初中数学 正多边形与圆(教师版)九年级数学上册同步精品讲义(苏科版)

第2章对称图形----圆
2.6 正多边形与圆
课程标准课标解读
1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；
2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心
距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正
多边形；
3.会进行正多边形的有关计算.1．了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形
2．通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索积的计算公式，并应用这些公式解决问题．
3．了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决
知识点01 正多边形的概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
【微点拨】
判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
【即学即练1】1．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72︒，则该正多边形的边数是（）A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】
根据正多边形的中心角=360
n
︒
计算即可．
【详解】
解：设正多边形的边数为n．
由题意360
n
︒
=72°，
∴n=5，目标导航
知识精讲
故选：C．
知识点02 正多边形的重要元素
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3.正多边形的有关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；
(3)正ｎ边形每个外角的度数是.
【微点拨】
要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
【即学即练2】2．正十边形的中心角是（）
A．18°B．36°C．72°D．144°
【答案】B
【分析】
正多边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为360°除以正多边形的边数．
【详解】
正十边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为：360°÷10=36°
故选：B
知识点03 正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
4.边数相同的正多边形相似。

它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
【微点拨】
（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.
【即学即练3】3．下列关于正多边形的叙述，正确的是（）
A．正七边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．存在一个正多边形，它的外角和为720
C．任何正多边形都有一个外接圆
D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形
【答案】C
【分析】
根据中心对称图形、轴对称图形的定义、多边形外角和定理、正多边形的性质对各选项逐一判断即可得答案．
【详解】
A.正七边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误，
B.任意多边形的外角和都等于360°，故该选项错误，
C.任何正多边形都有一个外接圆，故该选项正确，
D.∴正三角形的每个外角为120°，对应的每个内角为60°，
∴存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形，故该选项错误，
故选：C．
知识点04 正多边形的画法
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形。

在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。

再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。

②正六、三、十二边形的作法。

通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。

显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。

同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。

【微点拨】
画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
【即学即练4】4．已知∴O的半径是2，一个正方形内接于∴O，则这个正方形的边长是（）
A．
22B ．2C．2D．4
【答案】A
【分析】
利用正方形的性质结合勾股定理可得出正方形的边长．
【详解】
解：如图所示：
∴∴O的半径为2，四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB＝2，∴AOB＝90°，
∴AB＝2222
OA OB
=+=．
故选：A．
考法01 求正多边形的中心角
定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。

正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算
【典例1】如图有一齿轮，相邻两齿之间间隔相等，如果让这个齿轮绕中心旋转，要与原图形重合，至少要旋转（）
能力拓展
A．30B．40︒C．45︒D．60︒
【答案】C
【分析】
根据正多边形的性质，求出每一条边所对的中心角，就是所要旋转的度数．
【详解】
解：由图可知：该齿轮是正八边形，
360°÷8=45°．
故选C．
考法02 正多边形和圆
1、正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。

2、定理：把圆分成n（n＞3）等分：
（l）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；
（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。

