2020-2021高三数学上期末一模试题及答案(1)

2020-2021高三数学上期末一模试题及答案(1)
一、选择题
1．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *
}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x
＋1；
④y ＝sin
4
4
x π
π
+
（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2
39522,1a a a a ⋅==，则1a = ( )
A ．
12
B ．2 C
D ．
2
3．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为 A ．乙丑年
B ．丙寅年
C ．丁卯年
D ．戊辰年
4．已知实数,x y 满足0{20
x y x y -≥+-≤则2y x -的最大值是( )
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2 5．在等差数列{}n a 中，若
10
9
1a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ） A ．15
B ．16
C ．17
D ．14
6．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，则2a ＋b ＋c 的最小值为( )
A ．1
B ．1
C ．＋2
D ．2
7．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若2
29m n a a a =，则
212m n
+的最小值等于（ ） A ．1
B ．
12
C ．
34 D ．
32
8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32x
y =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*
()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）
A ．2n n S T =
B ．21n n T b =+
C ．n n T a >
D ．1n n T b +<
9．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，a =
7
cos 8
A =
，则ABC ∆的面积为（ ） A ．17
B ．3
C ．15
D ．
152
10．在R 上定义运算
：A
()1B A B =-，若不等式()
x a -()1x a +<对任意的
实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<<
B ．02a <<
C ．1322
a -
<< D ．31
22
a -
<< 11．在△ABC 中，若1
tan 15013
A C BC ︒
===，，，则△ABC 的面积S 是( ) A ．
33
8
- B ．
33
4
- C ．
33
8
+ D ．
33
4
+ 12．等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么{}n a 的前7项和7S =（ ） A ．22
B ．24
C ．26
D ．28
二、填空题
13．已知x y ，满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩
，，，，则22
2x y y ++的取值范围是__________.
14．数列{
}
21n
-的前n 项1,3,7..21n
-组成集合{
}(
)*
1,3,7,21n
n A n N
=-∈，从集合n
A
中任取()1,2,3?·
·n k k =个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =++⋅⋅⋅+，例如当1n =时，{
}1111,1,1===A T S ；当2n =时，{}21221,2,13,13,13137A T T S ==+=⨯=++⨯=，试写出n S =___
15．已知数列{}n a 中，45n a n =-+，等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥，且12b a =，则12n b b b ++
+=__________．
16．在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a = ．
17．若实数,x y 满足约束条件20
0220x y x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-+≥⎩
，则3z x y =-的最小值等于_____．
18．设
，
，若
，则
的最小值为_____________.
19．设12
2012(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x a x ++++
++=++++，其中n *∈N ，且
2n ≥，若0121022n a a a a ++++=，则n =_____
20．数列{}n a 满足10a =，且
()
1*11
211n n
n N a a +-=∈--，则通项公式
n a =_______．
三、解答题
21．ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c ，，，且
sin sin sin 2sin a A b B c C a B +=+
()1求角C ；
()2求3sin cos 4A B π⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭
的最大值． 22．等差数列{}n a 中，71994,2a a a ==. (1)求{}n a 的通项公式； (2)设1
n n
b na =
，求数列{}n b 的前n 项和n S . 23．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1>0，a 8﹣a 4﹣a 3=1，a 4是a 1和a 13的等比中项. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）证明：对一切正整数n .有
12
11134
n S S S +++
<. 24．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设平面向量
()()sin cos ,sin ,cos sin ,sin p A B A q B A B =+=-，且2cos p q C ⋅=
（Ⅰ）求C ； （Ⅱ）若3,23c a b =
+=，求ABC ∆中边上的高h .
25．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的首项为1
2
，且()3122123a a a -=+。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若8n b n =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，试比较
12111
n T T T ++⋅⋅⋅+与12
n S 的大小. 26．在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1
cos 7
D =-
，2AD DC ==.
