2017-2018学年辽宁省沈阳市四校协作体高三年级联合考试理科数学试卷含答案

(考试日期：2017年12月14日考试)
2017-2018学年辽宁省沈阳市四校协作体高三年级联合考试
理科数学
（满分120分 时间2小时）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=2221|
x x A ，⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤-=0)21ln(|x x B ，则()R A C B =（ ） A. φ B. )21,1(- C. )1,2
1[ D. ]1,1(- 2. 若复数z 满足(3)(2)5z i --=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为（ ）
A. i +2
B. i -2
C. i +5
D. i -5
3. 若变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≤+≤，1,1,2y y x x y ， 则y x 2+的最大值是（ ）
A. 25-
B. 0
C. 35
D. 2
5 4. 已知命题"02,"02
00>-+∈∃x x R x P ：，命题ac b q =2
:"是c b a ,,成等比数列的充要条
件”.则下列命题中为真命题的是（ ）
A. q p ∧
B. ()p q ⌝∧
C. ()p q ∧⌝
D. ()()p q ⌝∧⌝ 5. 设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11
<+n
n a a ，若2053=+a a ，6453=a a ，则4S =（ ）
A. 63或120
B. 256
C. 120
D. 63
6. 已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）
A. 0322
2
=--+x y x B. 042
2
=++x y x B. 0322
2
=-++x y x D. 04-2
2
=+x y x 7. 如图所示的流程图，最后输出的n 的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 已知函数)12
2sin()(π
+=x x f ，)(x f '是)(x f 的导函数，则函数)()(2x f x f y '+=的一
个单调递减区间为（ ） A. ]127,
12[
π
π B. ]12,125[ππ-
C. ]32,3[ππ-
D. ]6
5,6[ππ- 9. 已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的两条渐近线与抛物线28y x =-的准线分别交于
B A ,两点，O 为坐标原点，若ABO ∆的面积为34，则双曲线的离心率为（ ）
A.
2
7
B. 2
C. 13
D. 4 10. 正三角形ABC 边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体ABCD 外接球表面积为（ ） A. π7 B. π19 C.
π677 D. π6
19
19 11. 已知过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的直线与抛物线交于B A ，两点，且
3AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，l AA ⊥1于点1A ，若四边形CF AA 1的面积
为312，则准线l 的方程为（ ）
A.2-=x
B.22-=x
C.2-=x
D.1-=x
12. 在矩形ABCD 中，，，21==AD AB 动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若
AP AB AD λμ=+，则μλ+的最大值为（ ）
A.3
B.22
C.5
D.2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 设a ，b 满足()131a b ==，，，且()a b a +⊥，则()
a b b -⋅的值为________.
14. 化简
=-
80sin 3
80cos 1________.
15. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积________. 16. 已知函数()x e kx x f x
-⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+=31，若()0<x f 的解集中只有
一个正整数，则实数k 的取值范围是________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17-21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）
在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2
cos 3
A =
，sin B C =． （1）求tan C 的值； （2
）若a =
ABC ∆的面积．
18．（12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且121n n a S +=+，*
n N ∈．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令32log n n c a =，2
1
n n n b c c +=⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．
19．（12分）
如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，
1AB =，12AC AA ==
，AD CD ==M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点．
（1）求证：//MN 平面ABCD ； （2）求二面角11D ACB -的正弦值．
20．（12分）
设函数2
2
()2()ln f x x ax x x x =-++-． （1）当2a =时，讨论函数()f x 的单调性；
（2）若()0,x ∈+∞时，()0f x >恒成立，求整数a 的最小值．
21．（12分）
平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>
）的离心率是2
，抛物线E ：
22x y =的焦点F 是C 的一个顶点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设P 是E 上动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上；
（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG ∆的面积为1S ，PDM ∆的面积为2S ，求1
2
S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为
22(13sin )4ρθ+=．
（1）求曲线C 的普通方程；
（2）若曲线C 与x 轴的正半轴及y 轴的正半轴分别交于点A ，B ，在曲线C 上任取一点P ，且点P 在第一象限，求四边形OAPB 面积的最大值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数()1f x x x m =-+-（1m >），若()4f x >的解集是{}
04x x x <>或． （1）求m 的值；
（2）若关于x 的不等式2
()4f x a a <+-有解，求实数a 的取值范围．
沈阳四校协作体2018届高三年级联合考试
理科数学试题参考答案
三、解答题
17.解：
18.解：
（1）∵a n
+1=2S n+1，n∈N∗，n≥2时，a n=2S n
﹣1
+1，可得a n
+1
﹣a n=2a n，即a n+1=3a n．
n=1时，a2=2a1+1=3=3a1，满足上式．
∴数列{a n}是等比数列，∴a n=3n﹣1．…………………………………………………………….6分
（2）c=log3a2n==2n﹣1．
b n===，数列{b n}的前n 项和
T n=+++…++
=………………………………………………………………………………12分
19.解：
（1）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），
A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），
又∵M、N分别为B1C、D1D的中点，∴M（1，，1），N（1，﹣2，1）．
由题可知：=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，=（0，﹣，0），
∵•=0，MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；……………………………………………………..4分
（2）解：由（I）可知：=（1，﹣2，2），=（2，0，0），=（0，1，2），
设=（x，y，z）是平面ACD1的法向量，
由，得，
取z=1，得=（0，1，1），
设=（x，y，z）是平面ACB1的法向量，
由，得，
取z=1，得=（0，﹣2，1），
∵cos＜，＞==﹣，∴sin＜，＞==，
∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为；…………………………………………………….12分
20.解：
21.解：
（1）由题意知2
3
22=
-a b a ，可得：b a 2=. 因为抛物线E 的焦点为)21
,0(F ，所以2
1,1=
=b a ， 所以椭圆C 的方程为142
2
=+y x …………………………….2分
（2）（Ⅰ）设)0)(2
,(2
>m m m P ，由y x 22=可得y'x =， 所以直线l 的斜率为m ，
因此直线l 的方程为)(22m x m m y -=-，即2
2
m mx y -=.
