,即Z(s)在s=∞时为无穷 大。如果没有它，Z(∞)=0。这是因为在这种 情况下，两个输入端之间由多个电容连通； c. 第一个电容使Z(0)=∞,即Z(s)在s=0时为无穷大。 如果没有它，Z(0)=0。这是因为在这种情况 下，两个输入端之间有多个电感连通；
零点: s 0
(b)
C
Z
1 sC
极点: s 0
(c)
C
L
z
1 s ( ) C s2 1 LC
1 LC )
零点: s 0 极点: s j
零点 : s j 极点 : s 0
零点 : s 0, s j 极点 : s j 1 L2C2 1 1 1 ( ) C2 L1 L2
2
1 1 Y3 s ( ) k1 s k1
Y3
K1/ω2p1
2.2 用部分分式法综合无源网络
1/k1 H 1/k0 1/k2 1/kn
Z
K1/ω2p1
K2/ω2p2 K3/ω2p3
图2-2-1 福斯特1型网络的实现
k0 kn s k1s k2 s Z ( s) Hs 2 2 2 2 2 2 s s p1 s p 2 s pn
2.1 用直接法综合无源网络 RC网络输入阻抗Z(s)的特点： • • • • 零点一定在负实轴轴上，是简单的。 极点在负实轴轴上或原点处，是简单的。 零点和极点是交替出现的； 靠近原点处的第一个临界频率是极点。
2.2 用部分分式法综合无源网络
2.2 用部分分式法综合无源网络
2.2 用部分分式法综合无源网络
零点 : s j
1 L2 (C1 C2 )
1 极点 : s 0, s j L2C2
比较
8 (s 2 4) Z ( s) 3 s(s 2 9)
和
1 C C2 L2 (C1 C2 ) Z ( s) 1 [ ] 1 C1C2 s( s 2 ) L2C2 s2
2 2
从电抗曲线可知,当ω=1时，Z(ω)=-1.于是可 求得： H=8/3 (3)所求的阻抗函数为：
8 (s 4) Z ( s) 2 3 s(s 9)
2
2.1 用直接法综合无源网络
可用如下电路实现：
C1 C2
1 C C L2 (C1 C2 ) Z 1 2[ ] C1C2 s(s 2 1 ) L2C2 s2
RC网络
输入阻抗
零、极点的位置 无零点、无极 点
(a)
R
ZR
(b)
C
Z
1 sC
极点: s 0,
1 RC
(c)
C
R
z
1 1 C s 1 RC
1 ) RC
极点 : s
R (d) C
z
R( s s
零点 : s 极点 : s 0
1 RC
(e) C2
R1 R2
1 1 1 s ( ) C2 R1 R2 Z R1 1 s R2C2
零点 : s 极点 : s
零点 : s
1 1 1 ( ) C2 R1 R2 1 R2C2
1 R2 (C1 C2 ) 1 R2C2
(f) C2
C1 R2
1 s C C2 R2 (C1 C2 ) Z 1 [ ] 1 C1C2 s( s ) R2C2
极点 : s 0, s
2
2
pi
(i 1,2,, n)
2.2 用部分分式法综合无源网络
由上式可知：
第一项:Z1=Hs, 可以用一个电感量为H亨的电 感实现： H 第二项:Z2=k0/s, 可以用一个电容量为1/k0法拉 的电容实现： 1/k0 第三项：
k1s 1 Z3 2 2 s p1 s( 1 ) 1 k1 k1 s 1 Y3