地工132理论力学1汇总

学院 专业 班级 学号 姓名 密封线内不要答题 密封线内不要答题
江苏科技大学张家港校区
09-10学年第一学期理论力学期终考试试卷（A 卷）
参考答案与评分标准 考试日期2010-1
分数 题号
一 二 三
总分 11 12 13 14 15 得分
一、选择题（共4小题，每小题5分，共计20 分） 1、（5分）由三力平衡定理知： A 。

（A ）共面不平行的三个力，如果平衡，则三力必汇交于一点；（B ）共面三力若平行，则必定不能平衡；（C ）三力汇交于一点，则这三力必互相平衡；（D ）若三个力汇交于一点，但不共面，也可能平衡。

2、（5分）水平梁AB （视为均质杆）重为P ，长为2a ，其A 端插入墙内，B 端与重量为Q 的均质杆BC 铰接，C 点靠在光滑的铅直墙上，α=∠ABC , 则C 点的反力是 B 。

（A ）方向向上，大小等于Q/2 ；
（B ）方向向右，大小等于α
αsin 2cos Q ；
（C ）方向向右，大小等于Q/2 ；
（D ）方向向右，大小等于α
α
cos 2sin Q 。

3、（5分）已知摇杆OC 的匀角速度ω，已知L ，上下平动杆上的销M 可在摇杆OCOC 的槽内滑动，则当摇杆OCOC 转到图示ϕ角位置时，销钉M 作为动点，其绝对速度a v 等于____C______。

（A ）L ω （B ）
ϕ
ωcos L
（C ）ϕ
ω2cos L
（D ）ϕωcos L
ω
ϕ
L
C
O
M
A
B
C
P
Q α
4、（5分）行星齿轮A 的半节圆半径为r ，固定齿轮O 的半节圆半径为R 。

若曲柄OA 的匀角速度为ω，则行星齿轮A 边缘上的点D （该瞬时D 点正好在OA 的延长线上，如图）
的速度D v
的大小为__ B____。

（A ）)2(r R +ω （B ）)(2r R +ω （C ）)(r R +ω （D ）r
ω2
二、填空题（共6小题，每题5分，共计30分）
5、（5分）试画出下图的约束力
6、（2+3=5分）在图示结构中，各构件的自重不计。

在构件AB 上作用一矩为M 的力偶，构件AB 与构件BC 用铰 B 连接如图，AC 为固定铰支座，则支座C 的约束力的方向应 沿 CB 指向B 方向，且其大小等于a
M
42。

x
y
D
A
R
r
O
ω
Ax F
Ay F
B F
7、（3+2=5分）动点作曲线运动，当速度=v 0 时，加速度a 沿切线方向。

8、（3+2=5分）曲柄OA 长为r 、绕O 轴转动，并通过套筒A 带动构件BCD 运动，如图所示。

在角速度ωϕ=∙
（逆时针方向转动），045=ϕ瞬时，构件BCD 的速度大小等于
ωr 2
2。

【要求画出三种速度矢量图，在动点A 处分析】
9、（2+3=5分）质量为M ，半径为R 的均质圆盘以角速度ω绕O 轴转动，其边缘上焊接一质量为m ，长度为b 的均质细杆AB ，如右图示。

则该系统对O 点的动量矩大小ωωω⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+++=412121222
2b R m mb MR L o ； 系统对O 的转动惯量⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+++=412121222
2b R m mb MR J o 。

10、（5分）图示均质杆AB=L ，质量为m ，已知A 端速度为v ，则AB 杆的动能2
9
2mv T =
m ，L
B
v
A
60
ω
R B
A
O A
B
C D
O
ϕ
r v
a v e v
三、分析计算题（共5小题，每题10分，共计50分）
11、（10分）由AC 和CD 组成的组合梁通过铰链C 连接。

