2005年高考数学考前指导卷汇总

2005 年高考数学考前指导卷
目录
一、选择题 (2)
知识点：集合与映射 (2)
知识点：简易逻辑（充要条件、复合命题的真值表） (2)
知识点：函数值域（最值）问题 (2)
知识点：函数表达式（表达式与函数图象） (2)
知识点：反函数 (3)
知识点：函数的性质（单调性、奇偶性）、函数的图象 (3)
知识点：函数与方程 (4)
知识点：三角函数性质、函数综合 (4)
知识点：向量、三角函数的图象与性质 (4)
知识点：三角函数综合、解三角形 (4)
知识点：不等式 (4)
知识点：等差、等比数列 (4)
知识点：平面向量（基本概念） (4)
知识点：立体几何（线、面位置关系，体积） (5)
知识点：圆锥曲线的定义、性质及其应用 (5)
知识点：线性规划 (5)
知识点：排列组合与二项式定理 (5)
二、填空题 (6)
知识点：概率与统计 (6)
知识点：不等式 (6)
知识点：导数的应用 (6)
知识点：三角函数 (6)
知识点：圆锥曲线及其几何性质 (6)
知识点：立体几何 (6)
知识点：数列通项与基本量 (6)
知识点：基本不等式 (6)
知识点：平面向量 (6)
知识点：即时定义的概念（运算法则） (7)
三、解答题 (7)
知识点：排列组合与概率 (7)
知识点：三角函数 (7)
知识点：导数、函数与函数图象的对称性 (7)
知识点：立体几何 (7)
知识点：函数、不等式综合 (8)
知识点：导数及其应用 (8)
知识点：应用题（数列、立体几何） (8)
知识点：解析几何综合 (9)
知识点：函数、数列、不等式的综合 (9)
10
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、选择题
知识点：集合与映射
（1） 设f 是从A 」1,2 ?到集合B 」1,,,4?的映射，贝U 满足f 1 • f 2 =4的所有映射的个 数（） （A ）2 （ B ）3 （ C ） 4
（ D ） 16
知识点：简易逻辑（充要条件、复合命题的真值表）
（2） 已知直线 l i ： A i x+Biy+C i =O , 12： A 2x+B 2y+C 2=0，
则箸="1是A _ I'的（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （D ）既不充分又不必要条件
（3） 如果命题“非p 或非q ”是假命题，则在下列各结论中，正确的是（
[0,—）;③y =x • .1匚x 2的值域是[--三，•. 2]；④y = • 2 • x 2— r 1 o 的值域是
（2 + x 2
[2, •：：）.其中正确命题的个数是（ ）
(A ) (0, 1) ( B ) (-：：，1] (C ) (0, 1] ( D ) [1, +：：) 定义域为的函数f (x) = -x 2 + 4x 的值域为[-5, 4],贝U m+ n 的取值范围是(
(A ) [0, 6] ( B ) {4} 知识点：函数表达式（表达式与函数图象） a,b/ ,:
的大小关系可能是（
）
（A ）二 a ::: b ：：： ：
（ B ）
a ：：： — ：：： b
（C ） a ：：： 「 ：：： b ：：： ： （ D ） J a ：：： - ：：：
b
（C ）充要条件 ①命题“ p 且q ”是真命题； ③命题“ p 或q ”是真命题； （A ）①③ （B ）②④ 知识点：函数值域（最值）问题
②命题“ p 且q ”是假命题 ④命题“ p 或q ”是假命题 （C ）②③ （D ）①④ （4） 给出下列四个命题: 1
①y =2x 」的值域为
R ；②y =2 -x 2 2.2-x 2的值域是
(A ) 0 个 (B ) 1 个
(C ) 2 个
(D ) 3 个
（5）定义运算a"*
第b ＞），例如则z 的取值范围是（
(6) (C ) [1 , 5] (D ) [1 , 7]
(7)
(8)
（9）函数y珂叭「）的图像的基本形状是（）
且f(a)二a ( a 为非零常数)，贝U f(2a)的值为( )
(A ) -a ( B ) 0 ( C ) a
知识点：函数的性质(单调性、奇偶性) 、函数的图象
(11)今有一组实验数据如下：
T 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
v 1.5 4.04 7.5 12 18.01
f (X 1)- f (X 2) x i -X 2
(A ) f(3) f(—5)
( B ) f(—3) ：：: f(—5) (C ) f(—5) f(3)
(14)已知二次函数 f x = ax 2 bx 1 对一切 x R 都有 f 1-x = f 1，且 f T :: 0 , 贝
U f 2与f -2的大小关系是 (A )
(A ) f 2 f -2
( B ) f 2 :: f -2
( C ) f 2 = f —2
( D )不能确定
x
(B )
f 」(x),如果f 」(x • a)与f (X • a)互为反函数,
(10)已知f(x)定义域为R ,它的反函数为
(D ) 2a
(D ) f(-3) • f(-5)
、0，则一定有(
现准备用下列函数中的一个近似的表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是 ( )
知识点：函数与方程 (15)函数 f(x)=
1 0x 1, ( ) (A ) a<0 知识点：三角函数性质、 一1 w x < 1, 如果方程f (x )=a 有且只有一个实根，那么 a 满足
x ：：： _1 或 x 1.
