人教A版高中数学必修三2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(二)
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反思与感悟 解析答案
跟踪训练3 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下 (单位：t/hm2)，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 解 甲品种的样本平均数为10，样本方差为
返回
►If I had not been born Napoleon, I would have liked to have been born Alexander. 如果今天我不是拿破仑的话，我想成为亚历山大。
►Never underestimate your power to change yourself! 永远不要低估你改变自我的能力！
解析答案
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达标检测
1 234
1.下列说法正确的是( B ) A.在两组数据中，平均数较大的一组方差较大 B.平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小 C.方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和 D.在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高 解析 A中平均数和方差是数据的两个特征，不存在这种关系； C中求和后还需取平均数； D中方差越大，射击越不平稳，水平越低.
第二章 § 2.2 用样本估计总体
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字 特征(二)
学习目标
1.理解样本数据方差、标准差的意义，会计算方差、标准差； 2.会用样本的基本数字特征(平均数、标准差)估计总体的基本数字特征； 3.体会用样本估计总体的思想.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
和标准差见下表：
甲
乙
丙
丁
平均数 x
8.5 8.8 8.8
8
标准差 s
3.5 3.5 2.1 8.7
则参加运动会的最佳人选应为( C )
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
5.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下： 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.
则：(1)平均命中环数为_7__； 解析 x ＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4) ＝7100＝7.
乙 25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 25.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48 从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高？(结果保留小数点后3位)
ห้องสมุดไป่ตู้
解析答案
(2)命中环数的标准差为_2__. 解析 ∵s2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋ (9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4， ∴命中环数的标准差为2.
解析答案
规律与方法
1.标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程 度.方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差. 2.现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知 的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但 要求样本有较好的代表性. 3.在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也具 有随机性.用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有 唯一答案.
2.平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们
作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些
极端情况显然是不能忽视的.因此，还需要用标准差来反映数据的分散程度.
3.现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，虽然总体的平均数与标准
差客观存在，但是我们无从知道.所以通常的做法是用样本的平均数和标准 差去估计总体的平均数与标准差.虽然样本具有 随机 性，不同的样本测得 的数据不一样，与总体的数字特征也可能不同，但只要样本的 代表性 好，
知识点一 方差、标准差 思考 若两名同学的两门学科的平均分都是80分，一名是两门均为80分， 另一名是一门40分，一门120分，如何刻画这种差异？
答案 可以通过考察样本数据的分散程度的大小.
答案
一般地， (1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示.
s＝
1n[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2].
[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]÷5＝0.02.
乙品种的样本平均数也为10，样本方差为
[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]÷5＝0.244.
因为0.244>0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.
类型二 方差、标准差的计算 例2 从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下： 甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42； 乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40； 试计算甲、乙两组数据的方差和标准差.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练2 求出跟踪训练1中的甲、乙两运动员射击成绩的标准差，结 合跟踪训练1的条形图体会标准差的大小与数据离散程度的关系. 解 x 甲＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，同理可得 x 乙＝7. 根据标准差的公式，得 s 甲＝ 110[7－72＋8－72＋…＋4－72]＝2； 同理可得s乙≈1.095.所以s甲>s乙. 因此说明离散程度越大，标准差就越大.
解析答案
类型三 标准差及方差的应用 例3 甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件.为了对两人的生产 质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件，量得其内径尺寸如下 (单位：mm)： 甲 25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39
这样做就是合理的，也是可以接受的.
答案
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 感受数据的离散程度
例1 分别计算下列四组样本数据的平均数，并画出条形图，说明它们的 异同点. (1)5,5,5,5,5,5,5,5,5； (2)4,4,4,5,5,5,6,6,6； (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7； (4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.
(2)标准差的平方 s2 叫做方差.
s2＝1n[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2](xn是样本数据，n 是样本容量， x 是样本平均数). (3)标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近.s＝0 时，每一组样本 数据均为 x .
知识点二 用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征 1.样本的基本数字特征包括 众数 、中位数 、平均数 、 标准差 .
反思与感悟 解析答案
跟踪训练1 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中 的环数如下： 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 试求出甲、乙两人本次射击的平均成绩， 并画出两人成绩的频率分布条 形图，你能说明其水平差异在哪里吗？
解析答案
►Living without an aim is like sailing without a compass. 生活没有目标，犹如航海没有罗盘。
►A man is not old as long as he is seeking something. A man is not old until regrets take the place of dreams. 只要一个人还有追求，他就没有老。直到后悔取代了梦想，一个人才算老。
解析答案
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2.将某选手的9个得分(不完全相同)去掉1个最高分，去掉1个最低分，
则一定会发生变化的是( D )
A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
答案
3.样本101,98,102,100,99的标准差为( A )
A. 2
B.0
C.1
D.2
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答案
1 234
4.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会的射击项目选拔赛，四人的平均成绩
跟踪训练3 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下 (单位：t/hm2)，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 解 甲品种的样本平均数为10，样本方差为
返回
►If I had not been born Napoleon, I would have liked to have been born Alexander. 如果今天我不是拿破仑的话，我想成为亚历山大。
►Never underestimate your power to change yourself! 永远不要低估你改变自我的能力！
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1.下列说法正确的是( B ) A.在两组数据中，平均数较大的一组方差较大 B.平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小 C.方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和 D.在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高 解析 A中平均数和方差是数据的两个特征，不存在这种关系； C中求和后还需取平均数； D中方差越大，射击越不平稳，水平越低.
