高级微观经济学（蒋殿春）课后习题及参考答案（第1-2章）

习题及参考解答（Ch1-2）
原教科书上个别题目有误，此处已作修改，此外题号也有所变更，请注意。

第1章
习题：
1-1两种产品x 和y 唯一需要的要素投入是劳动L 。

一单位x 产品需要的劳动投入量是8，
一单位y 产品需要的劳动投入量是1。

假设可投入的劳动量总共为48， 1) 写出生产可能集Z 的代数表达式； 2) 写出生产（隐）函数； 3) 在(,)x y 平面上显示生产边界。

1-2试画出Leontief 生产函数
121122(,)min{,}f x x x x b =
的等产量线。

1-3 对Cobb-Douglas 生产函数
1212(,)f x x A x x a b
= (0,,0A a b >>)
1) 证明1122,MP y MP y x a b ==； 2) 求技术替代率TRS 12；
3) 当y 或21x 变化时，TRS 12如何随之变化？ 4) 画出等产量曲线。

1-4 对CES 生产函数
11122()y A x x a
a a d d =+, 121,0A d d +=>，
1) 证明边际产出1[]i i i MP A y x a a d -=； 2) 求技术替代率TRS 12；
3) 当y 或21x x 变化时，TRS 12如何随之变化？ 4) 证明技术替代弹性1)s a =-。

1-5 证明：CES 生产函数在1a =时变为线性函数，在0a ®时变为Cobb-Douglas 函数，在
a ? 时变为Leontief 生产函数。

1-6
1) 试证明欧拉定理：对任何k 次（0k ³）齐次生产函数()f x ，总有
()i i i
f
kf x x ¶=¶åx
2) 用生产函数121
2(,)f x x A x x a b
= (0,,0A a b >>)验证欧拉定理。

1-7 下列生产函数的规模收益状况如何？
1) 线性函数：1212(,),,0f x x ax bx a b =+>；
2) Leontief 生产函数； 3) Cobb-Douglas 生产函数； 4) CES 生产函数。

1-8 证明：
1) 对于二元生产函数12(,)f x x ，替代弹性可以表示为：
1211221222121212122211()
[2]f f x f x f x x f f f f f f f s +=--
2) 如果生产函数12(,)f x x 还是一次齐次的，则进一步有：
121212()()
()()()f f f f s =x x x x x
解答： 1-1：
1) 生产可能集为{(,,)|848}Z x y L x y L =-+＃
2) 生产函数为8x y L += 3) 略。

1-2： 1-3：
1) 11112121
(,)y
MP f x x Ax x x a b
a a -¢
=== 1
2212122
(,)y
MP f x x Ax x x a b b b -¢===
2) 121221
MP x
TRS MP x =-
=- 3)y 变化时，技术替代率保持不变；21/x x 变化时，12T RS 随之等比例的变化。

4) 图略。

1-4：
1)
1
x 2
21b b
111112211/1112211()()
()(1/)/i i i i i i i
MP A x x x A A x x x A y x a a a a
a
a
a a a a a
a d d a d a
d d d d -----=+轾=+犏臌
轾=犏臌 2) 11212
21x T RS x a
d d -骣÷
ç÷=-ç÷ç÷桫
3) y 变化时，技术替代率保持不变；21/x x 变化时，12T RS 随之等比例的变化。

4) 为简洁，记21/z x x =。

按定义
[]1
121212
12
121
()()(1)1/(1)
T RS d T RS T RS dz
d T RS z dz z z z a a s a a ----轾犏
==犏臌=-=-
1-5：
1) 将1a =代入CES 函数，立即得到1122y A x A x d d =+，这是线性函数； 2) 当0a ®时，CES 函数成为不定式，为求其极限，对CES 函数取对数：
1122ln()ln x x y
A a a
d d a +=
利用洛必达法则，
112200111222
011221
12212
12
ln()lim ln lim ln ln lim ln ln ln a b
x x y
A x x x x x x x x x x a a
a a a a a a a d d a
d d d d d d d d ®+=+=++=+= 其中12
1212
,a b d d d d d d =
=++ 故12a b
y Ax x =
这是Cobb-Douglas 生产函数。