(1) 求cos DAC ∠及AC 的长；
(2) 求BC 的长.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；
②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；
③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋
1＝2m ＋
2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数； ④y ＝sin 4
4x π
π⎛⎫+
⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数.
答案：C.
2．D
解析：D 【解析】
设公比为q ，由已知得()2
2841112a q a q a q ⋅=，即2
2q
=，又因为等比数列{}n a 的公比为
正数，所以q 2
12a a q =
==
，故选D. 3．C
解析：C 【解析】
记公元1984年为第一年，公元2047年为第64年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，地支循环了五次，第四个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年. 故选C.
4．C
解析：C 【解析】
作出可行域，如图BAC ∠内部（含两边），作直线:20l y x -=，向上平移直线l ，
2z y x =-增加，当l 过点(1,1)A 时，2111z =⨯-=是最大值．故选C ．
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意可得90a >，100a <，且9100a a +<，由等差数列的性质和求和公式可得结论． 【详解】
∵等差数列{}n a 的前n 项和有最大值， ∴等差数列{}n a 为递减数列， 又
10
9
1a a <-， ∴90a >，100a <， ∴9100a a +<， 又()
118181802
a a S +=
<，()
117179171702
a a S a +=
=>，
∴0n S >成立的正整数n 的最大值是17， 故选C ． 【点睛】
本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．
6．D
解析：D 【解析】
由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－3， 得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－3 ∵a 、b 、c >0.
∴(a ＋c )·(a ＋b )≤2
2b c 2a ++⎛⎫ ⎪
⎝⎭
(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)，
∴2a ＋b ＋c ＝1)＝－2. 故选：D
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误
7．C
解析：C 【解析】
∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且2
29m n a a a =
∴2
2242
22223
339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=
∴6m n +=
∴
121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ⨯++=⨯+++≥⨯+=，当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.
点睛：利用基本不等式解题的注意点：
（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．
（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等． （3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．
8．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
由题意可得：332,323n n
n n S S +=⨯=⨯- ，
由等比数列前n 项和的特点可得数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项
公式：1
32n n a -=⨯ ，
设11n n
b b q -= ，则：111132n n n b q b q --+=⨯ ，解得：11,2b q == ，
数列{}n b 的通项公式12n n
b -= ，
由等比数列求和公式有：21n
n T =- ，考查所给的选项：
13,21,,n n n n n n n n S T T b T a T b +==-<< .
本题选择D 选项.
9．D
【解析】 【分析】
三角形的面积公式为1
sin 2
ABC S bc A ∆=，故需要求出边b 与c ，由余弦定理可以解得b 与c . 【详解】
解：在ABC ∆中，2227
cos 28b c a A bc +-==
将2b c =，6a =代入上式得222467
48
c c c +-=，
解得：2c =
由7cos 8A =得2
715sin 188A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
所以，111515
sin 242282
ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=
故选D. 【点睛】
三角形的面积公式常见形式有两种：一是
12（底⨯高），二是1sin 2bc A .借助1
2
（底⨯高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1
sin 2
bc A 时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成
立,整理后利用判别式求出a 范围即可
【详解】
A
()1B A B =-
∴()
x a -()x a +()()()()22
=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦
()x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,
221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,
()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<, 13
22
a ∴-<<
【点睛】
本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
由正弦定理求出c ， 【详解】
A 是三角形内角，1tan 3A =，∴10
sin 10
A =
， 由正弦定理sin sin a c A C
=得sin 1sin15010
sin 21010
a C c A ⨯︒===
， 又2222cos c a b ab C =+-，即
225
12cos150132
b b b b =+-︒=++， 23302b b +-
=，332b -+=（332
b --=舍去）， ∴113333
sin 1sin1502238
ABC S ab C ∆--=
=⨯⨯︒=
． 故选：A ． 【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查同角间的三角函数关系．解三角形中公式较多，解题时需根据已知条件确定先选用哪个公式，再选用哪个公式．要有统筹安排，不致于凌乱．
12．D
解析：D 【解析】
试题分析：由等差数列的性质34544123124a a a a a ++=⇒=⇒=，则
考点：等差数列的性质
二、填空题
13．；【解析】【分析】利用表示的几何意义画出不等式组表示的平面区域求出点到点的距离的最值即可求解的取值范围【详解】表示点到点的距离则三角
形为等腰三角形则点到点的距离的最小值为：1最大值为所以的最小值为：
解析：[]0,9； 【解析】 【分析】 利用
()()
22
01x y -++表示的几何意义，画出不等式组表示的平面区域，求出点
(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最值，即可求解222x y y ++的取值范围.
