18版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2第1课时直线的点斜式学案苏教版必修21707221110

2.1.2 第1课时直线的点斜式
1．掌握直线的点斜式与斜截式方程．(重点、难点)
2．能利用点斜式求直线的方程．(重点)
3．了解直线的斜截式与一次函数之间的区别和联系．(易混点)
[基础²初探]
教材整理1 直线的点斜式方程
阅读教材P80～P81，完成下列问题．
1．过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程y－y1＝k(x－x1)叫做直线的点斜式方程．2．过点P1(x1，y1)且与x轴垂直的方程为x＝x1.
1．过点(2,3)，斜率为－1的直线的方程为________．
【解析】由点斜式方程得：y－3＝－1²(x－2)，
∴y－3＝－x＋2，即y＝－x＋5.
【答案】y＝－x＋5
2．过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为________．【解析】过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为y＝1，垂直于x轴的直线方程为x＝1.
【答案】y＝1 x＝1
3．若直线l过点A(－1,1)，B(2,4)，则直线l的方程为________．
【解析】k＝4－1
2－ －1
＝1，l的方程为y－1＝1²(x＋1)，即y＝x＋2.
【答案】y＝x＋2
教材整理2 直线的斜截式方程
阅读教材P82探究以上部分内容，完成下列问题．
斜截式方程：y＝kx＋b，它表示经过点P(0，b)，且斜率为k的直线方程．其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的截距．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“³”)
(1)当直线的倾斜角为0°时，过(x 0，y 0)的直线l 的方程为y ＝y 0.(√) (2)直线与y 轴交点到原点的距离和直线在y 轴上的截距是同一概念．(³) (3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．(√) (4)当直线的斜率不存在时，过点(x 1，y 1)的直线方程为x ＝x 1.(√)
2．已知直线的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－2，则此直线方程为________.
【导学号：41292066】
【解析】 k ＝tan 60°＝3，且过点(0，－2)，所以直线方程为y ＋2＝3(x －0)，即3x －y －2＝0.
【答案】
3x －y －2＝0
[小组合作型]
利用点斜式求直线的方程
根据下列条件，求直线的方程．
(1)经过点B (2,3)，倾斜角是45°； (2)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行； (3)经过点A (1,1)，B (2,3)．
【精彩点拨】 先求直线的斜率，再用点斜式求直线的方程． 【自主解答】 (1)∵直线的倾斜角为45°， ∴此直线的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线的点斜式方程为y －3＝x －2， 即x －y ＋1＝0. (2)∵直线与x 轴平行， ∴倾斜角为0°，斜率k ＝0， ∴直线方程为y ＋1＝0³(x ＋1)， 即y ＝－1.
(3)∵直线的斜率k ＝3－1
2－1
＝2.
∴直线的点斜式方程为y －3＝2³(x －2)，
即2x－y－1＝0.
1．求直线的点斜式方程的前提条件是：(1)已知一点P(x0，y0)和斜率k；(2)斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．
2．求直线的点斜式方程的步骤是：先确定点，再确定斜率，从而代入公式求解．
[再练一题]
1．求倾斜角为135°且分别满足下列条件的直线方程：
(1)经过点(－1,2)；
(2)在x轴上的截距是－5.
【解】(1)∵所求直线的倾斜角为135°，
∴斜率k＝tan 135°＝－1，又直线经过点(－1,2)，
∴所求直线方程是y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0.
(2)∵所求直线在x轴上的截距是－5，即过点(－5,0)，又所求直线的斜率为－1，
∴所求直线方程是y－0＝－(x＋5)，
即x＋y＋5＝0.
利用斜截式求直线的方程
根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
【精彩点拨】(1)直接利用斜截式写出方程；
(2)先求斜率，再用斜截式求方程；
(3)截距有两种情况．
【自主解答】(1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－
3
3
.
由斜截式可得方程为y＝－
3
3
x－2.
(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝3，
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.