3) 对CES 函数取对数，求极限，利用洛必达法则：
11221112221122ln()ln ln lim ln lim lim x x x x x x y
A x x a a a a
a a a a a d d d d a d d ?ギ-ギ- ++==+ 若12x x =，约分后上式等于1ln x ，从而 12y A x A x ==
若12x x ¹，不妨设12x x >，此时12(/)1x x a >，
112122111222
211221122
(/)ln ln ln ln lim lim ln (/)x x x x x x x x x x x x x a a a a a a a a d d d d d d d d ?ギ- ++==++
从而2y Ax =。

同理可证当12x x <时有1y Ax =。

综合各种不同情况，当a ? 时，CES 生产函数
变为Leontief 函数形式：
12min{,}y A x A x = 1-6:
1) 对于k 次齐次函数，0t " ()()k f t t f ºx x
恒等式两端对t 微分：
1()
()()k i i i f t kt f x tx -¶º¶åx x
取1t =即得到欧拉公式。

2) 略。

1-7：
线性生产函数、Leontief 生产函数以及CES 市场函数都是规模收益不变的；当
1(1,1)a b +=><时，Cobb-Douglas 生产函数1
2y x x a b
=是规模收益不变（递增、递减）的。

1-8：
由定义，
1
2112121212
1221()()
()()d x x T RS T RS d T RS d T RS x x z
dz
s -轾犏= 犏臌
其中21/z x x =。

将21x zx =代入生产函数中，等产量曲线方程可以写为 011(,)0f x zx y -=
由这个隐函数方程解出1x ，记为1()x g z =。

在上面的方程中对z 求导：
12()()
()[()
()]0f g z f g z zg z ⅱ??=
得到：
112
12
()dx x f g z dz f zf ¢==-+ 由于1122[(),()][(),()]
f g z zg z T R S f g z zg z =-
12121
22211122
21222121211222112122
222112221112122212()[()][()]
()()[2]()
d T RS f f g f g zg f f g f g zg dz f f f f f g f f zf f f f zf f g f x f f f f f f f f f zf ⅱⅱ++-++=¢
-++--=
+-=
+
在上式中代入21/z x x =，利用欧拉定理，得到：
221212122211121222()[2]
d T RS x x f f f f f f f dz f f +-= 从而
121222121212122211[2]
f f f
x x f f f f f f f s =
--
由于()f x 是一次齐次的，所以1f 和2f 都是零次齐次函数，应用欧拉定理有：11220i i x f x f +=，从而
211112221212,x x
f f f f x x =-=-
代入上述s 的表达式，得：
1212
122222
121212112212[2]f f f f f f x x f f x f x f f f
s =
=++ 第2章
原题：
2-1 对于Cobb-Douglas 生产函数：12y A x x a b
=，,0a b >，1a b + ，0A >。

1) 验证：仅在参数条件1a b + 下，利润最大化问题的二阶条件才能得到满足。

2) 求要素需求函数和产品供给函数（可在结果中保留变量y ）； 3) 求利润函数；
4) 验证利润函数是12(,,)p w w 的一次齐次函数； 5) 验证Hotelling 引理。

2-2 不利用包络定理，证明Hotelling 引理。

2-3 厂商在短期内以可变要素1和固定要素2生产一种市场价格为p 的产品，生产函数为
1323
1212(,)f x x x x =，要素1和2的价格分别为1w 和2w 。

1) 求厂商的短期可变要素需求； 2) 求厂商的短期利润函数。

2-4 某厂商以一种投入同时生产两种产品，生产函数是
22
120y y x +-=
试求该厂商的要素需求和产品供给。

2-5 一个多产品市场厂商的生产函数是(,)0g =y x ，对其利润最大化问题(2.32)， 1) 写出角点解的一阶必要条件；
2) 写出内点解的二阶必要条件并解释其含义。

2-6 如果一个厂商的技术是规模收益递增的，产品价格和要素价格都保持不变。

证明：这个厂商的利润或者是零，或者是无穷大。

2-7 假设某厂商以两种投入生产一种产品，生产函数12(,)y f x x =是凹函数；产品市场和要素市场都是完全竞争的，即是说厂商的行为不改变产品和要素的价格。

