绝对值不等式(文理通用)(讲)-2018年高考数学一轮复习讲练测含解析

2018年高考数学讲练测【新课标版理】【讲】选修4－5不等式选讲
第03节绝对值不等式
【考纲解读】
【知识清单】
1.绝对值三角不等式
定理1：如果a,b是实数,则｜a＋b|≤|a｜＋｜b|,当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋｜b－c｜，当且仅当（a－b)(b－c）≥0
时，等号成立．
对点练习
如果关于x的不等式12
x x k
+++≥，对于x R
∀∈恒成立，则实数k的取值范围是（）
A. [)
-∞ D. ()3,8
2,+∞ B. ()
-+∞C。

(],1
1,
【答案】C
【解析】由题意得12min x x k +++≥（）,因为12x x +++ 121x x ≥+--= ，
所以1k ≤ ，选C 。

2。

含绝对值不等式解法
（1）含绝对值的不等式|x |〈a 与｜x |〉a 的解法
不等式 a >0 a ＝0 a <0
|x ｜〈a
｛x |－a <x 〈a }
∅
∅
|x ｜〉a
{x |x >a ，或x 〈－a }
{x |x ∈R ，且
x ≠0}
R
（2）｜ax ＋b |≤c （c 〉0）和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法 （1）｜ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； （2)|ax ＋b ｜≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c
(3）｜x －a |＋｜x －b ｜≥c (c 〉0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c 〉0)型不等式的解法
法一:利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 法三:通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 对点练习
1。

【2018河南南阳市第一中学模拟】不等式531x x -++≥的解集是（ ）
A 。

. []5,7-
B 。

[]4,6-
C. ][(),57,-∞-⋃+∞ D 。

(),-∞+∞ 【答案】D
【解析】()()535381x x x x -++≥--+=>⇒ 原不等式的解集为R ，故选D 。

2. 不等式113x <+<的解集为( ）
A 。

()0,2
B 。

()()2,02,4-⋃
C 。

()4,0-
D 。

()()4,20,2--⋃ 【答案】D
【解析】1<|x +1|〈3⇔1〈｜x +1｜2〈9
即()()2
2
11{ 19
x x +>+<即2220
{ 280x x x x +>+-<， 解得x ∈(−4，−2)∪（0，2） 本题选择D 选项. 【重点难点突破】
考点1 绝对值三角不等式的应用
【1—1】 若关于x 的不等式()2121x x a a x R ---≥++∈的解集为空
集，则实数a 的取值范围是( ）
A 。

()0,1
B 。

()1,0-
C 。

(),1-∞- D. ()(),10,-∞-⋃+∞ 【答案】D
【解析】由题意得2
121max x x a a ---<++（）,因为12211max x x ---=-=（）
所以2
11a
a <++，解得实数a 的取值范围为()(),10,-∞-⋃+∞，选D.
【1—2】不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ）
A. (][),14,-∞-⋃+∞
B. (][),25,-∞-⋃+∞ C 。

[]1,2 D.
(][),12,-∞⋃+∞
【答案】A
【1-3】【2018天津河西模拟】若存在实数x ，使丨x —a 丨+丨x —1丨≤3成立，则实数a 的取值范围是( ）
A 。

［-2，1］ B. [—2,2] C. [-2,3］ D. ［-2,4] 【答案】D
【解析】由｜x −a |+|x −1|⩾|(x −a ）−(x −1）|=|a −1｜，不等式｜x −a ｜+|x −1|⩽3有解，可得｜a −1｜⩽3， 即−3⩽a −1⩽3，求得−2⩽a ⩽4， 故选:D 。

【领悟技法】
利用三角不等式｜|a|－｜b｜|≤｜a±b｜≤|a｜＋|b|可求+的最小值和a b-型的最大值.
a b
【触类旁通】
【变式】设函数()
=-+
f x x a x
（1）当2
f x的值域；
a=时，求函数()
（2）若()1
g x x f x
->-恒成立时实数a的取=+，求不等式()()
g x x
2
值范围。