(B ) 0 w a<1 函数综合 (C ) a=1 (D ) a>1 (16)函数 y=log 2(1，sin x) • Iog 2(1-sin x),当 ^ [,]时的值域为( 3 4
(C ) [0,1) (A ) [-1,0] (B ) (-1,0] (D ) [0,1] (17) 已知函数 f (x) =cos2x 、cos 2x
(A ) f(x)是偶函数且最小正周期为
(C ) f(x)是奇函数且最小正周期为 知识点：向量、三角函数的图象与性质 (18) 为得到函数的图象，只要将函数
n -2sin 2 x n 1，则() 3 6 n ( B ) f(x)是偶函数且最小正周期为 (D ) f(x)是奇函数且最小正周期为 7t 2 n 2n (A )(二，0) 7 知识点：三角函数综合、解三角形
(19)在厶ABC 中， ()
(A )(―丄,1] 2 4 知识点：不等式
(B ) (— y=sinx - cosx 按向量 a 平移，贝U a =(
(D )(—百 4
3, 0) (C )(:，0)
,0) 若三个内角 A , (20)定义符号函数 1
sgnx 二 0 i-1
1 (A ) {x| - : x <3} 3 B , C 成等差数列且 A<B<C,则cosAcos C 的取值范围是 (C ) x 0 x = 0 , x ::: 0 (-昇)(D )(彰)
则不等式x 2 • 2x -1 sgn x 的解集是 (B) {x | 0 ：：: x :: 3} — 1 .—
(C ) ｛x| : x 或 3 ：：x ：：:二｝
3 (21) 对一
切实数x ,不等式x 2 a x ^0恒成立，则实数 a 的取值范围是( ) (A ) (一：：，~2] (B ) [-2,2] (C ) [一2,二) (D ) [0,：：)
知识点：等差、等比数列
(22) 等差数列｛a n ｝的前n 项和记为S n ，若a 2 a 6 弧为一个确定的常数，则下列各数中 也是常数的是( ) (A ) S s ( B ) S 11 (C ) S 12 ( D ) S 13 (23) 一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存 2 KB,工作时3分钟自身复制一次， (即复制后所占内存是原来的 2 倍),那么，开机后多少分钟，该病毒占据 64 MB (1 MB=210KB )()
(A ) 45分钟 (B ) 48分钟 知识点：平面向量(基本概念) (24) 已知向量
(D) •_ (C ) 51分钟
(D ) 42分钟 a + b P
帀匸 (A ) [0, 2 ] b ，其中a 」均为非零向量，则p 的取值范围是( (B ) [0 , 1]
( C ) (0, 2] ( D ) [0 , 2]
知识点：立体几何(线、面位置关系，体积)
(25)已知m、I是异面直线，有下面四个结论：
①必存在平面a过m且与I平行；②必存在平面B过m且与I垂直；③必存
在平面丫与m、I都垂直；④必存在平面n与m、I距离都相等.
