高中数学 第二章 解析几何初步 2.1.2 直线的方程课件2高一数学课件
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的情形
2021/12/8
第十三页，共二十八页。
（二）直线(zhíxiàn)方程的实际应用
• 直线方程的实际(shíjì)应用常常与实际(shíjì)应用题相结 合，
• 它涉及到直线方程的求法、函数建模思想、消元 思想、二次函数最值求解等知识的综合应用，重 要的是通过解析法的思想，把实际问题转化成数 学问题来求解.
∴ 由中点公式，可设 B点坐标为（6-x1，-y1）
oPx
∵A、B两点分别在直线 2x-y-2=0 和x+y+3=0 上
∴
2x-y-2=0
B
由两点式可得直线 的方程为：8x-y-24=0
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第十一页，共二十八页。
变式2：直线 过点P（3，2）且与x、y轴
的正半轴分别相交于A、B两点，△OAB的
2、当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1；
3、当直线倾斜角90 °时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示，这时直线
方程为x=x1。
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第二页，共二十八页。
②直线(zhíxiàn)方程的斜截式
直线的斜率为k，与y轴的交点(jiāodiǎn)是P（0，b），
则直线 l 的方程是：
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第九页，共二十八页。
【规范解答】(1)由题意知,直线(zhíxiàn)的斜截式方程为
y=2x+1,化为一般式方程为2x-y+1=0.
(2)由题意知, 直线的两点式方程为 化为一般式方程为x-5y+7=0. (3)由题意知, 直线的截距式方程为 化为一般式方程为5x-3y-15=0. (4)由题意知,直线方程为x=4, 化为一般式方程为x-4=0.
yì)s：in
4 5
所以： tan34
直线过点 （－1，3），由直线的点斜式方程得到：
y33 4(x1)
即：4x-3y+13=0 或 4x+3y-5=0
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第八页，共二十八页。
变式1：根据下列条件写出直线方程(fāngchéng)，并化为一般式方程(fāngchéng). (1)斜率为2，且在y轴上的截距为1; (2)经过点P1(-2,1),P2(3,2)两点; (3)在x轴、y轴上的截距分别为3、-5; (4)经过点P(4,-3)，且垂直于x轴.
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第十五页，共二十八页。
【规范解答】建立如图所示的平面直角坐标系,则线段AB的方程(fāngchéng)为
xy10x30.
30 20
则设点P的坐标为(x,y),
y 20 2x . ∴公寓占地面积3为
S=(100-x)(80-y)
100x(80202x)2x210x25506000
由.
【解题提示】写出直线的方程,利用(lìyòng)变量间的等量关系建立函 数关系,并求其最值.
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第二十四页，共二十八页。
x y 1 解：(1)由题意可知AB的方程(fāngchéng)为
(0≤x≤4,
0≤y≤2),
42
∴ x=4-2y,
∴ xy=(4-2y)·y=-2(y-1)2+2,又0≤y≤2.
1
x1，y1
）、P2（
x2，y2
）的直线的
方程是：
y
yy 1
xx 1
y y x x
说明：
2
1
2
1
P1
P2
o
x
1、这个方程是由直线(zhíxiàn)上两点确定的；
2、当直线的倾斜角为0°时（y=y1） ，或当直线倾斜角90 °为时（x=x1） ，它的方
程不能用两点式求出。
3、经过点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的所有直线的方程可以写成
式
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第二十一页，共二十八页。
【解析】选D. A不正确，因为该方程不包含(bāohán)点(x1,y1); B不正确，该方程不包括截距为零的直线； C不正确，截距不与距离完全相同.只有当b＞0时,y=kx+b与y
轴的交点到原点的距离是b.