3、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。

外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。

4、正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。

5、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

若n为偶数，则正n边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。

【典例2】一个圆的半径为4，则该圆的内接正方形的边长为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据正方形的性质得出
如图，圆的半径为 4，AB=BC ，结合勾股定理，进而即可求解．
∴四边形ABCD 是正方形，∴B=90°， ∴AC 是圆的直径， ∴AC=2×4=8，
∴AB2+BC2=AC2，AB=BC ， ∴2AB2=64，解得：
AB=42， 故选C ．
题组A 基础过关练
1．若∴O 的内接正n 边形的边长与∴O 的半径相等，则n 的值为（ ） A ．4 B ．5
C ．6
D ．7
【答案】C 【分析】
根据题意，内接正n 边形的边长与∴O 的半径相等，则正n 边形的中心角为60︒ ，由36060︒÷︒ 可得结果． 【详解】 解：
内接正n 边形的边长与∴O 的半径相等，
∴正n 边形的中心角为60︒，
360606︒÷︒=，
∴n 的值为6，
故选：C ．
2．圆内接四边形ABCD 中，四个角的度数比可顺次为（ ） A ．4:3:2:1
B ．4:3:1:2
C ．4:2:3:1
D ．4:1:3:2
分层提分
【分析】
根据圆内接四边形的对角互补，可知两组相对的角比例和相等，即可判断结果．【详解】
解：∴圆内接四边形的对交互补，即相加等于180°，
故：A选项：4+2≠3+1，错误；
B选项：4+1=3+2，正确；
C选项：4+3≠2+1，错误；
D选项：4+3≠1+2，错误．
故：选B．
3．下列命题是假命题的是（）
A．点A（2，1）与点B(－2，－1)关于原点对称B．不等式组
2
1
x
x
≥
⎧
⎨
<
⎩
的解集是空集
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D．圆内接四边形的对角互补
【答案】C
【分析】
分别根据关于原点对称的点的特点、不等式组的解集、正方形的判定定理、圆内接四边形的性质作出判断即可．
【详解】
解：A. 点A（2，1）与点B(－2，－1)关于原点对称，该选项正确，是真命题；
B.不等式组
2
1
x
x
≥
⎧
⎨
<
⎩
的解集是空集，该选项正确，是真命题；
C. 对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，故该选项错误，是假命题；
D.圆内接四边形的对角互补，该选项正确，是真命题．
故选：C．
4．若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（）
A．45°B．60°C．72°D．90°
【答案】B
【分析】
利用正多边形的边长与半径相等得到正多边形为正六边形，然后根据正多边形的中心角定义求解．
解：因为正多边形的边长与半径相等，所以正多边形为正六边形，因此这个正多边形的中心角为60°． 故选B ．
5．在圆内接四边形ABCD 中，若::2:3:4A B C ∠∠∠=，则D ∠=（ ） A ．90︒ B ．120︒
C ．150︒
D ．240︒
【答案】A 【分析】
根据::2:3:4A B C ∠∠∠=可设2A x ∠=，则3,4B x C x ∠=∠=，然后利用圆内接四边形对角互补可得
180A C ∠+∠=︒，解得x ，从而求出各角度数．
【详解】
解：设2A x ∠=，因为::2:3:4A B C ∠∠∠=， 则3,4B x C x ∠=∠=，
根据圆内接四边形对角互补可得180A C ∠+∠=︒， 所以24180x x +=︒， 解得30x =︒，
所以∴B=90°，∴D=180°-∴B=90°． 故选A ．
6．已知圆内接正六边形的边长是1，则该圆的内接正三角形的面积为（ ）
A ．
3
B ．
C ．
4
D ．
2
【答案】C 【分析】
根据圆内接正六边形的边长是1可得出圆的半径为1，高为
3
2
，从而可得出面积． 【详解】
解：由题意可得出圆的半径为1，
∴∴ABC 为正三角形，AO=1，AD BC ⊥，BD=CD ，AO=BO ， ∴1
DO 2=
，32
AD =，
∴BD 2
==，
∴BC =
∴13224
ABC
S
=
⨯=
． 故选：C ．
7．在平行四边形、矩形、等边三角形、正方形中，正多边形有多少个（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】B 【分析】
根据正多边形的定义进行判断. 【详解】
解：等边三角形和正方形是正多边形，共有2个， 故选：B.
题组B 能力提升练
1．在圆内接正六边形ABCDEF 中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（ ）