第二章 § 2.2 用样本估计总体
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字 特征(二)
学习目标
1.理解样本数据方差、标准差的意义，会计算方差、标准差； 2.会用样本的基本数字特征(平均数、标准差)估计总体的基本数字特征； 3.体会用样本估计总体的思想.
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题型探究
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问题导学
新知探究 点点落实
和标准差见下表：
甲
乙
丙
丁
平均数 x
8.5 8.8 8.8
8
标准差 s
3.5 3.5 2.1 8.7
则参加运动会的最佳人选应为( C )
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
5.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下： 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.
则：(1)平均命中环数为_7__； 解析 x ＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4) ＝7100＝7.
乙 25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 25.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48 从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高？(结果保留小数点后3位)
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解析答案
(2)命中环数的标准差为_2__. 解析 ∵s2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋ (9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4， ∴命中环数的标准差为2.
解析答案
规律与方法
1.标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程 度.方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差. 2.现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知 的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但 要求样本有较好的代表性. 3.在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也具 有随机性.用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有 唯一答案.
2.平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们
作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些
极端情况显然是不能忽视的.因此，还需要用标准差来反映数据的分散程度.
3.现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，虽然总体的平均数与标准
差客观存在，但是我们无从知道.所以通常的做法是用样本的平均数和标准 差去估计总体的平均数与标准差.虽然样本具有 随机 性，不同的样本测得 的数据不一样，与总体的数字特征也可能不同，但只要样本的 代表性 好，
知识点一 方差、标准差 思考 若两名同学的两门学科的平均分都是80分，一名是两门均为80分， 另一名是一门40分，一门120分，如何刻画这种差异？
答案 可以通过考察样本数据的分散程度的大小.
答案
一般地， (1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示.
s＝
1n[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2].
[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]÷5＝0.02.
乙品种的样本平均数也为10，样本方差为
[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]÷5＝0.244.
因为0.244>0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.
类型二 方差、标准差的计算 例2 从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下： 甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42； 乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40； 试计算甲、乙两组数据的方差和标准差.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练2 求出跟踪训练1中的甲、乙两运动员射击成绩的标准差，结 合跟踪训练1的条形图体会标准差的大小与数据离散程度的关系. 解 x 甲＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，同理可得 x 乙＝7. 根据标准差的公式，得 s 甲＝ 110[7－72＋8－72＋…＋4－72]＝2； 同理可得s乙≈1.095.所以s甲>s乙. 因此说明离散程度越大，标准差就越大.
解析答案
类型三 标准差及方差的应用 例3 甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件.为了对两人的生产 质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件，量得其内径尺寸如下 (单位：mm)： 甲 25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39
这样做就是合理的，也是可以接受的.
答案
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重点难点 个个击破
类型一 感受数据的离散程度
例1 分别计算下列四组样本数据的平均数，并画出条形图，说明它们的 异同点. (1)5,5,5,5,5,5,5,5,5； (2)4,4,4,5,5,5,6,6,6； (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7； (4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.
(2)标准差的平方 s2 叫做方差.
s2＝1n[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2](xn是样本数据，n 是样本容量， x 是样本平均数). (3)标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近.s＝0 时，每一组样本 数据均为 x .
知识点二 用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征 1.样本的基本数字特征包括 众数 、中位数 、平均数 、 标准差 .
反思与感悟 解析答案
跟踪训练1 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中 的环数如下： 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 试求出甲、乙两人本次射击的平均成绩， 并画出两人成绩的频率分布条 形图，你能说明其水平差异在哪里吗？
解析答案
►Living without an aim is like sailing without a compass. 生活没有目标，犹如航海没有罗盘。
►A man is not old as long as he is seeking something. A man is not old until regrets take the place of dreams. 只要一个人还有追求，他就没有老。直到后悔取代了梦想，一个人才算老。
解析答案
1 234
2.将某选手的9个得分(不完全相同)去掉1个最高分，去掉1个最低分，
则一定会发生变化的是( D )
A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
答案
3.样本101,98,102,100,99的标准差为( A )
A. 2
B.0
C.1
D.2
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