2015年广西南宁中考数学试题及答案解析

2015年广西南宁中考数学试题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2015年）3的绝对值是（）
A．3 B．-3 C．D．
2．（2015年）如图所示是由四个大小相同的正方体组成的几何体，那么它的主视图是（）
A．B．C．D．
3．（2015年）快速公交（简称：BRT）将在今年底开始动工，预计2016年下半年建成并投入试运营，首条BRT西起火车站，东至东站，全长约为11300米，其中数据11300用科学记数法表示为（）
A．B．C．D．
4．（2015年）某校男子足球队的年龄分布如图条形图所示，则这些队员年龄的众数是（）
A．12 B．13 C．14 D．15
5．（2015年）如图，一块含角的直角三角板ABC的直角顶点A在直线DE上，且BC//DE，
则等于（ ）
A ．
B ．45
C ．60
D ．90
6．（2015年）不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．（2015年）如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠B=70°，则∠C 的度数为（ ）
A ．35°
B ．40°
C ．45°
D ．50°
8．（2015年）下列运算正确的是（ ） A ．
B ．
C ．347a a a ⋅=
D ．
9．（2015年）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ） A ．108°
B ．90°
C ．72°
D ．60° 10．（2015年）如图，已知经过原点的抛物线的对称轴是直线
，
下列结论中：
，
， 当
.正确的个数是（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
11．（2015年）如图，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点M 在⊙O 上，,N 是弧MB 的
中点，P 是直径AB 上的一动点，若MN=1，则
周长的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
12．（2015年）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2， 4}=4，按照这个规定，方程的解为（）A．B．C．D．
二、填空题
13．（2015年）因式分解：_____．
14．（2015年）要使分式有意义，则字母的取值范围是_____．
15．（2015年）一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，随机提取一个小球，则取出的小球标号是奇数的概率是_____．
的度数是__________．16．（2015年）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边DCE，则AEC
17．（2015年）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上（点B在点A的右侧），且AB//轴，若四边形OABC是菱形，且AOC=60，则_____．
18．（2015年）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿轴做如下移动，第一次点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次
将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离不小于20，那么的最小值是_____．
三、解答题
19．（2015年）计算：
20．（2015年）先化简，再求值：.
21．（2015年）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点的坐标分别为A（－1,1），B（－3,1），C（－1,4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形；
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留）
22．（2015年）今年5月份，某校九年级学生参加了市中考体育考试，为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表（图11-1）和扇形统计图（图11-2），根据图表中的信息解答下列问题：
（1）求全班学生人数和m的值；
（2）直接学出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段；
（3）该班中考体育成绩满分共有3人，其中男生2人，女生1人，现需从这3人中随机选取2人到八年级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率．
23．（2015年）如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，
（1）求证：≌.
（2）若DEB=90，求证四边形DEBF是矩形.
24．（2015年）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a 米．
（1）用含a 的式子表示花圃的面积．
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的3
8
，求出此时通道的宽．
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y 1（元）、y 2（元）与修建面积x （m 2
）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？
25．（2015年）如图，AB 是⊙Ｏ的直径，C 、G 是⊙Ｏ上两点，且,过点C 的直线CD
BG 于点D ，交BA 的延长线于点E ，连接BC ，交OD 于点F.
（1）求证：CD 是⊙Ｏ的切线. （2）若
,求
E 的度数.
（3）连接AD ，在（2）的条件下，若CD=，求AD 的长.
26．（2015年）在平面直角坐标系中，已知A 、B 是抛物线2y ax =（0a >）上两个不同的点，其中A 在第二象限，B 在第一象限，
（1）如图1所示，当直线AB 与x 轴平行，∠AOB =90°，且AB =2时，求此抛物线的解析式和A 、B 两点的横坐标的乘积．
（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB 与x 轴不平行，∠AOB 仍为90°时，A ．B 两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． （3）在（2）的条件下，若直线22y x =--分别交直线AB ，y 轴于点P 、C ，直线AB 交y 轴于点D ，且∠BPC =∠OCP ，求点P 的坐标．
广西2015中考数学试题
参考答案
1．A 【解析】
试题分析：若a ＞0，则|a|=a ；若a=0，则|a|=0；若a ＜0，则|a|=﹣a ．3的绝对值是3．故选A.
考点：绝对值． 2．B 【解析】
根据题意的主视图为：，
故选B 3．B 【解析】
试题分析：用科学记数法表示较大的数形式为，n 的值为
整数位数少1．∴
.故选B.
考点：用科学记数法表示较大的数． 4．C 【解析】
试题解析：观察条形统计图知：为14岁的最多，有8人， 故众数为14岁， 故选C ．
考点：1.众数；2.条形统计图． 5．A 【解析】
试题分析：由图可知∠C=，又∵BC//DE ，∴．故选A.