它的支承和受力如图。

已知均布载荷强度m KN q /10=，力偶矩m KN M ⋅=40，不计梁自重，求支座A 、B 、D 的约束力与铰链C 处所受的力。

解：分别取梁ABC 和CD 为研究对象，并作它们受力图如图（b ）（C ）所示。

由图（C ）列平衡方程得，
2,00
,00
2M F 40D
=+-====--=∑∑∑D
Cy
y
Cx
x
C
F q F F F F q M ，…（2分） 可解得，KN q
M F D 154
2=+=
，方向向上…（2分） 0=Cx F
KN F q F D Cy 52=-=，方向向上
再对图（b ）列平衡方程得，
2,00
,004620=-+--==-==--=∑∑∑Cx B Ay y
Cx Ax x Cy B A F F q F F
F F F F q F M ，…（2分）
可解得，Cx Ax F F =
KN F q F Cy
B 402
46=+=
，方向向上…（2分）
KN F q F F Cy B Ay 152=--=，方向向下…（2分）
所以，支座A 处的约束反力为0=Ax F ，KN F Ay 15=； 支座B 处的约束反力为KN F B 40=；
支座D 处的约束反力为KN F D 15=；铰链C 处的约束反力为0=Cx F ，KN F Cy 5=。

M
q
A
B
C
D
2m
2m
2m
2m
q
A
B
C
2m
2m
Ax F
Cx F
Cy F
B F
Ay F
图b
M
q
Cx F
D F
C
D
2m
2m
图C
Cy F
12、（10分） 均质杆AB 和BC 在B 端铰接,AB=BC=L ，A 端铰接在墙上，C 端则受墙阻挡，墙与C 端接触处的摩擦系数5.0=f 。

已知两杆长度相等，重量相同，为P 。

【1】求系统平衡时，C 处的总约束力的大小与方向； 【2】试确定平衡时的最大角度θ=？ 解：【1】取整体为研究对象，受力如图所示； 由于系统平衡：
02
cos 2sin 20)(=⨯-⨯=∑θθL P L F F M N
A ， 解得，2
cot 21θ
P F N = （1）
再取BC 杆为研究对象，由∑=0)(F M B
得，02
cos 2cos 22
sin =⨯-⨯
+⨯θθθ
L F L P L F S N 化简得，
02
tan 21=-+S N F F P θ
（2） 将（1）代入（2）式，解得：P F S = 则C 出总约束力2
cot 4112θ
+=P F C ， 与水平方向夹角为)2
tan 2arctan(2
cot 411arccos
2
θ
θ
=+
【2】此时S F 为最大静摩擦力，N S F f F ⨯=S ，则4
1
arctan 2=θ
A
B
C θ
Ax F
Ay F
S F
N F P
P
13.（10分） 曲柄OA 以匀角速度s rad /6=ω转动，带动直角平板ABC 和摇杆BD 运动，已知OA=10cm ，AC=15cm ，BC=45cm ，BD=40cm.试求当机构运动到图示位置(OA ⊥AC ，BD//AC) 时，点A 、B 、C 的速度、平板的角速度1ω以及BD 的角速度BD ω。

解：平板ABC 作平面运动，由B A v v ，速度方向， 则P 点为速度瞬心，如图：…（2分）
1
11
ωωωωω⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=CP v BD v BP v AP v OA v C BD B B A A …（6分） 解得：
s rad s rad s m v s m v s m v C B A /5.0/3
4
/510
/2.0/6.0BD 1==
=
==ωω，，，，…（2分）
ω
A
B
C
D
O
P
14、（10分）如图，已知轮O 的半径为R ，转动惯量为J ，在已知驱动力矩M 的作用下，带动质量为m 的小车沿光滑斜面上升，斜面的倾角为θ 。

求小车上升的加速度a=?
解：取小车与鼓轮组成质点系，视小车为质点。

以顺时针为正，此质点系对轴O 的动量矩为：R v m J L O +=ω…（2分）
系统外力对轴O 的矩为：R mg M M e O ⋅-=θsin )(…（2分）
由质点系对轴O 的动量矩定理，有：
R mg M mvR J t
⋅-=+θωsin ][d d
…（2分） 因为R v =
ω ，
a t
v
=d d …（2分） 得：2
2sin mR
J mgR MR a +-=θ
…（2分）
θ
R R
'O
O
M T F
O
M
g m
ox F
oy F
15、（10分）图示机构中，沿斜面纯滚动的圆柱体'
O 和鼓轮O 为均质物体，质量均为m ，半径均为R ，绳子不伸缩，其质量不计。