厂商追求利润最大化，但它资金紧张，可用于购买要素的钱只有0B >，这样它还受预算约束：
1122w x w x B +
1) 在上述预算约束下，推导厂商的最优要素投入条件；
2) 假设现在存在另一种可选要素3，它与要素2是相互完全替代的（投入一单位要素2与一单位要素3没有区别）；要素3的价格高于要素2的价格：32w w >，不过厂商使用要素3不受预算约束的限制 我们可以想象要素3的销售商允许赊账。

在什么情况下厂商会使用要素3？试推导此时厂商对三种要素的最优需求条件。

解答： 2-1
1) 利润最大化问题的一阶必要条件是
11121
1212
2
py
w pA x x x py w pA x x x a b
a b a a b b --==
==
由此立即得要素需求：
1212(,)(,)py py
x p x p w w a b ==
w w （为简洁起见没有求出消去变量y 的需求函数形式） 将上述要素需求代入生产函数：
1
2
1
2
py py
p p
y A Ay w w w w a b
a b
a b a a a b +骣骣骣骣鼢鼢珑珑鼢鼢==珑珑鼢鼢珑珑鼢鼢桫
桫桫
桫
解出y 即为产品供给：
1
1111
2(,)p p
y p A
w w a
b
a b a b
a b
a b ------骣骣鼢珑鼢=珑鼢珑鼢桫桫
w
2) 根据定义，利润函数是
121122111112(,,)(,)(,)(,)
(,)(,)(,)(1)p w w py p w x p w x p py p py p py p p p pA
w w a
b
a b a b
a b
p a b a b a b ------=--=--骣骣鼢珑鼢=--珑鼢鼢珑桫桫
w w w w w w
3) 根据上面求出的利润函数表达式，显然有1212(,,)(,,)tp tw tw t p w w p p =； 4) 1212(,,)(,,)tp tw tw t p w w p p =是显然的； 5) 首先，注意到12(,,)p w w p 中p 的幂次为
1
1111a b a b a b a b
+
+=------
很容易看出
(,)y p p
p
¶=¶w ； 为证明11/(,)w x p p 抖=-w ，注意到12(,,)p w w p 中与1w 有关的部分仅为
11
p w a
a b
a --骣÷ç÷
ç÷÷ç桫
而
11111
1
11p p
w w w w a
a
a b a b
a a a a
b ----骣骣¶鼢珑鼢
=-珑鼢鼢珑-桫
桫 从而
111111
121
1
p p pA
w w w w py x w a
b
a b a b
a b
p a
a b a ------骣骣¶鼢珑鼢=-珑鼢珑鼢¶桫桫
=-=-
类似地可验证22/(,)w x p p 抖=-w 。

2-2
下面的证明方法其实是对正文图2.4中思想的正式表述。

对任何的价格参数(*,*)p w ，*0,*p >w 0?，记相应的要素需求和产品供给分别为*y 和*x 。

现在如果价格变为(,)p w ，而厂商没有相应地调整生产计划，仍然使用要素投入*x ，它将得到利润
(,)**p py P =-w wx
这当然不是厂商此时能获得的最大利润(,)p p w ，因为后者是根据价格(,)p w 对生产计划进行了最适调整后得到的。

我们将这两个利润水平的差定义为一个新的函数：
(,)(,)(,)p p p d p =-P w w w
根据前面对右边两项的讨论，(,)0p d ³w 。

但由假设*x 是价格(*,*)p w 下的最优要素投入，从而(*,*)(*,*)p p p P =w w 。

所以，函数(,)p d w 在(*,*)p w 取得最小值，进而它必将满足下面的一阶必要条件：
(*,*)
(*,*)
(,)
(,)
0,
0i p p p p p w d d 抖==抖w w w w
这就是：
(*,*)
(*,*)
(,)
(,)
*p p p p y p p p 抖P =
=抖w w w w
(*,*)(*,*)
(,)
(,)
*i i i p p p p x w w p 抖P =
=-抖w w w w
由于(*,*)p w 是任取的，这就证明了Hotelling 引理。