考点2 含绝对值的不等式解法
【2-1】不等式222
x-<的解集是
A. ()1,1-B。

()2,2
-
C。

()()
-⋃
2,00,2
1,00,1
-⋃ D. ()()
【答案】D 【解析】由2
22x -<得： 2222x -<-<即204x <<，解得： ()()2,00,2x ∈-⋃，
故选D 。

【2-2】若不等式|x +1|+|x −4|≥7的解集是（ ）
A. (−∞,−3] ∪[4,+∞)
B. [−3,4]
C. (−∞,−2] ∪[5,+∞)
D. [−2,5] 【答案】C
【解析】当x <−1时，−x −1−x +4≥7,x ≤−2，则x ≤−2， 当−1≤x <4时，x +1−x +4≥7, 不成立， 当x ≥4时，x +1+x −4≥7,x ≥5，则x ≥5，
综上：不等式的解集为{x |x ≤−2或x ≥10},选C. 【领悟技法】
含绝对值不等式的常用解法
（1）基本性质法：对a ∈（0,＋∞），｜x ｜〈a ⇔－a <x <a ，|x ｜〉a ⇔x 〈－a 或x 〉a 。

（2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．
(3）零点分区间法（或叫定义法):含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式（组）求解． (4)几何法：利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．
（5）数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解。

【触类旁通】 不等式2
2
x x x
x
-->
的解集是（ ）
A 。

(0,2）
B 。

（﹣∞,0) C。

（2，+∞） D. （﹣∞，0）∪(0，+∞） 【答案】A 【解析】∵2
2
x x x
x
-->
， ∴20x x
-<,
解得02x <<.
∴不等式的解集为()0,2。

答案:A 。

考点3 绝对值不等式恒成立问题
【3—1】若不等式|2a −1|≤|x +1
x |对一切非零实数x 恒成立，则实数
a
的取值范围是( ）
A. [−1,2]
B. [1,2] C 。

[−12,32] D. [0,32
] 【答案】C
【解析】因|x +1x |=|x|+|1x |≥2,故|2a −1|≤2，解之得−2≤2a −1≤2，即−12≤a ≤32
，应选答案C 。

【3—2】【2018湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟】已知()31f x x x =-++， ()1g x x x a a =+-+-.
(1)解不等式()6
f x≥；
（2）若不等式()()
≥恒成立,求实数a的取值范围。

f x
g x
【解析】（1）当3
x≥。

x-≥解得4
x≥时，226
当13
-<<时, 46≥无解，
x
当1
x≤-.
-+≥解得2
x≤-时，226
x
∴()6
x≥。

f x≥的解集为{ 2
x x≤-或}4
【领悟技法】
不等式恒成立问题的常见类型及其解法
（1)分离参数法
运用“f(x)≤a⇔f（x)max≤a，f（x）≥a⇔f（x)min≥a"可解决恒成立中的参数范围问题．
(2）数形结合法
在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合,揭示问题所
蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观解决问题．
提醒:不等式的解集为R 是指不等式恒成立问题,而不等式的解集为∅的对立面也是不等式恒成立问题，如f (x )〉m 的解集为∅，则f （x )≤m 恒成立. 【触类旁通】
已知函数()21f x x =-。

(1）求不等式()3f x x ≤的解集；
（2）若对任意x R ∈，不等式()()2f x f x m ++≥恒成立，求实数m 的取值范围.
【解析】（1）不等式()3f x x ≤可化为213x x -≤， 即3213,3213,{ { 30
x x x x x x x x -≤-≤-≤-≤⇔≥≥
1
5
x ⇒≥
， 所以不等式的解集为15x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩
⎭。

（2）()()2f x f x m ++≥等价于()212212123x x x x m -++-=-++≥恒成立。

因为212321234x x x x -++≥---=， 所以实数m 的取值范围为(],4-∞. 易错试题常警惕
易错典例:已知函数()2f x x a x =++- (1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集;
（2）若()4f x x ≤-的解集包含[]0,2，求a 的取值范围．
学必求其心得，业必贵于专精
易错分析：本题第2小问，如果从解不等式转化为集合的包含关系求解，分类讨论复杂，而且极有可能出现讨论不全或者运算量大而致错，但是若转化为恒成立问题，则简洁很多.。