粗糙斜面的倾角为θ，不计滚阻力偶。

如在鼓轮上作用一常力偶M 。

求：（1）鼓轮的角加速度α； （2）绳子中的张力T
F ；
（3）轴承O 的水平约束力。

解：（1）选取圆柱体'
O ，鼓轮O ，绳索整体作为研究对象，圆柱体'
O 作刚体平面运动，鼓轮绕O 轴转动；
应用动能定理，初时刻：01=T 末时刻：2
221222
12121''ωωO O O J J mv T ++=
21'ωωR R v O ==，221'mR J O =，22
1mR J O = 2
2
22ωmR T =，……（2分） 系统外力作功θϕϕsin 12mg R M W -= 由动能定理1212W T T =-，………………（2分）
得θϕϕωsin 02
22
mg R M mR -=-，对t 求一阶导数，可得： 2222)sin (2ωθαωmgR M mR -=，
则2
22s i n mR
mgR M θ
α-=…………………………（2分） （2）对鼓轮应用刚体定轴转动微分方程，对其受力分析如图示：
)(2F M J O O ∑=α，R F M mR mgR M mR T -=-2
2
2sin 21θ
则，R
mgR M F T 4sin 3θ
+=………………………………（2分）
（3）对鼓轮O 应用质心运动定理∑=)
(e x cx
F ma 得θcos 0T x F F -=，则R
mgR M F x 82sin cos 6θ
θ+=……………………（2
一、是非题
1、力有两种作用效果，即力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。

（√）
2、在理论力学中只研究力的外效应。

（√）
3、两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。

（×）
4、作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相
同，
大小相等，方向相反。

（√）5、作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。

（×）
6、三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。

（×）
7、平面汇交力系平衡时，力多边形各力应首尾相接，但在作图时力的顺序可以不同。

（√）
8、约束力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。

（×）
9、在有摩擦的情况下，全约束力与法向约束力之间的夹角称为摩擦角。

（×）
10、用解析法求平面汇交力系的平衡问题时，所建立的坐标系x，y轴一定要相互垂直。

（×）11、一空间任意力系，若各力的作用线均平行于某一固定平面，则其独立的平衡方程
最多只有3个。

（×）
12、静摩擦因数等于摩擦角的正切值。

（√）
13、一个质点只要运动，就一定受有力的作用，而且运动的方向就是它受力方向。

（×）
14、已知质点的质量和作用于质点的力，质点的运动规律就完全确定。

（×）
15、质点系中各质点都处于静止时，质点系的动量为零。

于是可知如果质点
系的动量为零，则质点系中各质点必都静止。

（×）16、作用在一个物体上有三个力，当这三个力的作用线汇交于一点时，则此力系必然
平衡。

（×）
17、力对于一点的矩不因力沿其作用线移动而改变。

（√）
18、在自然坐标系中，如果速度υ= 常数，则加速度α= 0。

（×）
19、设一质点的质量为m，其速度 与x轴的夹角为α，则其动量在x轴上的投影为
mvx =mvcos a。

（√）
20、用力的平行四边形法则，将一已知力分解为F1和F2两个分力，要得到唯一解答，
必须具备：已知F1和F2两力的大小；或已知F1和F2两力的方向；或已知F1或F2中任一个力的大小和方向。