其中正确的结论是
(A)①②(B)①③(C)②③(D)①④
(26)在斜三棱柱ABC_A i B1C1中,E是线段BG上一点，且BE」BC1 , G是厶ABC的重
3 心，则( )
(A) EG/ 平面AA1B1B
(C) EG 平面AA1B1B
(27)在正三棱锥A- BCD中, 锥A- BCD的体积是( (A)辽(B)
辽
12 24
E
、
)
(B) EG丄平面AA1B1B
(D) EG与平面AA1B1B相交但不垂直F
分别是AB、BC的中点，EF丄DE,且BC= 1，则正三棱
(C)二(D)二
12 24
(28)如图，A、B、C是表面积为48n的球面上三点，AB=2, ABC=60 ,0
为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是(
(A) arcsin 3 ( B) arccos—3
66
(C) arcsin—3( D) arccos-3
3 3
知识点：圆锥曲线的定义、性质及其应用
2 2
(29)过双曲线x2—y2=1(a>o,b>0)的右焦点F,且垂直于渐近线
a b
A
Z D
BC=4
,
)
的直线I与双曲线左右两支都相交，则双曲线离心率e的取值范围为( )
(A) 1 v e v 2 ( B) 1v e v 2( C) e> 2 ( D) e> 2
2 2
(30)点P是双曲线乞-仏=1右支上一点，F是该双曲线的右焦点，点M为线段PF的中
4 5
点.若OM =3，则点P
(A) 4
3 知识点：线性规划(B)
到该双曲线右准线的距离为
3
4
(C) 2
(31)点M a,b在由不等式组x_0 y _o
x y _2 确定的平面区域内，则点N a b, a-b所在
平面区域的面积是( )
(A ) 1 ( B ) 2 知识点：排列组合与二项式定理
(32)从6个学校中选派9名同学参加市中学生外语口语演讲，每校至少选派
同的名额分配方案共有( )
(A) 84 种(B) 56 种(C) 35 种(D) 9 种
(33)设(x 1)4(x 4)8二a o a1(x 3) a2(x 3)2a12(x 3)12,则a
()
(A) 256
1人，则不■ a4 III ' ai =
(B) 96 (C) 128 (D)112
二、填空题 知识点：概率与统计 (34)某中学的一个研究性学习小组共有
10名同学，其中男生 x 名(3< x w 9),现在从中 选出3人参加一次调查活动，若至少有 1名女生去参加的概率为 p ,则p 的最大值为 (35) 甲、乙、丙三位学生展开学习竞赛，每天上课后独立完成 6道自我检测题，如果甲 及格的概率为4，乙及格的概率为3
，丙及格的概率为—，则三人中有且只有一人及 5 5 10
格的概率为 _____________ .
知识点：不等式 (36) ___________ 不等式x -1 x 2 a 的解集A 非空，若A 二［0, •::，则实数a 的取值范围 是 .
知识点：导数的应用 (37) 过点(1,②的曲线f(x)=x 3_3x 的切线为 _________________ (38) 如图，函数 y =f(x)的图象 在点 P 处的切线方程 y =—x 8，贝U f(5) f (5)= ____________ 知识点：三角函数 (39)若、丄是锐角，且sin -，则cos t 的 6 3 是 ___________________ 知识点：圆锥曲线及其几何性质 (40) 抛物线的焦点是F(1,1)，其准线方程是x y ^0，那么它的顶点坐标是
2 2 (41) 椭圆 乙 ^=1的左、右焦点分别是 R 、
4 3 P 点到左准线的距离是 ____________ 知识点：立体几何 (42) 正三棱锥P - ABC 的底面边长为1, E 、F 、 BC 、PB 的中点，四边形 EFGH 的面积为 是 。

F 2，P 是椭圆上一点，若| PF i |=3| PF ? |，则 G 、H 分别是PA 、AC S ,则S 的取值范围
(43) 如图在水平横梁上 A 、B 两点处各挂长为 50 cm 的细绳AM 、BN ,
在MN 处栓长为60 cm 的木条，MN 平行于横梁，木条绕过 MN 60°则木条比原来升高了 ____________________________________ cm .