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第二十二页，共二十八页。
2.直线x-2y+4=0的截距式方程为(
面积是12，求直线 的方程
y
方法(fāngfǎ)1，题中的△OAB的面积与截距有关，B来自可利用直线方程的截距式
P（3，2）
解：设直线(zhíxiàn)的方程是axby1(a0,b0) O
Ax
所以(suǒyǐ)，A（a，0），B（0，b）
ab24 a6 a3 b2 1b4
所以，所求直线的方程是
x 6
y 4
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第十页，共二十八页。
例2：过点 P（3，0）作直线(zhíxiàn) ，使它被两相交直线
2x-y-2=0 和x+y+3=0 所截得的线段AB 恰好被 P点平分，求
直线 的方程．
y
解：设 A点坐标(zuòbiāo)（x1 ，y1 ）
A
x+y+3=0
∵线段(xiànduàn)AB 的中点为P（3，0）
直线 的方程 (zhíxiàn) --复习(fùxí)
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第一页，共二十八页。
一、基础知识回顾(huígù)：
y
P
①直线方程的点斜式：
O
x
直线的斜率(xiélǜ)为k，且经过点P（ x1，y1 ），则 直线的方程是：
y y k (x x)
1
1
说明：
1、这个方程是由直线(zhíxiàn)上一点和斜率确定的；
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第十四页，共二十八页。
【例3】某房地产公司要在荒地ABCDE上 划出一块长方形地面(不改变方位)， 拟建造一幢八层的公寓楼,问如何设计 才能使公寓楼占地面积最大?并求出最 大面积.(精确到1 m2) 【审题指导】通过读题可发现：先应转化成代数问题，也就是( jiùshì) 建系、设点、列出关于未知量的函数式，再求解.
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第六页，共二十八页。
【微思考】
直线方程的几种形式是如何(rúhé)转化的？
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第七页，共二十八页。
二、题型讲解（一）：求直线的方程
1：直线 例
(zhíxiàn)
过点
（－1，3），倾斜角的正弦是
4
求直线 的方程．
5
解：因为(yīn wèi)倾斜角 的范围是0：
又由题意(tí
（y-y1）（x2-x1）=（y2-y1）（x-x1）
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第四页，共二十八页。
④直线(zhíxiàn)方程的截距式
直线l与x轴的交点( jiāodiǎn)为P1(a,0),与y轴的交点为P2（0，b）,
其中a≠0，b≠0，则直线 l 的方程是：
x y 1 ab
y
P2
P1 o
x
说明：1这一直线方程由直线在x轴和y轴上截距确定(quèdìng)，所以叫做直线方程的截
No 常常与实际应用题相结合，。【规范解答】建立如图所示的平面直角坐标系,则线段AB的方程为。(B)
在x轴和y轴上的截距分别是a、b的直线方程为。(D)不与坐标轴平行或重合的直线方程一定可以写成两 点式或斜截式。B不正确，该方程不包括截距为零的直线
Image
12/8/2021
第二十八页，共二十八页。
x y 1 aa
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第二十六页，共二十八页。
谢谢！
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第二十七页，共二十八页。
内容(nèiróng)总结
直线的方程。变式1：根据(gēnjù)下列条件写出直线方程，并化为一般式方程.。(4)已知两点通常 选择两点式。注意：选择直线的点斜式和斜截式时，应考虑斜率不存在的情形。直线方程的实际应用
y
ykxb
P
o
x
说明：
1、上述方程是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的，叫做直线方程的斜截式。 2、我们称b为直线在y轴上截距。 3、截距b可以(kěyǐ)大于0，也可以等于或小于0。
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第三页，共二十八页。
③直线 方程的两点式 (zhíxiàn)
（ 经过 点P (jīngguò)
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第十九页，共二十八页。
三.课堂小结： 1.直线方程(fāngchéng)形式的选择技巧 一般地, (1)已知一点通常选择点斜式; (2)已知斜率通常选择斜截式或点斜式; (3)已知截距通常选择截距式; (4)已知两点通常选择两点式。 注意：选择直线的点斜式和斜截式时，应考虑斜率不存在的情形；选择截 距式时，应考虑零截距及与坐标轴平行的情形；选择两点式时，应考虑与 坐标轴.平行的情形
∴ 当y=1时，xy有最大值2，此时x=2.
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第二十五页，共二十八页。
(2)由(1) P(2，1).
当截距为零时(línɡ shí)，知设直线l：y=kx,
则1=2k， k 1 ,
即
y
1也x就, 是2y-x=20,
当截距不2 为零时，可设l为：
2 1 1, ∴a=3a，即la的方程为x+y-3=0.