( √ )
21、 某力在一轴上的投影与该力沿该坐标轴的分力其大小相等，故投影就是分力。

( ×
)
22、 图示结构在计算过程中，根据力线可传性原理，将力P 由A 点传至B 点，其作用
效果不变。

( × )
23、 作用在任何物体上的两个力，只要大小相等，方向相反，作用线相同，就一定平
衡。

( × )。

24、 在有摩擦的情况下，全约束力与法向约束力之间的夹角称为摩擦角。

（× ）
25、 加速度dt v d 的大小为dt dv。

（×）
26、 已知质点的质量和作用于质点的力，质点的运动规律就完全确定。

（× ） 27、 质点系中各质点都处于静止时，质点系的动量为零。

于是可知如果质点系的动量
为零，则质点系中各质点必都静止。

（ × ）
28、 两个力合力的大小一定大于它分力的大小。

（× ）
29、 约束力的方向总是与约束所能阻止的被约束的物体的运动方向是一致的。

（ × ）。

30、 两平面力偶的等效条件是：这两个力偶的力偶矩相等。

（ × ）
31、 刚体的运动形式为平动，若刚体上任一点的运动已知，则其它各点的运动随之确
定。

（ √ ）
二、选择题（每题2分。

请将答案的序号填入划线内。

） 1、 、空间力偶矩是 4 。

①代数量； ②滑动矢量； ③定位矢量； ④自由矢量。

2、 一重W 的物体置于倾角为α的斜面上，若摩擦系数为f ，且tg α<f ，则物体 1 ，
若增加物重量，则物体 1 ；若减轻物体重量，则物体 1 。

①静止不动； ②向下滑动； ③运动与否取决于平衡条件。

3、 直角刚杆A O = 2m ，BO = 3m ，已知某瞬时A 点的速度 U A= 6m/s ；而B 点的加
速度与BO 成α= 60°角。

则该瞬时刚杆的角度速度ω 1 = rad/s ，角加速度α= 4 rad/s2。

①3；②3；③53；④93。

4、一动点作平面曲线运动，若其速率不变，则其速度矢量与加速度矢量 b 。

A：平行；B：垂直；C：夹角随时间变化；D：不能确定
5、质点系动量守恒的条件是（ b ）。

A：作用于质点系的内力主矢恒等于零；B：作用于质点系的外力主矢恒等于零；C：作用于质点系的约束反力主矢恒等于零；D：作用于质点系的主动力主矢恒等于零；
6、若作用在A点的两个大小不等的力F1和F2，沿同一直
线但方向相反。

则其合力可以表示为③。

①F1－F2；②F2－F1；③F1＋F2；
7、作用在一个刚体上的两个力F A、F B，满足F A=－F B的条件，则该二力可能是
②。

①作用力和反作用力或一对平衡的力；②一对平衡的力或一个力偶。

③一对平衡的力或一个力和一个力偶；④作用力和反作用力或一个力偶。

8、三力平衡定理是①。

①共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点；
②共面三力若平衡，必汇交于一点；
③三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。

9、已知F1、F2、F3、F4为作用于刚体上的平面共
点力系，其力矢关系如图所示为平行四边形，由此
④。

①力系可合成为一个力偶；
②力系可合成为一个力；
③力系简化为一个力和一个力偶；
④力系的合力为零，力系平衡。

10、在下述原理、法则、定理中，只适用于刚体的有①③④。

①二力平衡原理；②力的平行四边形法则；
③加减平衡力系原理；④力的可传性原理；
⑤作用与反作用定理。

11、正立方体的顶角上作用着六个大小相等的力，此力系向任一点简化的结果是
①。

①主矢等于零，主矩不等于零；
②主矢不等于零，主矩也不等于零；
③主矢不等于零，主矩等于零；
④主矢等于零，主矩也等于零。

12、图示四个力四边形中，表示力矢R是F1、F2和F3的合力图形是(BD )
13、图示力F1、F2、F3和F4分别在坐标轴X上的投影的计算式为( A )
A.X1=-F1cosα1
B.X2=-F2cosα2
C.X3=-F3cosα3
D.X4=-F4cosα4
14、固定铰支座约束反力( C )
A.可以用任意两个相互垂直的通过铰心
的力表示
B.可以用任意一个大小和方向未知的通过铰心的力表示
C.其反力的方向在标定时可以任意假设
D.其反力的方向在标定时不可以任意假设
15、力对物体作用效果，可使物体( D )
A.产生运动
B.产生内力
C.产生变形
D.运动状态发生改变和产生变
16、作用在刚体上的二力平衡条件是( B )
A.大小相等、方向相反、作用线相同、作用在两个相互作用物体上
B.大小相等、方向相反、作用线相同、作用在同一刚体上
C.大小相等、方向相同、作用线相同、作用在同一刚体上
D.大小相等、方向相反、作用点相同
17、平面力系向点1简化时，主矢FR＝0，主矩M1≠0，如将该力系向另一点2简化，
则（B ）。

A：FR≠0，M2≠0；B：FR＝0，M2≠M1；C：FR＝0，M2＝M1；D：FR≠0，M2＝M1。

18、光滑面对物体的约束反力，作用在接触点处，其方向沿接触面的公法线( a )
A.指向受力物体，为压力
B.指向受力物体，为拉力
C.背离受力物体，为拉力
D.背离受力物体，为压力
19、图示三铰拱架中，若将作用于构件AC上的力偶M平移至构件BC上，则A、B、
C三处的约束反力( D )
A.只有C处的不改变
B.只有C处的改变
C.都不变
D.都改变
20、牵连运动是指( a )
A.动系相对于静系的运动
B.牵连点相对于动系的运动
C.静系相对于动系的运动
D.牵连点相对于静系的运动
21、汽车以匀速率v在不平的道路上行驶，如图所示。