(44) 在二面角：-r'■的半平面：内，线段AB 丄I ，垂足为B ;在半平面［内，线段CD 丄I ， 垂足为 D ; M 为I 上任一点.若 AB=2，CD=3，BD=1，贝U AM+CM 的最小值为 ________ . 数列通项与基本量 已知数列 Sn f 满足 a 1 =1,a n 二a 1 • 2a 2 3比 (n T)a n 」(n > 2)，则 a6= __________ 基本不等式 中点0的铅垂线旋转
知识点: (45) 知识点: (46) 已知x 、y 、z 为正实数，且x + y + z = 1，则t=
1
+1的最小值为 x +y z 知识点: (47) 平面向量 向量a = 1, 2 , b = ― 2,1。

若正数k 和t 使x =a (t 2
1)b 与y = -ka f b 垂直，则 k 的最小值是
知识点：即时定义的概念(运算法则) (48) 对于正整数 n 和 m ，定义 n m ! = (n -m)(n - 2m)(n -3m)|(|(n - km)，其中 m ：：： n ,且 k 是
满足n km 的最大整数•则10-L
.
103! -----------------
三、解答题
知识点：排列组合与概率 (49) 某士兵在射击100米远处的靶子时，命中的概率为 0.6 •
(I)该士兵射击 3次，求至少命中一次的概率；
(n)已知该士兵命中靶子的概率与他与靶子的距离成反比，现在他向距离其 100
米、150米、200米远处的靶子各射击 1次，求三次中恰有一次命中的概率.
(50) 在袋中装有15个小球，其中彩色球有： n 个红色球，5个蓝色球，6个黄色球，其余
为白色球.已知从袋中取出
3个都是相同颜色彩球(无白色球)的概率为
-31 .求 455
(I)袋中有多少个红色球？
(n)从袋中随机取 3个球，若取得蓝色球得 1分，取得黄色球扣1分，取得红色球或
白色球不得分也不扣分，求得正分的概率.
知识点：三角函数
(I)求y 关于x 的函数解析式f(x);
(n)当x 「p,时，f(x)的最大值为3,求a 的值并指出f(x)的单调增区间.
(I)若g(x)为函数f(x)图象按p ■ ,0平移所得到的图象的函数，试判断 g(x)的
6
奇偶性；
(n)求当f(x)取得最大值时，自变量 x 的取值集合.
知识点：导数、函数与函数图象的对称性 (53)
已知函数 f(x)」x 3 -3x 2，8x -4 .
3
(I)求f (x)在［-,5］上的最大值与最小值及相应的
x 值；
(n)若函数图象关于点 Q(m, n)对称，试求对称中心Q 的坐标.
知识点：立体几何
(54) 如图，在直角梯形 ABCD 中，/ A = Z D = 90 , AB < CD, SD
丄平面 ABCD, AB = AD = a , SD = 2a ，在线段 SA 上 取一点E (不含端点)，使EC= AC,截面CDE 与SB 交于 点F.
(I)求证：四边形 EFCD 为直角梯形； (n)求二面角 B- EF - C 的平面角的正切值；
(川)设SB 的中点为M,当CD 为何值时，能使DM 丄MC ?
AB
(51)
已知O 为坐标原点, ^O ^U O B ,
2
OA =(2cos x,1), OB =(a, 3a sin2x 1 —a) , a 为非零常数.
(52) 已知函数f(x)=sin(2x 十沢)一a
3
请给出证明；
(55)如图，在直三棱柱ABC— A1B1C1 中，Z ACB=90 °, AC=BC=CC=1, M 为AB 的中点,
A〔D=3DB1.
(I)求证：平面CMD丄平面ABB1A1;
(n)求MD与平面CMD的距离；
(川)求MD与B I C所成角的大小.
(56)如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA丄底
面
ABCD, PA=AD=2，点M、N 分别在棱PD PC 上，且
PC丄平面AMN.
(I)求证：AM丄PD;
(n)求二面角P—AM —N的大小；
(川)求直线CD与平面AMN所成角的大小.
知识点：函数、不等式综合
(57)函数f(x)=log a(x—3a)(a>0 且1),当点P(x, y)是函数
y=f(x)图象上的点时，Q(x —2a, —y)是函数y=g(x)图象上的点.
(I)写出函数y=g(x)的解析式；
(n)当x€[ a+2, a+3]时，恒有|f(x) —g(x)| < 1，试确定a的取值范围.