考点：平行线的性质、含锐角的直角三角形．
6．D 【解析】
试题分析：移项得，
；系数化为1得，
；在数轴上表示为空心向左．故选D.
考点：不等式的解法、用数轴表示不等式的解集． 7．A 【解析】
∵AB =AD , ∴∠ADB =∠B =70°. ∵AD =DC ，
∴1
2
C DAC ADB ∠=∠=∠=35°.
故选A. 8．C 【解析】
试题分析：此题考查整式的运算性质．根据单项式的除法，
，选项A 错误；
根据积和乘方，分别乘方，以及幂的乘方，底数不变，指数相乘，得：233236(3)3()27x x x =⋅=，
选项B 错误；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，得347a a a ⋅=，选项C 正确；根据二次根式的除法，被开方数相除，得，选项D 错误.故选C.
考点：整式的运算性质、二次根式的除法． 9．C 【分析】
首先设此多边形为n 边形，根据题意得：180（n-2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案． 【详解】
解：设此多边形为n 边形， 根据题意得：180（n-2）=540， 解得：n=5，
∴这个正多边形的每一个外角等于：3605
︒
=72°． 故选C ． 【点睛】
此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°． 10．D 【解析】
试题分析：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．由对称轴在
轴左侧，同号，所以， 正确；当
时，函数在轴上方，即
， 正
确；由于对称轴是直线，且抛物线过原点，所以抛物线与轴另一个交点为，
当
， 正确.故选D.
考点：二次函数的图象． 11．B 【分析】
作N 关于AB 的对称点N ′，连接MN ′，NN ′，ON ′，ON ，由两点之间线段最短可知MN ′与AB 的交点P ′即为△PMN 周长的最小时的点，根据N 是弧MB 的中点可知∠A=∠NOB=∠
MON=20°，故可得出∠MON′=60°，故△MON′为等边三角形，由此可得出结论．
【详解】
作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′，ON′，ON．
∵N关于AB的对称点N′，
∴MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点，
∵N是弧MB的中点，
∴∠A=∠NOB=∠MON=20°，
∴∠MON′=60°，
∴△MON′为等边三角形，
∴MN′=OM=4，
∴△PMN周长的最小值为4+1=5．
故选B．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题；圆周角定理．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
12．D
【解析】
试题分析：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解,解分式方程一定注意要验根．根据x与﹣x的大小关系，取x与﹣x中的最大值化简所求方程，求出解即可．当x＜﹣x，即x＜0时，所求方程变形得：﹣x=，去分母得：x2+2x+1=0，即x=﹣1；当x＞﹣x,即x＞0时，所求方程变形得：x=，即x2﹣2x=1，解得：x=1+或x=1﹣（舍去），经检验x=﹣1与x=1+都为分式方程的解．故选D.
考点：解分式方程，新定义． 13．．
【解析】
试题分析：观察发现两个式子有公因式，先提公因式．.故答案为
．
考点：提公因式法分解因式． 14．．
【解析】
试题分析：根据分式有意义，分母不能为0，据此求解．由题意，得，解得
．故
答案为
．
考点：分式有意义的条件． 15．
3
5
． 【详解】
根据概率的意义，在这5个标号中是奇数的有3个，分别为：1，3，5．所以取出的小球标号是奇数的概率是
35
. 故答案为
35
． 考点：概率． 16．45︒ 【分析】
先求出AED ∠的度数，即可求出AEC ∠. 【详解】
解：由题意可得，,90,60AD DC DE ADC EDC DEC ︒︒==∠=∠=∠=，
,150AD DE ADE ADC EDC ︒=∠=∠+∠=
180150152AED DAE ︒︒
︒-∴∠=∠==
45AEC CED AED ︒∴∠=∠-∠=
故答案为45
【点睛】
本题考查了等腰与等边三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，等边三角行的三条边都相等，三个角都相等，灵活应用等腰及等边三角形的性质是解题的关键.