当通过A、B、C三个位置时，
汽车对路面的压力分别为FA、FB、FC，则( b )
A.FA=FB=FC
B.FA>FB>FC
C.FA<FB<FC
D.FA=FB>FC
22、一物重P，用细绳BA、CA悬挂如图所示，且角α=60°。

若将BA绳突然剪断，
则该瞬时CA绳的张力为( b )
A.0
B.0.5P
C.P
D.2P
23、构件在外力作用下平衡时，可以利用( b )
A.平衡条件求出所有未知力
B.平衡条件求出某些未知力
C.力系的简化求未知力
D.力系的合成或分解求未知力
24、图示中四个力F1、F2、F3、F4对B点之矩是
( a )
A.mB(F1)=0
B.mB(F2)=F2l
C.mB(F3)=F3lcos45°
D.mB(F4)=F4l
25、物体在一个力系作用下，此时只能( d )不会改变原力系对物体的外效应。

A.加上由二个力组成的力系
B.去掉由二个力组成的力系
C.加上或去掉由二个力组成的力系
D.加上或去掉另一平衡力系
26、重P的均质圆柱放在V型槽里，考虑摩擦柱上作用一力偶，其矩为M时（如图），
圆柱处于极限平衡状态。

此时按触点处的法向反力NA 与NB 的关系为 ② 。

①NA = NB ； ②NA > NB ； ③NA < NB 。

27、在图示机构中，杆O1 A
//
O2 B ，杆O2 C
//
O3 D ，且O1 A = 20cm ，O2 C = 40cm ，
CM = MD = 30cm ，若杆AO1 以角速度 ω = 3 rad / s 匀速转动，则D 点的速度的大小为 ② cm/s ，M 点的加速度的大小为 ④ cm/s2。

① 60； ②120； ③150； ④360。

28、 曲柄OA 以匀角速度转动，当系统运动到图示位置（OA//O1 B 。

AB
|
OA ）时，有A V
① B V ，A α ② B α，ωAB ① 0，εAB ② 0。

①等于； ②不等于。

29、图示均质杆OA 质量为m 、长度为l ，则该杆对O 轴转动惯量为（ D ）
A ．12m l
B ．12m 2l
C ．3ml
D ．3m 2l
30、当具有一定速度的物体作用到静止构件上时，物体的速度发生急剧改变，由于惯性，使构件受到很大的作用力，这种现象称为冲击，例如（ d ） A ．电梯上升 B ．压杆受压
C．齿轮啮合D．落锤打桩
三、计算题
1、水平梁AB的A端固定，B端与直角弯杆BEDC用铰链相连，定滑轮半径R = 20cm，CD = DE = 100cm，AC = BE = 75cm，不计各构件自重，重物重P=10kN，求C,A处的约束力。

（20分）
2、图示平面结构，自重不计。

B 处为铰链联接。

已知：P = 100 kN ，M = 200 kN ·m ，L1 = 2m ，L2 = 3m 。

试求支座A 的约束反力。

3、一水平简支梁结构，约束和载荷如图所示，求支座A 和B 的约束反力。

a
a a a
A
B
C
D
E M
P
q
4、已知：图示平面结构，各杆自重不计。

M=10kN ⋅m ，F=20kN ，
max q =8kN/m ，2l m =，
A ，
B ，D 处为铰链连接，E 处为固定端。

求：Ａ，Ｅ处的约束力。

+
5、两根铅直杆AB、CD与梁BC铰接，B、C、D均为光滑铰链，A为固定端约束，各梁的长度均为L=2m，受力情况如图。

已知：P=6kN，M=4kN·m，qO=3kN/m,试求固定端
A及铰链C的约束反力。

6、求指定杆1、2、3的内力。

7、求图示桁架中1号杆的内力。

8、一组合梁ABC 的支承及载荷如图示。

已知F ＝1KN ，M ＝0.5KNm ，求固定端A 的约束反力。

（15分）
F
1 A
B
3m
3
3
3
m
33
D
E
9、一均质杆AB重为400N，长为l，其两端悬挂在两条
平行等长的绳上处于水平位置，如图所示。

今其中一根绳子突然被剪断，求另一根绳AE 此时的张力。

解：运动分析
绳子突然被剪断，杆AB 绕A 作定轴转动。

假设角加速度为α，AB 杆的质心为C ，由于A 点的
绝对速度为零，以瞬心A 为基点，因此有：
e C C
a a α =
l
a C α21= 方向如图所示 受力分析：
AB 杆承受重力、绳子拉力、惯性力和惯性力矩 利用动静法，对质心C 建立力矩方程： 由
=∑C M
有 0
21=⨯-*
l T M C
即 0
21
1212=-Tl ml α （1）
由
0=∑Y
有
0=-+*
mg F T C 即 0
21
=-+mg lm T α （2）
联立（1）（2）两式，解得：
l g 23=
α N T 100
=
【注】本题利用质心运动定理和绕质心转动的动量矩定理也可求解
10、边长b =100mm 的正方形均质板重400N ，由三根绳拉住，如图所示。