知识点：导数及其应用
(58)某企业有一条价值a万元的生产
流水线，要提高该生产流水线的生产能力，提高产品的增加值，就要对流水线进行技术改造•假设增加值y万元与技改投入x万元之间的关系满足：
3
①y与(a-x)x2成正比例；②当x =旦时，：③o w x< t•
2 7 2 2(a — x)
其中t为常数且r (0，2] •
(I)设y =f(x)，求出f (x)的表达式，并求其定义域；
(n )求出增加值y的最大值，并求出此时的x的值.
(59)已知函数f(x) = 1 x3 1 (b -1)x2 cx d，( abcd R )
3 2
(I)函数f (x)在x = 1，x = 2处取得极值，求b、c的值；
(n)函数f (X)在区间(-：：,为)，(X2,；)上为增函数，在(为,冷)上为减函数且X2-X1 1，求证：b22(b 2c)；
(川)在(n)的条件下，且t <为•试比较t2 bt c与为的大小.
知识点：应用题(数列、立体几何)
(60)某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且
每件获利a元的前提下，可卖出b件。

若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费为
(2)千元时多卖出件, E N*).
(I)试写出销售量s与n的函数关系式;
(H)当a=10,b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大?
(61) 有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体无盖容器(切、 焊损耗忽略
不计)，有人应用数学知识作了如下设计：如图( a )，在钢板的四个角处 各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如 图(b ).
(I)请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积 V i ;
(n)由于上述设计存在缺陷(材料有所浪费) ，请你重新设计切焊方法，使材料浪费
减少，而且所得长方体容器的容积
V 2 >V i •
知识点：解析几何综合 (62) 设椭圆E 中心在坐标系原点 0,焦点在x 轴上，离心率为-J ，过点C(—1,0)的直线I 交椭圆E 于
两点A 、B ,满足CA =：2BC 。

求当△ AOB 面积达到最大值时直线I 和椭圆E 的方程.
知识点：函数、数列、不等式的综合
(63) 由原点O 向三次曲线y=x 3— 3ax 2 + b x (a 丰0)引切线，切于不同于点 O 的点R(x i , %),
再由P i 引此曲线的切线，切于不同于 P i 的点P 2(x 2, y 2),如此继续地作下去，…，得 至到点列｛P n (X n , y n )｝，试回答下列问题：
X i ； X n 与X n+i 的关系； a>0,求证：当n 为正偶数时，X n <a ;当n 为正奇数时，x n >a . (64) 数列｛a n ｝的前 n 项和为 S, a^i2, S 谒(n 2 • n) (n ・ N*).
(I)求a i 及数列｛ a n ｝的通项a n ;
(n)计算 a i ~^2 ' a 3 (T)n i a n ;
(川)求证：』•山\ J . a i a 2
a n 2 (65)
x 轴上有一列点P,R,R 」||,P n ，山，已知当n 启2时，点P n 是把线段R 」P n*作n 等分的 分点中最靠近
P n i 的点，设线段
PP 2,P 2P 3,W,RP n i 的长度分别为
山，％,其中 a i —i. (I)写出a 2,a 3和a n (n > 2 , n ，N * )的表达式；
(n)证明：a i • a ? W a . ：：： 3 ( n • N * )；
(川)设点M n (n,a n ) (n 2, n • N *),在这些点中是否存在两个点同时在函数 y ^^(k 0)的图象上，如果
存在，请求出点的坐标；
如果不存在，请说明 (x -i)
理由.
知识点：函数类综合问题
(66) 已知函数：f (x) = x _a (a 三 R 且x ^a). a -x
(I)证明：f(x)+2+f(2a — x)=0对定义域内的所有 x 都成立
. 求求若 \17 Inn
1
(H)当f(x)的定义域为［a+^a+l］时，求证：f(x )的值域为［—3, —2］; (川)设函数9%)=/+|& —a)f(x)|,
求g(x)的最小值.
《2005年高考数学考前指导卷》由苏州大学“数学教学与测试”系列图书的编者、苏州市重点中学的高三数学一线教师选编.
意见请反馈给苏州大学期刊读者服务部：潘洪亮陈必胜朱益华丰世富；联系电话：(0512) 65216707.传真：(0512) 65112084.E-mail : zsfwb@.
2005年5月16日
内部参考。