1．直线的斜截式方程使用的前提条件是斜率必须存在．
2．当直线的斜率和直线在y轴上的截距都具备时，可以直接写出直线的斜截式方程；当斜率和纵截距不直接给出时，求直线的斜截式方程可以利用待定系数法求解．
[再练一题]
2．根据下列条件，求直线的斜截式方程．
(1)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.
(2)倾斜角为直线y＝－3x＋1的倾斜角的一半，且在y轴上的截距为－10.
【导学号：41292067】
【解】(1)由题意可知所求直线的斜率k＝tan 30°＝
3
3
，
由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝
3
3
x.
(2)设直线y＝－3x＋1的倾斜角为α，则tan α＝－3，
∴α＝120°，∴所求直线的斜率k＝tan 60°＝ 3.
∴直线的斜截式方程为y＝3x－10.
[探究共研型]
直线的点斜式方程和斜截式方程的应用
探究1 对于直线y＝kx＋1，是否存在k使直线不过第三象限？若存在，k的取值范围是多少？
【提示】直线y＝kx＋1过定点(0,1)，直线不过第三象限，只需k<0.
探究2 已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k在y轴上的截距b，以及与y轴交点P的坐标．
【提示】∵2x＋y－1＝0可变形为y＝－2x＋1，斜率k＝－2.令x＝0，得y＝1，即b ＝1，直线l与y轴的交点为(0,1)．
已知直线l 经过点P (4,1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，
求直线l 的点斜式方程．
【精彩点拨】 设出直线的点斜式方程，表示出横、纵截距，利用三角形面积得斜率方程，求解即可．
【自主解答】 设所求直线的点斜式方程为：y －1＝k (x －4)(k <0)， 当x ＝0时，y ＝1－4k ；当y ＝0时，x ＝4－1k
.
由题意，得12³(1－4k )³⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－1k ＝8. 解得k ＝－14.所以直线l 的点斜式方程为y －1＝－1
4
(x －4)．
在利用直线的点斜式方程或斜截式方程表示纵、横截距，从而进一步表示直线与坐标轴围成的三角形面积时，要注意截距并非一定是三角形的边长，要根据斜率进行判断，当正负不确定时，要进行分类讨论．
[再练一题]
3．已知直线l 的斜率为1
6，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的方程．
【解】 设直线方程为y ＝1
6x ＋b ，则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得
1
2
²|b |²|－6b |＝3， 即6|b |2
＝6，∴b ＝±1.
故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝1
6x －1，
即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.
1．直线y －2＝－3(x ＋1)的倾斜角和所过的点分别为________．
【解析】 由点斜式方程知，直线过点(－1,2)，斜率为－3，∴倾斜角为120°. 【答案】 120°，(－1,2)
2．已知直线的方程为y ＋2＝－x －1，则直线的斜率为________．
【解析】 化直线方程为斜截式：y ＝－x －3， ∴斜率为－1. 【答案】 －1
3．经过点(－1,1)，斜率是直线y ＝
2
2
x －2的斜率的2倍的直线方程是_____． 【解析】 由方程知，已知直线的斜率为
22
， ∴所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y －1＝2(x ＋1)，即2x －
y ＋2＋1＝0.
【答案】
2x －y ＋2＋1＝0
4．直线x ＋y ＋1＝0的倾斜角与其在y 轴上的截距分别是________.
【导学号：41292068】
【解析】 直线x ＋y ＋1＝0变成斜截式得y ＝－x －1，故该直线的斜率为－1，在y 轴上的截距为－1.若直线的倾斜角为α，则tan α＝－1，即α＝135°.
【答案】 135°，－1
5．求经过点A (－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程． 【解】 设直线方程为y －4＝k (x ＋3)(k ≠0)． 当x ＝0，y ＝4＋3k ， 当y ＝0，x ＝－4
k
－3，
∴3k ＋4－4k
－3＝12，即3k 2
－11k －4＝0，
∴k ＝4或k ＝－1
3
.
∴直线方程为y －4＝4(x ＋3)或y －4＝－1
3
(x ＋3)，即4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.。