17．．
【解析】
试题分析：此题主要考查了待定系数法求反比例函数，关键是根据菱形的性质求出B点坐标，即可算出反比例函数解析式.首先根据点A在双曲线y=（x＞0）上，设A点坐标为（a，），再利用含30°直角三角形的性质算出OA=2a，再利用菱形的性质进而得到B点坐标，即可求出k的值．因为点A在双曲线y=（x＞0）上，设A点坐标为（a，），因为四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，所以OA=2a，可得B点坐标为（3a，），可得：k=，故答案为
考点：菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
18．13．
【解析】
试题分析：序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A13表示的数为﹣17﹣3=﹣20，A12表示的数为16+3=19，则可判断点A n与原点的距离不小于20时，n的最小值是13．第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1﹣3=﹣2﹣2；第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为﹣2+6=4；第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4﹣9=﹣5；第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为﹣5+12=7；第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7﹣15=﹣8；…；则A7表示的数为﹣8﹣3=﹣11，A9表示的数为﹣11﹣3=﹣14，A11表示的数为﹣14﹣3=﹣17，A13表示的数为﹣17﹣3=﹣20，A6表示的数为7+3=10，A8表示的数为10+3=13，A10表示的数为13+3=16，A12表示的数为16+3=19，
所以点A n与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．故答案为13．
考点：规律型图形的变化,数轴．
19．2.
【解析】
试题分析：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用算术平方根定义计算即可得到结果．
试题解析：原式=1+1﹣2×1+2=2．
故答案为2.
考点：整式的混合运算、化简求值．
20．1.
【解析】
试题分析：本题考查了整式的混合运算﹣化简求值：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．先利用乘法公式展开，再合并得到原式=2x，然后把x=代入计算即可．
试题解析：原式=1﹣x2+x2+2x﹣1=2x，当x=时，原式=2×=1．
故答案为1.
考点：整式的混合运算，化简求值．
21．（1）如图；（2）线段BC旋转过程中所扫过得面积13
4
π
.
【分析】
(1)关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标不变，根据对称法则得出各点的对应点，然后得出三角形；
(2)根据旋转图形的性质得出各点的对应点，然后顺次连接，得到三角形.首先得出半径和旋转的角度，然后根据扇形的面积计算法则得出答案.
【详解】
(1)如图所示，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)如图所示，画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，
线段BC旋转过程中所扫过得面积S=901313
=
3604
ππ
⨯
．
考点：(1)旋转图形的性质；(2)轴对称图形的性质；(3)扇形的面积计算.
22．（1）50，18；（2）中位数落在51﹣56分数段；（3）2
3
．
【分析】
（1）利用C分数段所占比例以及其频数求出总数即可，进而得出m的值；（2）利用中位数的定义得出中位数的位置；
（3）利用列表或画树状图列举出所有的可能，再根据概率公式计算即可得解．【详解】
解：（1）由题意可得：全班学生人数：15÷30%=50（人）；
m=50﹣2﹣5﹣15﹣10=18（人）；
（2）∵全班学生人数：50人，
∴第25和第26个数据的平均数是中位数，
∴中位数落在51﹣56分数段；
（3）如图所示：
将男生分别标记为A1，A2，女生标记为B1
P（一男一女）==
．
63
【点睛】
本题考查列表法与树状图法，频数（率）分布表，扇形统计图，中位数．
23．（1）利用SAS证明；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意有一个角是直角的平行四边形是矩形，首先证得四边形ABCD是平行四边形是关键．（1）由在□ABCD中，AE=CF，可利用SAS判定△ADE≌△CBF．（2）由在▱ABCD中，且AE=CF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DEBF是平行四边形，又由∠DEB=90°，可证得四边形DEBF是矩形．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵AE=CF，∴BE=DF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠DEB=90°，∴四边形DEBF是矩形．
故答案为（1）利用SAS 证明；（2）证明见解析.
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．
24．（1）（40﹣2a）（60﹣2a）；（2）以通道的宽为5米；（3）当通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价最低为105920元．
【分析】
（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可；
（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的3
8
，列出方程进行计算即可；
（3）根据图象，设出通道和花圃的解析式，用待定系数法求解，再根据修建的通道和花圃的总造价为105920元列出关于a的方程，通过解方程求得a的值．
【详解】
（1）由图可知，花圃的面积为（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400．
（2）当通道所占面积是整个长方形空地面积的3
8
，即花圃所占面积是整个长方形空地面积
的5
8
，则4a2﹣200a+2400=60×40×
5
8
，
解方程得：a1=5，a2=45（不符合题意，舍去）
即此时通道宽为5米；
（3）当a=10时，花圃面积为（60﹣2×10）×（40﹣2×10）=800（平方米）即此时花圃面积最少为800（平方米）．
根据图象可设y1=mx，y2=kx+b，
将点（1200，48000），（800，48000），（1200，62000）代入，则有
1200m=48000，解得：m=40
∴y1=40x且有
80048000
{
120062000
k b
k b
+=
+=
，
解得：
35
{
20000 k
b
=
=
，
∴y2=35x+20000．
∵花圃面积为：（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400，
∴通道面积为：2400﹣（4a2﹣200a+2400）=﹣4a2+200a
∴35（4a2﹣200a+2400）+20000+40（﹣4a2+200a）=105920
解得a1=2，a2=48（舍去）．
答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元．【点睛】
考核知识点：一次函数，一元二次方程应用.