【详解】
()()22
222011x y y x y ++=-++-
()()
22
01x y -++表示点(0,1)A -到点(,)x y 的距离
1AO =，1910,9110AD AC =+==+=ACD 为等腰三角形
则点(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最小值为：110 所以2
2
2x y y ++的最小值为：2110-=，最大值为：101=9-
故2
2
2x y y ++的取值范围为[]09，
故答案为：[]09，
【点睛】
本题主要考查了求平方和型目标函数的最值，属于中档题.
14．【解析】【分析】通过计算出并找出的共同表示形式进而利用归纳推理即可猜想结论【详解】当时则由猜想：故答案为：【点睛】本题考查元素与集合关系的判断以及数列前项和的归纳猜想属于中档题 解析：1()
2
2
1n n +-
【解析】 【分析】
通过计算出3S ，并找出1S 、2S 、3S 的共同表示形式，进而利用归纳推理即可猜想结论． 【详解】
当3n =时,{}31,3,7A =，
则113711T =++=,213173731T =⨯+⨯+⨯=,313721T =⨯⨯=,
∴312311312163S T T T =++=++=,
由121
2
1
1212
1S ⨯==-=-，
233
2
27212
1S ⨯==-=-，
346
2
363212
1S ⨯==-=-，
⋯
猜想：(1)2
2
1n n n S +=-.
故答案为：1()2
2
1n n +-.
【点睛】
本题考查元素与集合关系的判断以及数列前n 项和的归纳猜想,属于中档题.
15．【解析】【分析】【详解】所以所以故答案为 解析：41n -
【解析】 【分析】 【详解】
()()145[415]4n n q a a n n -=-=-+---+=-，124253b a ==-⨯+=-，
所以()
1
1134n n n b b q --=⋅=-⋅-，()
1
13434n n n b --=-⋅-=⋅，
所以2
1
1214334343434114
n n n n b b b --++⋯+=+⋅+⋅+⋯+⋅=⋅=--，
故答案为41n -.
16．8【解析】【分析】【详解】设等差数列的公差为则所以故答案为8
解析：8 【解析】 【分析】 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ， 则351712610a a a a a d +=+=+=， 所以71101028a a =-=-=，故答案为8.
17．【解析】【分析】先画出可行域改写目标函数然后求出最小值【详解】依题意可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域目标函数化为：则的最小值即为动直线在轴上的截距的最大值通过平移可知在点处动直线在轴上的截距最
解析：7
2
-
【解析】 【分析】
先画出可行域，改写目标函数，然后求出最小值 【详解】
依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，
目标函数化为：3y x z =-，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为20:220
x y A x y +=⎧⎨-+=⎩解得11,2A ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，
所以3z x y =-的最小值()min 17
3122
z =⋅--=-． 【点睛】
本题考查了线性规划的简单应用，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值
18．3+22【解析】【分析】由已知可得a-1+b=1从而有2a-1+1b=(2a-1+1b)(a-1+b)展开后利用基本不等式即可求解【详解】由题意因为a>1b>2满足a+b=2所以a-1+b=1且a- 解析：
【解析】 【分析】 由已知可得，从而有
，展开后利用基本不
等式，即可求解. 【详解】 由题意，因为满足
， 所以，且
，
则
，
当且仅当
且
，即
时取得最小值
.
