椭圆历年高考题(选填题)

椭圆历年高考真题（选填题）
1.(2018·全国卷I高考文科·T4)已知椭圆C:x2
x2+x2
4
=1的一个核心为(2,0),则C的离心率为()
A.1
3B.1
2
C.√2
2
D.2√2
3
2.(2018·全国卷II高考理科·T12)已知F1,F2是椭圆C:x2
x2+x2
x2
=1(a>b>0)的左,右核心,A是C的左极点,点P
在过A且斜率为√3
6
的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,那么C的离心率为()
A.2
3B.1
2
C.1
3
D.1
4
3.(2018·全国卷II高考文科·T11)已知F1,F2是椭圆C的两个核心,P是C上的一点,假设PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()
√3 2√3C.√3-1
2
√3
4.(2017·全国乙卷文科·T12)设A,B是椭圆C:
2
3
x
+
2
y
m
=1长轴的两个端点,假设C上存在点M知足
∠AMB=120°,那么m的取值范围是()
A.(0,1]∪[9,+∞)
B.(0,∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞)
D.(0, ∪[4,+∞)
5.(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:
2
2
x
a
+
2
2
y
b
=1(a>b>0)的左、右极点别离为A1,A2,且以线段A1A2
为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,那么C的离心率为()
A.
B.
C. D.
1
3
6.(2017·全国丙卷·文科·T11)同(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:
2
2
x
a+
2
2
y
b=1(a>b>0)的左、右极点别
离为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,那么C的离心率为()
A.
3
B.
3
C.
3
D.
1
3
7.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l通过椭圆的一个极点和一个核心,假设椭圆中心到l的距离为其短轴长的,那么该椭圆的离心率为()
A.1
3
B.
1
2
C.
2
3
D.
3
4
8.(2016·全国卷3·理科·T11)已知O为坐标原点,F是椭圆C:
22
22
x y
a b
=1(a>b>0)的左核心,A,B别离为
C的左,右极点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.假设直线BM通过OE的中点,那么C的离心率为()
A.1
3
B.
1
2
C.
2
3
D.
3
4
9.(2016·江苏高考T10)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆
22
22
x y
+=1
a b
(a>b>0)的右核心,直线
y=b
2
与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,那么该椭圆的离心率是.
10.(2015·全国1卷理科·T14)一个圆通过椭圆x2
16+y2
4
=1的三个极点，且圆心在x轴上，那么该圆的
标准方程为 .
椭圆历年高考真题（选填题）参考答案
1.(2018·全国卷I高考文科·T4)已知椭圆C:x2
a2+y2
4
=1的一个核心为(2,0),那么C的离心率为()
A.1
3B.1
2
C.√2
2
D.2√2
3
【解析】选C.因为椭圆的一个核心为(2,0),那么c=2,
因此a2=b2+c2=8,a=2√2,因此离心率e=√2
2
.
2.(2018·全国卷II高考理科·T12)已知F1,F2是椭圆C:x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左,右核心,A是C的左极点,
点P在过A且斜率为√3
6
的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,那么C的离心率为()
A.2
3B.1
2
C.1
3
D.1
4
【命题用意】此题考查了椭圆的标准方程和椭圆的性质的应用和数学运算能力. 【解析】选D .由题意直线AP 的方程为y =√3
6(x +a ),△PF 1F 2为等腰三角形,
∠F 1F 2P =120°,因此PF 2=2c ,∠PF 2x =60°,故P (2c ,√3c ),代入y =√3
6
(x +a )得,√36
(2c +a )=√3c ,解得e =c a =1
4
.
3.(2018·全国卷II 高考文科·T11)已知F 1,F 2是椭圆C 的两个核心,P 是C 上的一点,假设PF 1⊥PF 2,且∠PF 2F 1=60°,那么C 的离心率为 ( )
√32
√3 C .
√3-1
2
√3
【命题用意】此题考查椭圆的概念和性质的应用,考查了学生的运算和转化能力. 【解析】选D .在直角三角形PF 1F 2中,F 1F 2=2c ,∠PF 2F 1=60°, 因此PF 1=√3c ,PF 2=c ,
又PF 1+PF 2=2a ,因此√3c +c =2a , 解得e =c
a =
3+1
=√3-1.