2.直线的应用
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第二十页，共二十八页。
四.课后作：业
1.下列说法正确(zhèngquè)的是( )
A y y1 k是表示过点(x1,y1)且斜率为k的直线
(B)在xx轴x和1 y轴上的截距分别是a、b的直线方程为
x y 1 ab
(C)y=kx+b与y轴的交点到原点的距离是b
(D)不与坐标轴平行或重合的直线方程一定可以写成两点式或斜截
Axy1
42
Cxy1
2 4 【解析(jiě xī)】选D
)
Bxy1
42
Dxy1
4 2
依据截距式方程的形式得直线x-2y+4=0的截距式方程
为 x 。选yD 1 4 2
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第二十三页，共二十八页。
4.已知点A(4，0)，B(0，2)，动点P(x,y)在线段AB上运动. (1)求xy的最大值; (2)在(1)中xy取最大值的前提下，是否存在过点P的直线l，使l与两 坐标轴的截距相等，若存在，求l的一般式方程，若不存在，请说明理
(1)求直线AB的方程； (2)旅客最多可免费携带(xiédài)多少千克行李？
2021/12/8
第十八页，共二十八页。
【解析】(1)由图知点A(60,6)，B(80,10).由直线方程的两 点式或斜截式可求得直线AB的方程是
x-5y-30=0. (2)由(1)知x-5y-30=0，
令y=0，得x=30, 即旅客最多可免费(miǎn fèi)携带30千克行李.
1
即：2x+3y-12=0
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第十二页，共二十八页。
方法小结(xiǎojié)：直线方程形式的选择技巧
一般地, (1)已知一点通常选择点斜式; (2)已知斜率通常选择斜截式或点斜式; (3)已知截距通常选择截距式; (4)已知两点通常选择两点式。 注意：选择直线的点斜式和斜截式时，应考虑斜率不存在的情形；选择截距式 时，应考虑零截距及与坐标轴平行的情形；选择两点式时，应考虑与坐标轴.平行
距式；
2截距式适用于横、纵截距都存在且不为0的直线。
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第五页，共二十八页。
⑤直线方程(fāngchéng)的一般式：
A xB yC0(A、 B不同)为
说明：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的
关于(guānyú)x，y的二元一次方程。
在平面直角坐标系中，任何关于x，y的二元一次方程(yī cì fānɡ chénɡ)都表示一条直线。
33
3
2x525060000x30.
3
3
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第十六页，共二十八页。
Sm ax60005306017， ( 5 , 5 0 )， 3 8050190(m) 33
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第十七页，共二十八页。
变式3：如图所示，某地长途汽车客运公司规定旅客可随 身携带一定重量的行李，如果超过规定重量，则需要购 买行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(千克(qiānkè))之间 的关系用直线AB的方程表示.
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（二）直线(zhíxiàn)方程的实际应用
• 直线方程的实际(shíjì)应用常常与实际(shíjì)应用题相结 合，
• 它涉及到直线方程的求法、函数建模思想、消元 思想、二次函数最值求解等知识的综合应用，重 要的是通过解析法的思想，把实际问题转化成数 学问题来求解.
∴ 由中点公式，可设 B点坐标为（6-x1，-y1）
oPx
∵A、B两点分别在直线 2x-y-2=0 和x+y+3=0 上
∴
2x-y-2=0
B
由两点式可得直线 的方程为：8x-y-24=0
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变式2：直线 过点P（3，2）且与x、y轴
的正半轴分别相交于A、B两点，△OAB的
2、当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1；
3、当直线倾斜角90 °时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示，这时直线
方程为x=x1。
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②直线(zhíxiàn)方程的斜截式
直线的斜率为k，与y轴的交点(jiāodiǎn)是P（0，b），
则直线 l 的方程是：
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【规范解答】(1)由题意知,直线(zhíxiàn)的斜截式方程为
y=2x+1,化为一般式方程为2x-y+1=0.
(2)由题意知, 直线的两点式方程为 化为一般式方程为x-5y+7=0. (3)由题意知, 直线的截距式方程为 化为一般式方程为5x-3y-15=0. (4)由题意知,直线方程为x=4, 化为一般式方程为x-4=0.
yì)s：in
4 5
所以： tan34
直线过点 （－1，3），由直线的点斜式方程得到：
y33 4(x1)
即：4x-3y+13=0 或 4x+3y-5=0
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变式1：根据下列条件写出直线方程(fāngchéng)，并化为一般式方程(fāngchéng). (1)斜率为2，且在y轴上的截距为1; (2)经过点P1(-2,1),P2(3,2)两点; (3)在x轴、y轴上的截距分别为3、-5; (4)经过点P(4,-3)，且垂直于x轴.