求：1、当FG 绳被剪断的瞬时，AD 和BE 两绳的张力；2、当AD 和BE 两绳运动到铅垂位置时，两绳的张力。

A
C
e c
a α α
2
/l 2
/l
A
B
C
α
*
C
F *C
M mg
T
2
/l 2
/l
A
B
E D
A D E
B
60º
F G
11、图中，均质梁BC质量为4m、长4R，均质圆盘质量为2m、半径为R，其上作用转矩
M，通过柔绳提升质量为m的重物A。

已知重物上升的加速度为a=0.4g，求固定端B 处约束反力。

12、均质杆AB长为L=2.5m，质量为50kg，位于铅直平面内，A端与光滑水平面接触，B
端由不计质量的细绳系于距地面h高的O点，如图所示。

当绳处于水平位置时，杆由静止开始下落，试用动静法求解此瞬时A点的约束反力和绳子的拉力。

13、图示机构中，曲柄OC 绕O 轴转动时，滑块A 沿曲柄滑动，从而带动杆AB 在铅直导槽K 中移动，已知OC = a ，OK = l ，今在C 作用一与曲柄垂直的力Q ，在点B 沿BA 作用有力P ，试确定机构平衡时P 与Q 的关系。

O
A
B C
Q
P
x
y
K
a
l
φ
A B
C
D
E G
H F P F Q
F Gx
F Gy F Hy F Hx
F Hz
14、水平矩形板刚性地固结于铅垂支柱GH 的中点E ，已知支柱长2b ，板的AB 边长为6a ，CB 边长8a ，E 点为板之形心。

在C 处作用铅垂力FP ，A 处作用力FQ 如图示，FQ 力之延长线经过GH 支柱，且与AE 的夹角为300，板和柱的自重不计。

试求G 、H 处的约束反力
15、不等高曲柄连杆机构中，曲柄r AB =，其上作用一力偶M ，连杆BC 长l ，滑块C 上作用一力F 。

各处摩擦不计。

试求平衡时M 与F 的关系。

正确解答：
系统具有一个自由度，取广义坐标为θ，曲柄AB 可绕A 轴转动，其虚位移为δθ，B
点的虚位移δθδr r B =。

滑块C 受水平滑道约束，故其虚位移C r δ沿滑道如图14所示。

由
虚位移原理，
=⋅∑i i
r F
δ，有
0=+-C r F M δδθ （1）
连杆BC 可作平面运动，故B 、C 两点的虚位移在BC 连线上投影相等，即
ϕδψδc o s c o s C B r r =
其中，由几何关系可知
θϕψ--=0
90，故有
()
ϕδθϕδθcos 90cos 0
C r r =-- 即 ()δθϕθϕδcos sin +=r r C （2）
x
y θ
δθ
B
r δψ
h
M B
A
C
将式（2）代入式（1），得
()0c o s s i n
=+⋅
+-δθϕθϕδθr F M
因0≠δθ，所以，有
()()
ϕθθϕθϕt a n c o s s i n c o s s i n
+=+⋅=Fr r
F M
另解：用
()0=++∑z F y F x F z
y
x
δδδ求解。

取坐标Axy 如图4-4所示，则力的投影F F x -=，于是，有
()0=-+-C x F M δδθ （3）
C 点的坐标为
ϕθc o s c o s l r x C +=，ϕδϕθδθδs i n s i n l r x C --= （4）
因A 、C 之间的高差为常数h ，故有
h r l =-θϕs i n s i n
求变分，有
0c o s c o s =-θδθϕ
δϕr l 所以
ϕθ
δϕcos cos l r =
（5）
将式（4）、（5）代入式（3），有
()0cos cos sin sin =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅---+-δθϕθ
ϕθδθl r l r F M
得 ()ϕθθtan cos sin +=Fr M
图14。