4.(2017·全国乙卷文科·T12)设A,B 是椭圆C:23x +2y m
=1长轴的两个端点,假设C 上存在点M 知
足∠AMB=120°,那么m 的取值范围是( )
A.(0,1]∪[9,+∞)
B.(0,∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞)
D.(0,
∪[4,+∞)
【命题用意】此题要紧考查椭圆的性质,利用椭圆的性质解决相关问题.
【解析】选A.当0<m<3时,核心在x 轴上,要使C 上存在点M 知足∠AMB=120°,那么
a
b
≥tan60°=
即
得0<m≤1;当m>3时,核心在y 轴上,要使C 上存在点M 知足∠AMB=120°,那么
a b
≥tan60°=即
得m≥9,故m 的取值范围为(0,1]∪[9,+∞),应选A. 5.(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C: 22x a
+2
2y b =1(a>b>0)的左、右极点别离为A 1,A 2,且以线段
A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,那么C的离心率为()
A.
63 B. 33 C.2
3
D.13
【命题用意】此题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力.
【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,因此圆心到直线的距离d=
2
2
a b
+=a,整理得a 2=3b 2,
即a 2=3(a 2-c 2)⇒2a 2=3c 2,即
22
c a =23
,e=c a =6
3. 6.(2017·全国丙卷·文科·T11)同(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:
22
x a +22
y
b
=1(a>b>0)的左、右极
点别离为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,那么C 的离心率为 ( )
A.
6 B.3 C.2
D.
13 【命题用意】此题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力.
【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,因此圆心到直线的距离d=
2
2
a
b
+=a,整理为a 2=3b 2,即
a 2=3(a 2-c 2)⇒2a 2=3c 2,即
2
2
c a
=23,e=c a =6
.
7.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l 通过椭圆的一个极点和一个核心,假设椭圆中心到l 的距离为其短轴长的,那么该椭圆的离心率为 ( ) A.1
3
B .12
C .23
D .34
【解析】选B.设椭圆的标准方程为22x a +2
2y b =1(a>b>0),右核心F(c,0),那么直线l 的方程为x c +y b =1,即
bx+cy-bc=0,由题意可知
22
bc b c -+=12b,又a 2=b 2+c 2,得b 2c 2=14
b 2a 2,
因此e=c
a
=
1
2
.
8.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T12)与(2016·全国卷3·理科·T11)相同
已知O为坐标原点,F是椭圆C:
22
22
x y
a b
+=1(a>b>0)的左核心,A,B别离为C的左,
右极点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.假设直线BM通过OE的中点,那么C的离心率为()
A.
1
3
B.
1
2
C.
2
3
D.
3
4
【解题指南】点M是直线AE和直线BM的交点,点M的横坐标和左核心相同,进而找到a,b,c的联系.
【解析】选A.由题意可知直线AE的斜率存在,设为k,直线AE的方程为y=k()
x a
+,令x=0可得点E 坐标为()
0,ka,因此OE的中点H坐标为
ka
0,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
,又右极点B(a,0),因此可得直线BM的斜率为-
k
2
,可设其方程为y=-
k
2
x+
k
2
a,联立
()
y k x a,
k k
y x a,
22
⎧=+
⎪
⎨
=-+
⎪
⎩
可得点M横坐标为-
a
3
,又点M的横坐标和左核心相同,因此-
a
3
=-c,因此e=
1
3
.
9.(2016·江苏高考T10)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆
22
22
x y
+=1
a b
(a>b>0)的右核心,直线y=
b
2
与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,那么该椭圆的离心率是.
【解题指南】利用k BF·k CF=-1计算得出离心率的值.
【解析】将直线y=
2
b
与椭圆的方程联立得B
3b
2
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
,C
3b
2
⎫
⎪⎪
⎝⎭
,F(c,0),
那么k BF=
b
2
3
a c
--
CF
=
b
2
3
a c
-
因为∠BFC=90°,因此k BF·k CF=
b
2
3
a c
2
--
×
b
2
3
a c
2
-
整理得b2=3a2-4c2,因此a2-c2=3a2-4c2,
即3c 2=2a 2⇒e=
c a =3
答案10.(2015·全国1卷理科·T14)（14）一个圆通过椭圆
x 216
+
y 24
=1的三个极点，且圆心在x 轴
上，那么该圆的标准方程为 。

【解析】此题考查圆的方程，设圆心坐标为（a ，0），因此可得
4a =-，或4a =-解得32a =±，因此圆的方程为22325
()24
x y ±+=。