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
19．9【解析】【分析】记函数利用等比数列求和公式即可求解【详解】由题：记函数即故答案为：9【点睛】此题考查多项式系数之和问题常用赋值法整体代入求解体现出转化与化归思想
解析：9 【解析】 【分析】
记函数12
2012()(1)(1)(1)n n n f x x x x a a x a x a x =++++
++=++++，
012222(1)2n n f a a a a =+++
=++++，利用等比数列求和公式即可求解. 【详解】
由题：记函数2
12012()(1)(1)(1)n n n f x a a x a x a x x x x =+++
+=++++
++，
02
1222(12)
(21)212
n n
n f a a a a -=+++
++
+=
-=+， 即1221022n +-=，1
21024,9n n +==
故答案为：9 【点睛】
此题考查多项式系数之和问题，常用赋值法整体代入求解，体现出转化与化归思想.
20．【解析】【分析】构造数列得到数列是首项为1公差为2的等差数列得到【详解】设则数列是首项为1公差为2的等差数列故答案为【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法构造数列是解题的关键意在考查学生对于数列通项 解析：
22
21
n n -- 【解析】 【分析】 构造数列1
1n n
b a =
-，得到数列n b 是首项为1公差为2的等差数列21n b n =-，得到22
21n n a n -=
-. 【详解】 设1
1n n
b a =
-，则12n n
b b ，1
11
11b a =
=- 数列n b 是首项为1公差为2的等差数列
122
2121121
n n n b n n a n n a -=
⇒=--⇒--= 故答案为2221
n n -- 【点睛】
本题考查了数列的通项公式的求法，构造数列1
1n n
b a =-是解题的关键，意在考查学生对于数列通项公式的记忆，理解和应用.
三、解答题
21．()()124
C π
=2
【解析】
试题分析：（1）由正弦定理得到222a b c +=，再由余弦定理得到
()222cos 022
4
a b c C C C ab π
π+-==
∈∴=
，；（2）由第一问得到原式等价于
3
cos 44A A ππ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，化简后为2sin 6A π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，再根据角的范围得到三角函数
的范围即可． 解析：
()
2221sin sin sin sin a A b B c C B a b c +=∴+=
即2
2
2
a b c +-=由余弦定理()222cos 022
4
a b c C C C ab π
π+-==
∈∴=
，
（2cos 4A B π⎛
⎫
-+
= ⎪⎝
⎭
31
cos cos 2cos 4422A A A A A A π
π⎛⎫⎛⎫--+=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2sin 6A π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
()110,,6612
A A π
ππ
π⎛⎫∈+
∈ ⎪⎝⎭
，， 12sin 26A π⎛
⎫-≤+≤ ⎪⎝
⎭
cos 4A B π⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭的最大值为2
22．（1）12n n a +=
（2）2222222()()()122311
n n
S n n n =-+-++-=++
【解析】 【分析】 【详解】
(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d. 因为71994{
2a a a ＝，
＝，
所以11164{
1828a d a d a d +++＝，
＝（）
.
解得a 1＝1，d ＝
12.所以{a n }的通项公式为a n ＝12
n +. (2)b n ＝1n na ＝222
11
n n n n -++＝（），
所以S n ＝2222222()122311
n n n n ⎛⎫⎛⎫++⋯+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
－－－＝＋ 23．（1）a n =2n +1；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）利用等比中项的性质，结合等差数列通项公式的基本量计算，求得1,a d ，由此求得数列{}n a 的通项公式.
（2）先求得n S ，然后利用裂项求和法证得不等式成立. 【详解】
（1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，
由题意，()12
111
1
21
(3)120
d a a d a a d a -=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩， ∴数列{a n }的通项公式为a n =3+2（n ﹣1）=2n +1； （2）证明：由（1）知，()()12
322
n n n S n n n -⨯=+
=+.