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【规范解答】建立如图所示的平面直角坐标系,则线段AB的方程(fāngchéng)为
xy10x30.
30 20
则设点P的坐标为(x,y),
y 20 2x . ∴公寓占地面积3为
S=(100-x)(80-y)
100x(80202x)2x210x25506000
由.
【解题提示】写出直线的方程,利用(lìyòng)变量间的等量关系建立函 数关系,并求其最值.
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x y 1 解：(1)由题意可知AB的方程(fāngchéng)为
(0≤x≤4,
0≤y≤2),
42
∴ x=4-2y,
∴ xy=(4-2y)·y=-2(y-1)2+2,又0≤y≤2.
1
x1，y1
）、P2（
x2，y2
）的直线的
方程是：
y
yy 1
xx 1
y y x x
说明：
2
1
2
1
P1
P2
o
x
1、这个方程是由直线(zhíxiàn)上两点确定的；
2、当直线的倾斜角为0°时（y=y1） ，或当直线倾斜角90 °为时（x=x1） ，它的方
程不能用两点式求出。
3、经过点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的所有直线的方程可以写成
式
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【解析】选D. A不正确，因为该方程不包含(bāohán)点(x1,y1); B不正确，该方程不包括截距为零的直线； C不正确，截距不与距离完全相同.只有当b＞0时,y=kx+b与y
轴的交点到原点的距离是b.
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2.直线x-2y+4=0的截距式方程为(
面积是12，求直线 的方程
y
方法(fāngfǎ)1，题中的△OAB的面积与截距有关，B来自可利用直线方程的截距式
P（3，2）
解：设直线(zhíxiàn)的方程是axby1(a0,b0) O
Ax
所以(suǒyǐ)，A（a，0），B（0，b）
ab24 a6 a3 b2 1b4
所以，所求直线的方程是
x 6
y 4
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例2：过点 P（3，0）作直线(zhíxiàn) ，使它被两相交直线
2x-y-2=0 和x+y+3=0 所截得的线段AB 恰好被 P点平分，求
直线 的方程．
y
解：设 A点坐标(zuòbiāo)（x1 ，y1 ）
A
x+y+3=0
∵线段(xiànduàn)AB 的中点为P（3，0）
直线 的方程 (zhíxiàn) --复习(fùxí)
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一、基础知识回顾(huígù)：
y
P
①直线方程的点斜式：
O
x
直线的斜率(xiélǜ)为k，且经过点P（ x1，y1 ），则 直线的方程是：
y y k (x x)
1
1
说明：
1、这个方程是由直线(zhíxiàn)上一点和斜率确定的；
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【例3】某房地产公司要在荒地ABCDE上 划出一块长方形地面(不改变方位)， 拟建造一幢八层的公寓楼,问如何设计 才能使公寓楼占地面积最大?并求出最 大面积.(精确到1 m2) 【审题指导】通过读题可发现：先应转化成代数问题，也就是( jiùshì) 建系、设点、列出关于未知量的函数式，再求解.