设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，联立方程222241m y mx x y ⎧=-
⎪⎨⎪+=⎩
得014)14(4322=-+-+m x m x m ，
由0∆>，得520+<<m 且1442
3
21+=+m m x x ， 因此1
42223
210+=+=m m x x x , 将其代入22m mx y -=得)
14(222
0+-=m m y ，
因为
m
x y 41
00-=，所以直线OD 方程为x m y 41-=. 联立方程⎪⎩
⎪⎨⎧
=-
=m x x m y 41，得点M 的纵坐标为M 14y =-，
即点M 在定直线4
1
-
=y 上…………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知直线l 方程为2
2
m mx y -=，
令0=x 得22m y -=，所以)2,0(2
m G -， 又21(,),(0,),22m P m F D ))
14(2,142(22
23+-+m m m m ， 所以)1(4
1
||2121+==
m m m GF S ， )14(8)12(||||212
2
202++=-⋅=m m m x m PM S ， 所以2
22221)
12()1)(14(2+++=m m m S S ，
令122
+=m t ，则
211)1)(12(2221++-=+-=t t
t t t S S ， 当211
=
t
，即2=t 时，2
1S S 取得最大值49，此时22=m ，满足0∆>， 所以点P 的坐标为)41
,22(
，因此12
S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为
)4
1
,22(
………………………………………………………………………………………12分
22.解： （1）
得
，由
，可得
，即
.
其参数方程为（为参数）……………………………………………5分
（2）由已知可得，设
.
则
，所以四边形
.
当
时，四边形
的面积取最大
. ……………………………………………10分
23.解
（1）解法一：
1m >
211()1121x m x f x m x m x m x m -++<⎧⎪
∴=-≤≤⎨⎪-->⎩
，，，······································· 1分
作出函数)(x f 的图象
3分
由4)(>x f 的解集为{}
40><x x x 或 及函数图象得 ⎩
⎨⎧=--⨯=++⨯-41424
102m m 得
3=m …………………………………………5分
解法二：
1m >
211()1121x m x f x m x m x m x m -++<⎧⎪
∴=-≤≤⎨⎪-->⎩
，，，················································································· 1分
① 12+14x x m <⎧⎨-+>⎩ 得⎪⎩⎪
⎨⎧-<<231
m x x
1m >得
312m -<，32
m
x -∴< ········································································ 2分 ②⎩
⎨
⎧>-≤≤411m m
x 得1(5)x m m ≤≤>，不合题意 ·
··················································· 3分 ③ ⎩⎨⎧>-->412m x m x 得⎪⎩
⎪⎨⎧+>
>25m x m x
当5m ≥时，x m >，不符合4x >，舍去 当15m <<时，52
m x +>
······················································································ 4分 综上不等式的解集为3522m m x x x ⎧-+⎫<>⎨⎬⎩
⎭或
302
542
m
m -⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩， 3m ∴= ·
······················································ 5分 （2）解法一：由（Ⅰ）得421
()213243x x f x x x x -<⎧⎪
=≤≤⎨⎪->⎩
，，
， 2)(min =x f ···················································································· 6分 4)(2-+<a a x f 有解
422-+<a a 即062>-+a a ························································· 8分 0)2)(3(>-+a a
23>-<a a 或 ····················································································· 9分 实数a 的取值范围{}
23>-<a a a 或 ·············································· 10分
解法二：由绝对值不等式几何意义得2)(≥x f ········································· 6分 4)(2-+<a a x f 有解
422-+<a a 即062>-+a a ············································· 8分 0)2)(3(>-+a a
23>-<a a 或 ······································································· 9分 实数a 的取值范围{}23>-<a a a 或 ·································· 10分。