A ．30,1︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．1202︒,
【答案】C 【分析】
由正六边形的性质得∴COD ＝60°，再证∴OCD 是等边三角形，得BC ＝CD ＝OC ＝2，再由垂径定理和含30°角的直角三角形的性质求出OG 即可．
【详解】
解：在圆内接正六边形ABCDEF 中，∴COD ＝360°÷6＝60°，
∴OC ＝OD ，
∴∴OCD 是等边三角形， ∴BC ＝CD ＝OC ＝2， ∴OG∴BC ，
∴CG ＝
1
2BC ＝1， ∴∴COG ＝1
2
∴COD ＝30°，
∴OG 故选：C ．
2 ）
A B ．2
C ．3
D ．【答案】B 【分析】
设正六边形的中心是O ，一边是AB ，过O 作OG AB ⊥于G ，在直角OAG △中，根据三角函数即可求得边长AB ，从而求出周长． 【详解】 解：如图，
在Rt AOG △中，OG 30AOG ∠=︒，
cos OA OG ∴=÷302︒=； 故选：B ．
3．如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是∴ABC 的中心，∴FOG ＝120°，绕点O 旋转∴FOG ，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：∴OD ＝OE ；∴S ∴ODE ＝S ∴BDE ；∴四边形ODBE
；∴∴BDE 周长的最小值为6．上述结论中不正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A 【分析】
连接OB 、OC ，如图，利用等边三角形的性质得∴ABO ＝∴OBC ＝∴OCB ＝30°，再证明∴BOD ＝∴COE ，于是可判断∴BOD∴∴COE ，所以BD ＝CE ，OD ＝OE ，则可对∴进行判断；利用S∴BOD ＝S∴COE 得到四边
形ODBE 的面积＝
13 S∴ABC ＝3
，则可对∴进行判断；作OH∴DE ，如图，则DH ＝EH ，计算出S∴ODE
，利用S∴ODE 随OE 的变化而变化和四边形ODBE 的面积为定值可对∴进行判断；由于∴BDE
的周长＝BC+DE ＝4+DE ＝OE ，根据垂线段最短，当OE∴BC 时，OE 最小，∴BDE 的周长最小，计算出此时OE 的长则可对∴进行判断． 【详解】
解：连接OB 、OC ，如图，
∴∴ABC 为等边三角形， ∴∴ABC ＝∴ACB ＝60°， ∴点O 是∴ABC 的中心，
∴OB ＝OC ，OB 、OC 分别平分∴ABC 和∴ACB ， ∴∴ABO ＝∴OBC ＝∴OCB ＝30°， ∴∴BOC ＝120°，即∴BOE+∴COE ＝120°， 而∴DOE ＝120°，即∴BOE+∴BOD ＝120°， ∴∴BOD ＝∴COE ， 在∴BOD 和∴COE 中，
BOD COE OB OC
OBD OCE ∠∠∠⎧⎪
⎪⎩
∠⎨＝＝＝ ， ∴∴BOD∴∴COE （ASA ）， ∴BD ＝CE ，OD ＝OE ， ∴∴正确； ∴∴BOD∴∴COE ， ∴S∴BOD ＝S∴COE ，
∴四边形ODBE 的面积＝S∴OBC═13S∴ABC ＝13
×4×42
＝3
， 故∴正确；
作OH∴DE 于H ，如图，则DH ＝EH ， ∴∴DOE ＝120°， ∴∴ODE ＝∴OEH ＝30°， ∴OH ＝
12OE ，HE
，
∴DE ，
∴S∴ODE ＝
12×12， 即S∴ODE 随OE 的变化而变化， 而四边形ODBE 的面积为定值， ∴S∴ODE≠S∴BDE ； 故∴错误； ∴BD ＝CE ，
∴∴BDE 的周长＝BD+BE+DE ＝CE+BE+DE ＝BC+DE ＝4+DE ＝OE ，
当OE∴BC 时，OE 最小，∴BDE 的周长最小，此时OE ＝3
， ∴∴BDE 周长的最小值＝4+2＝6， ∴∴正确. 故选：A.
4．边长为2的正六边形的边心距为（ ）
A ．1
B ．2
C D ．
【答案】C 【分析】
正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用勾股定理即可求出． 【详解】
解：连接OA ，作OM∴AB ，垂足为M ，连接OB ，
∴六边形ABCDEF 是正六边形 ∴∴AOB 是等边三角形 ∴∴AOM=30°，AO=AB
∴正六边形ABCDEF 的边长为2，
∴AM=1
2
AB=
1
2
×2=1，OA=2．
∴正六边形的边心距是=
故选：C．
5．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是其内部一点，且满足∴DAE+∴CBE=135°，点F为边BC上一点，点M是CD边的中点，连接EF、FM，则EF+FM的最小值为______________．
【分析】