25．（1）证明见解析；（2）∠E=30°；（3）AD=.
【解析】
试题分析：（1）如图1，连接OC，AC，CG，由圆周角定理得到∠ABC=∠CBG，根据同圆的半径相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OCB=∠CBG，根据平行线的判定得到OC∥BG，即可得到结论；（2）由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到，，根据直角三角形的性质即可得到结论；（3）如图2，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD=3，DE=3，BE=6，在R t△DAH中，AD==
=．
试题解析：（1）证明：如图1，连接OC，AC，CG，
∵AC=CG，∴，∴∠ABC=∠CBG，
∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB=∠CBG，∴OC∥BG，
∵CD⊥BG，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵OC∥BD，∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，
∴，∴，
∵OA=OB，∴AE=OA=OB，∴OC=OE，
∵∠ECO=90°，∴∠E=30°；
（3）解：如图2，过A作AH⊥DE于H，
∵∠E=30°∴∠EBD=60°，∴∠CBD=EBD=30°，
∵CD=，∴BD=3，DE=3，BE=6，∴AE=BE=2，
∴AH=1，∴EH=，∴DH=2，
在R t△DAH中，AD===．
故答案为（1）证明见解析；（2）∠E=30°；（3）AD=.
考点：圆的综合题． 26．（1）2y x ，1A B x x ⋅=-；
（2）1A B x x ⋅=-为常数；（3）P （125
-，14
5） 【解析】
试题分析：（1）如图1，由AB 与x 轴平行，根据抛物线的对称性有AE=BE=1，由于∠AOB=90°，得到OE=AB=1，求出A （﹣1，1）、B （1，1），把x=1时，y=1代入y=ax 2得：a=1得到抛物线的解析式y=x 2
，A 、B 两点的横坐标的乘积为x A •x B =﹣1；（2）如图2，过A 作AM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N 得到∠AMO=∠BNO=90°，证出△AMO ∽△BON ，得到OM •ON=AM •BN ，设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），由于A （x A ，y A ），B （x B ，y B ）在y=x 2图象上，得到y A =
，y B =
，即可得
到结论；（3）设A （m ，m 2），B （n ，n 2）．作辅助线，证明△AEO ∽△OFB ，得到mn=﹣1．再联立直线m ：y=kx+b 与抛物线y=x 2的解析式，由根与系数关系得到：mn=﹣b ，所以b=1；由此得到OD 、CD 的长度，从而得到PD 的长度；作辅助线，构造Rt △PDG ，由勾股定理求出点P 的坐标．
试题解析：（1）如图1，∵AB 与x 轴平行，根据抛物线的对称性有AE=BE=1， ∵∠AOB=90°，∴OE=AB=1，∴A （﹣1，1）、B （1，1）， 把x=1时，y=1代入y=ax 2
得：a=1，∴抛物线的解析式y=x 2
， B 两点的横坐标的乘积为x A •x B =﹣1.
（2）x A•x B=﹣1为常数，如图2，过A作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，∴∠AMO=∠BNO=90°，∴∠MAO+∠AOM=∠AOM+∠BON=90°，∴∠MAO=∠BON，
∴△AMO∽△BON，∴，
∴OM•ON=AM•BN，
设A（x A，y A），B（x B，y B），
∵A（x A，y A），B（x B，y B）在y=x2图象上，∴，y A=，y B=，∴﹣x A•x B=y A•y B=•，∴x A•x B=﹣1为常数；
（3）设A（m，m2），B（n，n2），
如图3所示，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为E、F，则易证△AEO∽△OFB．
∴，即，整理得：mn（mn+1）=0，
∵mn≠0，∴mn+1=0，即mn=﹣1．
设直线AB的解析式为y=kx+b，联立，得：x2﹣kx﹣b=0．
∵m，n是方程的两个根，∴mn=﹣b．
∴b=1．
∵直线AB与y轴交于点D，则OD=1．
易知C（0，﹣2），OC=2，∴CD=OC+OD=3．
∵∠BPC=∠OCP，∴PD=CD=3．
设P（a，﹣2a﹣2），过点P作PG⊥y轴于点G，则PG=﹣a，GD=OG﹣OD=﹣2a﹣3．
在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG2+GD2=PD2，
即：（﹣a）2+（﹣2a﹣3）2=32，整理得：5a2+12a=0，
解得a=0（舍去）或a=﹣，
当a=﹣时，﹣2a﹣2=，
∴P（﹣，）．
故答案为（1）B两点的横坐标的乘积为x A•x B=﹣1；（2）x A•x B=﹣1为常数；（3）P（﹣，）.。