∴()()
()
12
11
11111
1
132435
112n S S S n n n n +
++
=++++
+
⨯⨯⨯-++
1
2=
[1111111111
32435
112n n n n -+-+-++
-+--++]3111342124
n n ⎛⎫=-+< ⎪+⎝⎭. 【点睛】
本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等比中项的性质，考查裂项求和法，考查数列不等式的证明，属于中档题. 24．(1)3
C π
=;(2)
3
2
. 【解析】
分析：（1）由向量的数量积的运算，得222sin sin sin sin sin A B C A B +-=，
根据正弦、余弦定理得1cos 2C =
，即可得到3
C π
=； （2
）由余弦定理和a b +=3ab =，再利用三角形的面积公式，求得3
2
h =，即可得到结论．
详解：（1）因为22
cos sin sin sin p q B A A B ⋅=-+，
所以222cos sin sin sin cos B A A B C -+=，即2221sin sin sin sin 1sin B A A B C --+=-， 即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=，
根据正弦定理得2
2
2
a b c ab +-=，所以2221
cos 222
a b c ab C ab ab +-===，
所以3
C π
=
；
（2）由余弦定理()2
2
2
32cos
33
a b ab a b ab π
=+-=+-
，又a b +=3ab =，
根据ABC ∆△的面积11sin 22S ab C ch =
=
，即11
3222
⨯⨯=， 解得32h =， 所以ABC ∆中AB 边上的高3
2
h =
． 点睛：本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
25．（1）12
n n a =；（2）
1211112n n S T T T ++⋅⋅⋅+< 【解析】 【分析】
(1)根据数列{}n a 的首项为
1
2
,且()3122123a a a -=+,可得关于1a 和公比q 的不等式组,解出1a 和q 可得数列{}n a 的通项公式;
(2)根据条件分别利用等比数列和等差数列的前n 项和公式,求出{}n a 的前n 项和为n S ,{}n b 的前n 项和n T ,再用列项相消法求出12111n T T T ++⋅⋅⋅+,然后比较12111
n T T T ++⋅⋅⋅+与12
n S 的大小即可. 【详解】
解:(1)由题意,设1
1
(0)n n a a q q -=>,则()
12111122123a a q a a q ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩
, 解得1
2
q =
或2q =-(舍), ∴1
111222n n
n a -⎛⎫⎛⎫
=⨯= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
,即12n n a =.
(2)由(1)知12n n a =,∴11122111212n
n n S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-
. ∵8n b n =,∴2
44n T n n =+,
∴
2111114441n T n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
, ∴121111111111111142231414
n T T T n n n ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭, 又∵
11111111112112224242n n n n S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,11
102
n --≥, 1124
n S ∴≥ ∴
1211112
n n S T T T ++⋅⋅⋅+<. 【点睛】
本题考查了数列通项公式的求法,等差数列的前n 项和公式,等比数列的前n 项和公式和裂项相消法求数列的前n 项和,考查了方程思想和计算能力,属中档题. 26．
(1) cos DAC ∠=
AC =(2) 3 【解析】 【分析】
（1）用余弦定理求AC ，再求cos DAC ∠；
（2）先求出sin BAC ∠和sin B ，再用正弦定理可求得BC ． 【详解】
（1）ACD ∆中，由余弦定理可得：2
2
2
164
222277
AC ⎛⎫=⨯-⨯⨯-=
⎪⎝⎭，
解得AC =
11
272cos 27
AC DAC AD ∴∠===； （2）设DAC DCA α∠==∠， 由（1
）可得：cos sin αα=
=
()sin sin 120BAC α︒∴∠=
-12714
=+⨯=，
()sin sin()sin 1802B BAC BCA α︒=∠+∠=-
sin 227α===
在BAC 中，由正弦定理可得：
sin sin BC AC
BAC B
=∠，
3BC ∴=
=. 【点睛】
本题考查余弦定理，正弦定理，考查两角和与差的正弦公式，诱导公式，二倍角公式等．本题属于中档题．解三角形注意公式运用：
①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；
②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．。