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【微思考】
直线方程的几种形式是如何(rúhé)转化的？
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二、题型讲解（一）：求直线的方程
1：直线 例
(zhíxiàn)
过点
（－1，3），倾斜角的正弦是
4
求直线 的方程．
5
解：因为(yīn wèi)倾斜角 的范围是0：
又由题意(tí
（y-y1）（x2-x1）=（y2-y1）（x-x1）
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④直线(zhíxiàn)方程的截距式
直线l与x轴的交点( jiāodiǎn)为P1(a,0),与y轴的交点为P2（0，b）,
其中a≠0，b≠0，则直线 l 的方程是：
x y 1 ab
y
P2
P1 o
x
说明：1这一直线方程由直线在x轴和y轴上截距确定(quèdìng)，所以叫做直线方程的截
No 常常与实际应用题相结合，。【规范解答】建立如图所示的平面直角坐标系,则线段AB的方程为。(B)
在x轴和y轴上的截距分别是a、b的直线方程为。(D)不与坐标轴平行或重合的直线方程一定可以写成两 点式或斜截式。B不正确，该方程不包括截距为零的直线
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x y 1 aa
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内容(nèiróng)总结
直线的方程。变式1：根据(gēnjù)下列条件写出直线方程，并化为一般式方程.。(4)已知两点通常 选择两点式。注意：选择直线的点斜式和斜截式时，应考虑斜率不存在的情形。直线方程的实际应用
y
ykxb
P
o
x
说明：
1、上述方程是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的，叫做直线方程的斜截式。 2、我们称b为直线在y轴上截距。 3、截距b可以(kěyǐ)大于0，也可以等于或小于0。
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③直线 方程的两点式 (zhíxiàn)
（ 经过 点P (jīngguò)
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三.课堂小结： 1.直线方程(fāngchéng)形式的选择技巧 一般地, (1)已知一点通常选择点斜式; (2)已知斜率通常选择斜截式或点斜式; (3)已知截距通常选择截距式; (4)已知两点通常选择两点式。 注意：选择直线的点斜式和斜截式时，应考虑斜率不存在的情形；选择截 距式时，应考虑零截距及与坐标轴平行的情形；选择两点式时，应考虑与 坐标轴.平行的情形
∴ 当y=1时，xy有最大值2，此时x=2.
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(2)由(1) P(2，1).
当截距为零时(línɡ shí)，知设直线l：y=kx,
则1=2k， k 1 ,
即
y
1也x就, 是2y-x=20,
当截距不2 为零时，可设l为：
2 1 1, ∴a=3a，即la的方程为x+y-3=0.
2.直线的应用
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四.课后作：业
1.下列说法正确(zhèngquè)的是( )
A y y1 k是表示过点(x1,y1)且斜率为k的直线
(B)在xx轴x和1 y轴上的截距分别是a、b的直线方程为
x y 1 ab
(C)y=kx+b与y轴的交点到原点的距离是b
(D)不与坐标轴平行或重合的直线方程一定可以写成两点式或斜截
Axy1
42
Cxy1
2 4 【解析(jiě xī)】选D
)
Bxy1
42
Dxy1
4 2
依据截距式方程的形式得直线x-2y+4=0的截距式方程
为 x 。选yD 1 4 2
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4.已知点A(4，0)，B(0，2)，动点P(x,y)在线段AB上运动. (1)求xy的最大值; (2)在(1)中xy取最大值的前提下，是否存在过点P的直线l，使l与两 坐标轴的截距相等，若存在，求l的一般式方程，若不存在，请说明理
(1)求直线AB的方程； (2)旅客最多可免费携带(xiédài)多少千克行李？
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【解析】(1)由图知点A(60,6)，B(80,10).由直线方程的两 点式或斜截式可求得直线AB的方程是
x-5y-30=0. (2)由(1)知x-5y-30=0，
令y=0，得x=30, 即旅客最多可免费(miǎn fèi)携带30千克行李.
1
即：2x+3y-12=0
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方法小结(xiǎojié)：直线方程形式的选择技巧
一般地, (1)已知一点通常选择点斜式; (2)已知斜率通常选择斜截式或点斜式; (3)已知截距通常选择截距式; (4)已知两点通常选择两点式。 注意：选择直线的点斜式和斜截式时，应考虑斜率不存在的情形；选择截距式 时，应考虑零截距及与坐标轴平行的情形；选择两点式时，应考虑与坐标轴.平行
距式；
2截距式适用于横、纵截距都存在且不为0的直线。
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⑤直线方程(fāngchéng)的一般式：
A xB yC0(A、 B不同)为
说明：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的
关于(guānyú)x，y的二元一次方程。
在平面直角坐标系中，任何关于x，y的二元一次方程(yī cì fānɡ chénɡ)都表示一条直线。
33
3
2x525060000x30.
3
3
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Sm ax60005306017， ( 5 , 5 0 )， 3 8050190(m) 33
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变式3：如图所示，某地长途汽车客运公司规定旅客可随 身携带一定重量的行李，如果超过规定重量，则需要购 买行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(千克(qiānkè))之间 的关系用直线AB的方程表示.