05数学文化——算法-2021年高中数学传统文化与人文价值素材

05数学文化——算法（12题）
1、更相减损术
1.如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0，则输出a和i的值分别为（）
A．0，3 B．0，4 C．2，3 D．2，4
【考点】程序框图．
【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b，i的值，即可得到结论．
【解析】：模拟执行程序框图，可得：a=6，b=8，i=0，
i=1，不满足a＞b，不满足a=b，b=8﹣6=2，i=2
满足a＞b，a=6﹣2=4，i=3满足a＞b，a=4﹣2=2，i=4
不满足a＞b，满足a=b，输出a的值为2，i的值为4．故选：D．
【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．
2.如图，该程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的a=3，则输入的a，b分别可能为（）
A．15、18 B．14、18 C．13、18 D．12、18
【考点】程序框图．
【分析】由程序框图的输出功能，结合选项中的数据，即可得出输入前a，b的值．
【解析】：根据题意，执行程序后输出的a=3，
则执行该程序框图前，输人a、b的最大公约数是3，
分析选项中的四组数，满足条件的是选项A．故选：A．
【点评】本题考查了算法和程序框图的应用问题，也考查了我国古代数学史的应用问题，是基础题．
3.如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为12，16，0，则输出a和i的值分别为（）
A．4，3 B．4，4 C．4，5 D．3，4
【考点】程序框图．
【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b，i的值，即可得到结论．
【解析】：模拟执行程序框图，可得：a=12，b=16，i=0，
i=1，不满足a＞b，不满足a=b，b=16﹣12=4，i=2
满足a＞b，a=12﹣4=8，i=3 满足a＞b，a=8﹣4=4，i=4
不满足a＞b，满足a=b，输出a的值为4，i的值为4．故选：B．
【点评】本题主要考查了算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．
4.如程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为12，15，则输出的a=（）
A．0 B．2 C．3 D．14
【考点】程序框图．
【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．
【解析】：由a=12，b=15，a＜b，则b变为15﹣12=3，
由a＞b，则a变为12﹣3=9，由a＞b，则a变为9﹣3=6，由a＞b，则a变为6﹣3=3，
由a=b=3，则输出的a=3．故选：C．
【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．
2、辗转相除法
5.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a=6102，b=2016时，输出的a=（）
A．6 B．9 C．12 D．18
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可．
【解析】：模拟程序框图的运行过程，如下；
a=6102，b=2016，
执行循环体，r=54，a=2016，b=54，
不满足退出循环的条件，执行循环体，r=18，a=54，b=18，
不满足退出循环的条件，执行循环体，r=0，a=18，b=0，
满足退出循环的条件r=0，退出循环，输出a的值为18．故选：D．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案，是基础题．
6.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为6，4，则输出a的值为（）
A．0 B．2 C．4 D．6
【考点】程序框图．
【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．
【解析】：由a=6，b=4，a＞b，则a变为6﹣4=2，
由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．
【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．
7.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的某一种算法．执行该程序框图，输入分别为98，63，则输出的结果是（）
A．14 B．18 C．9 D．7
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解析】：模拟执行程序，可得：
m=98，n=63，
第一次执行循环体，r=35，m=63，n=35，不满足退出循环的条件；
第二次执行循环体，r=28，m=35，n=28，不满足退出循环的条件；
第二次执行循环体，r=7，m=28，n=7，不满足退出循环的条件；
第二次执行循环体，r=0，m=7，n=0，满足退出循环的条件；
故输出的m值为7．故选：D．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．
8.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a=6102，b=2016时，输出的a=18．
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可．
【解析】：模拟程序框图的运行过程，如下；a=6102，b=2016，
执行循环体，r=54，a=2016，b=54，
不满足退出循环的条件，执行循环体，r=18，a=54，b=18，
不满足退出循环的条件，执行循环体，r=0，a=18，b=0，
满足退出循环的条件r=0，退出循环，输出a的值为18．故答案为：18．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案，是基础题．
3、中国剩余定理
9．中国剩余定理，此定理源于我国古代数学名著《孙子算经》，其中记载了这样一个“物不知数”的问题：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这个问题的意思是：有一个正整数，除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的正整数．此问题及其解题原理在世界上颇负盛名，中外数学家们称之为“孙子定理”、“中国剩余定理”或“大衍求一术”等．对以上“物不知数”的问题，求得满足条件的最小正整数为23，而满足条件的所有正整数可用代数式表示为105k+23（k为非负整数）．
【考点】带余除法．
【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．
【解析】：我们首先需要先求出三个数：
第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；
第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；
第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；
然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．
最后，再减去3、5、7最小公倍数的若干倍，即：233﹣105×2=23．
故答案为：23，105k+23．
【点评】本题考查的是带余数的除法，根据题意下求出15、21、70这三个数是解答此题的关键．
4、割圆术
10．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数
点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）
（参考数据：3≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）
A．12 B．24 C．36 D．48
【考点】程序框图．
【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．
【解析】：模拟执行程序，可得：
n=6，S=3sin60°=33
2
，
不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，
不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，
满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．
故选：B．
【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．
5、其它算法
11.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）
A．4 B．5 C．2 D．3
【考点】设计程序框图解决实际问题．
【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，A，S的值，当S=135
8
时，满足条件
S≥10，退出循环，输出n的值为4，从而得解．【解析】：模拟执行程序，可得
a=1，A=1，S=0，n=1 S=2
不满足条件S≥10，执行循环体，n=2，a=1
2
，A=2，S=
9
2
不满足条件S≥10，执行循环体，n=3，a=1
4
，A=4，S=
35
4
不满足条件S≥10，执行循环体，n=4，a=1
8
，A=8，S=
135
8
满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．故选：A．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，模拟执行程序正确写出每次循环得到的a，A，S的值是解题的关键，属于基础题．
12.将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排成一数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，如图所示程序框图用来输出此数列的前若干项并求其和，若输入m=4则相应最后的输出S的值是15．
【考点】循环结构．
【分析】根据所给条件，按照流程图的流程进行逐一判定，看其是否满足判断框的条件，从而选择下一处理框，依次执行可得到所求．
C=1，S=1+1=2；
【解析】：i=1，m=4，满足条件i＜m，j=0，满足条件j≤i，则a=0
1
C=1，S=2+1=3；
j=1，满足条件j≤i，则a=1
1
C=1，S=3+1=4；
j=2，不满足条件j≤i，则i=2，j=0，满足条件j≤i，则a=0
2
C=2，S=4+2=6；
j=1，满足条件j≤i，则a=1
2
C=1，S=6+1=7；
j=2，满足条件j≤i，则a=2
2
C=1，S=7+1=8；
j=3，不满足条件j≤i，则i=3，j=0，满足条件j≤i，则a=0
3
C=3，S=8+3=11；
j=1，满足条件j≤i，则a=1
3
C=3，S=11+3=14；
j=2，满足条件j≤i，则a=2
3
C=1，S=14+1=15；
j=3，满足条件j≤i，则a=3
3
j=4，不满足条件j≤i，则i=4，不满足条件i＜m，输出S=15；
故答案为：15
【点评】本题主要考查了循环结构，是一个嵌套式循环，解题的关键是逐一分析判断框的条件，同时考查了组合数公式，属于中档题．。