如图，作过A、B、E三点的圆，圆心为O，在优弧上任取一点N，连接OA、OB、AN、BN，作OG∴AB 于G，连接MG，作点M关于BC的对称点H，连接CH，OH，交∴O于E′，交BC于F，由正方形的性质可求出∴AEB=135°，根据圆周角定理可得点E在劣弧AB上，可得HE′为HE的最小值，根据轴对称的性质可得FH=FM，可得E′F+FH=E′F+FN=E′H，即可得出E′H是EF+FM的最小值，根据圆内接四边形的性质可得∴ANB=45°，即可得出∴AOB=90°，可得∴AOB是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得点G为AB中点，进而可得O、G、M三点在一条直线上，根据正方形和等腰直角三角形的性质可求出OB、OG、MH的长，利用勾股定理可求出OH的长，进而求出E′H的长即可得答案．
【详解】
解：如图，作过A、B、E三点的圆，圆心为O，在优弧上任取一点N，连接OA、OB、AN、BN，作OG∴AB 于G，连接MG，作点M关于BC的对称点H，连接CH，OH，交∴O于E′，交BC于F，
∴四边形ABCD是正方形，DAE+∴CBE=135°，
∴AD//BC，∴BAD+∴ABC=180°，
∴∴BAE+∴ABE=180°-135°=45°，
∴∴AEB=180°-（∴BAE+∴ABE）=135°，
∴点E在AB上，
∴四边形AEBN是∴O的内接四边形，
∴∴ANB=45°，
∴∴ANB和∴AOB分别是AB所对的圆周角和圆心角，∴∴AOB=2∴ANB=90°，
∴∴AOB是等腰直角三角形，
∴OB=
2
，
∴OG∴AB，
∴OG=AG=BG=1
2
AB=1，
∴点M为CD中点，
∴GM//BC，GM=BC=2，
∴∴BGM=180°-90°=90°，
∴O、G、M三点在一条直线上，即OM=OG+GM=3，∴AB//CD，
∴OM∴CD，
∴点O为圆心，
∴E′H为点H到∴O的距离的最小值，
∴点H与点M关于CD对称，
∴FM=FH，CH=CM=1，
∴MH=2，
∴E′F+FH=E′F+FN=E′H，
∴出E′H是EF+FM的最小值，
∴OE′=OB，
∴E′H=OH-OE′=
6．如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长
为5，这个圆的一个联络四边形是边长为________． 【答案】1 【分析】
此题应根据题意先找到圆心位置，再根据圆心位置求出不在圆上的顶点到该圆圆心的距离即可． 【详解】
根据题意作图可分两种情况：1如图：作OP BC ⊥， BC=BO=5， ∴A ，B ，C 在圆O 上，
， 又222BP OP BO +=，
=
=
因为ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，即∴BQC=90°， 在∴BOP 与∴BQC 中，
OBP QBC
OPB BQC ∠=∠⎧⎨
∠=∠⎩
， ∴∴BOP ~∴BQC ， ∴
BP BO
BQ BC
=，
=
， ∴BQ=2， ∴BQ>BO ，
∴此情况不符合题意，舍去；
2，如图，同理可得OP= 在∴BOP 与∴BQC 中，
OBP QBC
OPB BQC
∠=∠⎧⎨
∠=∠⎩ ， ∴∴BOP ~∴BQC ，
∴BP BO
BQ BC
= ，
=
， ∴BQ=2， ∴OQ=BO -BQ=3，
∴OD=QD OQ -=BQ OQ - =1，
综上所述，这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是1． 故答案是：1．
7．已知∴O 的面积2π，则其内接正三角形的面积为_____．
【答案】
2
【分析】
先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三角形的边长，最后求其面积即可． 【详解】 解：如图所示，
连接OB 、OC ，过O 作OD∴BC 于D ， ∴∴O 的面积为2π
∴∴O ∴∴ABC 为正三角形，
∴∴BOC ＝
3603︒＝120°，∴BOD ＝1
2
∴BOC ＝60°，OB ，
∴BD ＝OB•sin∴BOD
∴BC ＝2BD ，
∴OD ＝OB•cos∴BOD •cos60°，
∴∴BOC 的面积＝
12•BC•OD ＝1222
=
∴∴ABC 的面积＝3S∴BOC ＝322
⨯
=
．
题组C 培优拔尖练
1．弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械字家莱洛首先进行研究的.弧三角形是这样画的：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，（晓观数学）其边长为半径画弧得到的三角形.在大片的麦田或农田中，由农作物倒状形成的几何图案被称为“麦田怪圈”.图1中的麦田怪圈主要由圆和弧三角形构成，某研究小组根据照片尝试在操场上绘制类似的图形.如图2，成员甲先借绳子绕行一周画出
O ，再将O 三等分，得到A ，B ，
C 三点.接着，成员乙分别以A ，B ，C 为圆心画出图中的弧三角形.研究小组在A ，B ，C ，O 四点中的
某一点放置了检测仪器，记成员甲所在的位置为P ，成员乙所在的位置为Q ，若将射线OB 绕着点O 逆时针旋转到经过甲或乙的旋转角记为自变量x （单位：°，0360x ≤<），甲、乙两人到检测仪器的距离分别记为1y 和2y （单位：m ），绘制出两个函数的图象（如图3）. 结合以上信息判断，下列说法中错误的是（）
A ．
O 的半径为6m B ．图3中a 的值为270 C ．当60x =时，y 1取得最大值12 D ．检测仪器放置在点A 处