2-3
1) 厂商的短期利润最大化问题是 11/3
2/3
12
1122max ()x px x w x w x 轾-+犏臌 一阶必要条件是：2/32/3
121103
px x w --=
3/2
1213p x x w 轾犏
=犏臌
2) 短期利润函数为
1/2
1/3
2/3
3/2
2221222
331
1
1/2222331()()()()p p w w p w x p x x w x w x p w x p =--轾=-犏臌
3）从前面所求的短期利润2()x p 的形式看，根据价格参数12(,,)p w w 的不同可分三种情况： (a) 若1/2
223
31()0p
w p w -<，则取20x =可使2()x p 达到长期利润最大化水平0； (b)
若1/2223
31
()0p
w p w -=，任何2x 下均有2()0x p º，这同时也是长期利润最大化水平；
(c)
若1/2
223
31
()0p
w p w ->，长期利润最大化问题无有限解，所以任何一个有界的2x < 都不能达到长期利润最大化目标。

或者说，只有取2x = 才会使短期和长期利润相等。

2-4
厂商面对的问题是 121122,,2212max[]
..0
y y x
p y p y wx s t y y x --+-=
将技术约束方程改为2212
x y y =+并代入目标函数，将其变为一个无约束的最大值问题，其一阶必要条件为：
201,2.i i p wy i -== 由此立即得产品供给1,2.2i i p y i w
==
要素需求是
22
12
2
4p p x w
+= 2-5：如果需要考虑角点解，应该求解下面的问题：
,max[]
..(,)0s t g -=³x y
py wx y x x 0
拉格朗日函数是
1
(,)n
i i i L g x l m ==--+
å
py wx y x
一阶必要条件：在最优点(*,*)y x ，存在*l 及*0(1,,.)i i
n m ?K ，使得
(*,*)**01,,.i i i i g L
w i n x x l m ¶¶=--+==抖y x K (*,*)*01,,.j j j
g L
p j k y y l ¶¶=-==抖y x K
(*, *)0L
g l
¶=-=¶y x 并且满足互补松弛条件： **01,,.i i x i n m ==K
2-6
如果生产技术是规模收益递增的，按定义，对于任何不为零的要素组合0>x 和1t >，都有()()f t tf >x x ，从而
()()()
()[()]()
t pf t t tf t t f t p p =->-=-=x x w x x wx x wx x
所以，只要存在0>x 使得()0p >x ，厂商在投入组合x 基础上扩大生产规模总可以提高利润，而且这种过程可以无休无止地延续下去，最终厂商获得的利润将是无穷大。

例外情况是，厂商在任何投入水平x 上的利润都是非正值（角点解），此时厂商只有接受0利润。

2-7：
1) 厂商面对的问题是 12
121122,1122max (,)()
..0
x x pf x x w x w x s t w x w x B -++-
如果约束是不束紧的，资金B 足够厂商购买它达到利润最大化所需的要素量，问题变为一个无约束的标准利润最大化问题，分析过程与正文中没有半点不同。

现假设约束是束紧的，这样上述问题就演化为一个等式约束问题。

作Lagrange 函数：
1211221122(,)()()L pf x x w x w x w x w x B l =-+-+-
一阶必要条件是：
12(,)(1)0i i i
f x x L
p w x x l ¶¶=-+=抖 1122()0L
w x w x B l
¶=-+-=¶ 将第一个等式改写为 1i
i pf w l
=+ 代入第二个条件等式 1122[]
01p f x f x B l +-=+
解出1122[]
1p f x f x B
l +=
-，代回第一个条件，得到
1122
1,2.i i f x f x f w i B
+==
2) 在可用资金约束不束紧的情况下，厂商必然不会使用要素3。

以下不妨假设该约束是束紧的。

由于要素3与要素2是完全替代的，生产函数可以写为：
123123(,,)(,)g x x x f x x x ?
厂商此时面对的问题变为：
12
123112233,1122max[(,)()
..0
x x pf x x x w x w x w x s t w x w x B +-+++-
Lagrange 函数：
1231122331122(,)()()L pf x x x w x w x w x w x w x B l =+-++-+- 一阶必要条件是：
(1)01,2.i i i
L
pf w i x l ¶=-+==¶
233
0L
pf w x ¶=-=¶ 1122()0L
w x w x B l
¶=-+-=¶ 容易看出，1122
322(1)f x f x w w w B
l +=+=
从而，三种要素的最优投入条件可归纳为： 311223
112322
,,w f x f x w pf w pf w w B w +==
=。