【答案】B 【分析】
如图，根据题意，找到甲、乙对应的图像，然后求得240a =︒，以及AB =1
3601203
AOB ∠=⨯︒=︒，进而求出圆半径，再对选项逐一分析即可.
【详解】
解：∴将射线OB 绕着点O 逆时针旋转到经过甲或乙的旋转角记为自变量x ，且成员乙所在的位置为Q ， ∴根据如图3所示，实线部分图像距离先保持不变，再下降至0，然后上升可判断则实线部分为应为乙的图象，（点Q 在以A 点为圆心画的BC 上，则AQ 距离不变），
∴当Q 点从B 点逆时针运动时，图像如图中实线所示，检测仪器应该在A 点， ∴Q 从B 点到A 点时，运动的角度为2
3
个圆周， ∴ 2
3602403
a =
⨯︒=︒，
结合图可得AB =1
3601203
AOB ∠=
⨯︒=︒， 如图，连接AB 、OA 、OB ，过O 作OD∴AB 于点D ， ∴OA=OB,OD∴AB ，
∴11
=
6022
AD BD AB AOD BOD AOB ==∠=∠=∠=︒ ∴30OBD ∠=︒
∴
6
cos30DB OB =
==︒， ∴
O 的半径为6m
如图，当射线OB 转至BC 中点位置时，即P 在OA 所在直线上，y1取最大值，长度为O 的直径12m ，
此时转过的圆心角为60°，即60x =. ∴A 、C 、D 正确， 故选B.
2．如图，圆O 是∴ABC 的外接圆，连接OA 、OC ，∴OAC ＝20°，则∴ABC 的度数为（ ）
A．140°B．110°C．70°D．40°
【答案】B
【分析】
根据OA＝OC得到∴OAC＝∴OCA＝20°，进而得到∴AOC＝140°，在优弧AC上任取一点D，得到∴ADC ＝70°，然后根据内接四边形的性质即可求解．
【详解】
∴OA＝OC，∴OAC＝20°
∴∴OAC＝∴OCA＝20°，
∴∴AOC＝180°﹣20°×2＝140°，
在优弧AC上任取一点D，连接AD、CD，如下图所示，
∴∴ADC＝70°
∴根据内接四边形的性质∴ABC=180°-70°=110°
故选：B．
32，则这个多边形的内角和为（）
A．720︒B．360︒C．240︒D．180︒
【答案】A
【分析】
设AB是正多边形的一边，OC∴AB，在直角∴AOC中，利用三角函数求得∴AOC的度数，从而求得中心角的度数，然后利用360度除以中心角的度数，求出边数，根据内角和公式即可求出多边形的内角和.
【详解】
如图：
∴2，
∴2，
设AB 是正多边形的一边，OC∴AB ， 2OC OA OB k ===，，
在直角∴AOC 中，2
OC cos AOC AO ∠==
， ∴∴AOC=30°， ∴∴AOB=60°， 则正多边形边数是：
360660︒
︒
=， ∴多边形的内角和为：()62180720-⨯︒=︒， 故选：A ．
4．同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )
A B ．3 4
C ．
D ．4 3
【答案】A
【分析】试题解析：设圆的半径为R ， 如图（一），连接OB ，过O 作OD∴BC 于D ，
则∴OBC=30°，，
故R；
如图（二），连接OB、OC，过O作OE∴BC于E，
则∴OBE是等腰直角三角形，
2BE2=OB2，即BE=
2
R，
故；
故选A．
5．秋千拉绳长3米,静止时踩板离地面0.5米,一小朋友荡该秋千时, 秋千最高处踩板离地面2米(左,右对称),则该秋千所荡过的圆弧长为( )
A．π米B．2π米C．4
3π米D．3
2
π米
【答案】B
【分析】根据题意先作辅助线BG∴AC于G，然后确定AG=1.5，根据在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，得∴BAG=60°，从而求得∴BAF=120°，最后求出弧长．
【详解】
如图，AD垂直地面于D并交圆弧于C，BE垂直地面于E．由题意BE=2，AC=3，CD=0.5,
作BG∴AC于G，则AG=AD-GD=AC+CD-BE=1.5．
由于AB=3，所以在直角三角形ABG中，∴BAG=60°．
根据对称性，知∴BAF=120°．
所以，秋千所荡过的圆弧长是120π×3
180
=2π，
故选B.
6．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有（）
A．4个B．8个C．12个D．24个
【答案】C
【分析】正多边形，每边都相等，因为有20个等分点，所以边数是20的约数．分解20=2×2×5，约数有1，2，4，5，10，20共6个，排除1和2，符合条件的正多边形共有四种：正四边形、正五边形、正十边形和正二十边形．
【详解】
设正k边形满足条件，则除去k个顶点外的20-k个点均匀地分布在正k边形各边所对的劣弧上，
于是2020
k
k k
-
=-1是整数，
故20
k
是整数，
但k≥3，
∴k=4或5或10或20．
∴正多边形的个数有20202020 451020
+++=12．
故选C．
7．已知正三角形的边长为12，则这个正三角形外接圆的半径是( )
A．B C．D．
【答案】D
【分析】设正∴ABC的中心为O，
如图，连接OB，作OD∴BC，由正三角形的边长可知BC=12，∴OBD=30°，求得BD=6，然后根据锐角三
角形函数可知：.
故选：D.。