(完整版)2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(3)(文科数学含答案详解)

2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（3）
文科数学
本试题卷共5页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集，集合，，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，
，
∴，∴．选C．
2．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】由已知有，因为，所以在第三象限，所以，
，故表示的复数在复平面中位于第三象限，选C．
3．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空
出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为，则途中
直角三角形中较大锐角的正弦值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设小正方形的边长为，直角三角形的直角边分别为，，，由几何概型可得，解得，（舍），所以直角三角形边长分别为，，，直角三角形中较大锐角的正弦值为，选B．
4．下列命题中：
①“”是“”的充分不必要条件
②定义在上的偶函数最小值为5；
③命题“，都有”的否定是“，使得”
④已知函数的定义域为，则函数的定义域为．
正确命题的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】①或，所以“”是“”的充分不必要条件；
②因为为偶函数，所以，因为定义区间为，所以，因此
最小值为5；
③命题“，都有”的否定是“，使得”；
④由条件得，，；
因此正确命题的个数为①②④，选C．
5．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的，分别为（）
A ．90，86
B ．94，82
C ．98，78
D ．102，74
【答案】C 【解析】执行程序：，
，
；
，
，
；
，
，
；
，
，
，故输出的，分别为
，
．故选：C ．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】由三视图可知：该几何体由两部分构成，一部分侧放的四棱锥，一部分为四分之一
球体，∴该几何体的体积是
，故选：D ．
7．已知实数，满足：，则的最大值（ ）
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
【答案】D
【解析】根据不等式组画出可行域是封闭的四边形区域，对目标函数进行分类， 当
时，令
，
，这时可行域为直线
下方
的部分，当目标函数过点时有最大值．
当时，令，，这时可行域为直线上
方的部分，这时当目标函数过点时有最大值，代入得到最大值为．故答案为：D ．
8．设，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则
的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】将
的图象向右平移
个单位后对应的函数为
，∵函数
的图
象向右平移个单位后与原图象重合，所以有，即，又，
，故，故选A ．
9．已知函数
与其导函数的图象如图，则满足的的取值范围为
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】根据导函数与原函数的关系可知，当时，函数
单调递增，
当
时，函数单调递减，由图象可知： 当时，函数的图象在图象的下方，满足；
当
时，函数
的图象在
图象的下方，满足
； 2
22
2
2
正视图
侧视图
俯视图
所以满足的解集为
或，故选D ．
10．若正项递增等比数列
满足
，则
的最
小值为（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．4
【答案】D 【解析】因为
，所以
，
当且仅当
时取等号，即
的最小值为，选D ．
11．设正三棱锥的高为，且此棱锥的内切球的半径
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】取线段
中点，设
在底面
的射影为
，连接，
，设
，则
，设
，则正三棱锥的表面积
，
由体积得，，，，，
，，选D ．
12．已知
，若函数恰有三个零点，则下列结论正
确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】
，可知函数在区间单调递增，在单调递减，在单调递增，如下图，，，，令，则
，因为要有三个零点，∴
有解，设为，，由，根
据图象可得：当时，，，符合题意，此时，当时，可求得，不符合题意．综上所述，
，故选D ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．向量，满足，，与的夹角为，则________．
【答案】
【解析】由可得，即，代入可得
，整理可得，解得，故答案为．
14．抛物线
的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，
则
周长的最小值为____________． 【答案】
【解析】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于这点到准线的距离
，即
．所以周长
，填
．
15．在
中，内角，，
所对的边分别为
，，
，已知
，且
，则
面积的最大值为________．
【答案】
【解析】由已知有，，
(1)q >()g x 2t 1210t t =>12t t ≠124e t =222e 4
4e t =
>22214e +e 4k t t =+=12240,e t t ⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
12241e t t ==>
由于，，又，则，
，当且仅当时等号成立．
故面积的最大值为．
16．过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于(、分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长)．已知双曲线（）的左、右焦点分别为、，若点是双曲线上位于第四象限的任意一点，直线是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，于点，且的最小值为，则双曲线的通径
为__________．
【答案】
【解析】如图所示：连接，由双曲线的定义知
，，
当且仅当，，三点共线时取得最小值，此时，由到
直线的距离，
，由定义知通径等于，故答案为．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60分，每个试题12分．
17．设是数列的前项和，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，，
∴当时，，得；····1分
当时，，∴当时，，即，····3分
又，····4分∴是以为首项，为公比的等比数列．····5分
∴数列的通项公式为．····6分
（2）由（1）知，，····7分
，····8分
当为偶数时，；····10分当为奇数时，，
∴．····12分
18．2018年为我国改革开放40周年，某事业单位共有职工600人，其年龄与人数分布表如下：
年龄段
人数（单位：人）180********约定：此单位45岁~59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众．
（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？
（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事．完成下列列联表，并回答能否有的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？
热衷关心民生大事不热衷关心民生大事总计青年12
中年5
总计30
（3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞，3人擅长乐器）中，随机抽
取2人上台表演节目，则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少？
0.1000.0500.0250.0100.001
2.706
3.841 5.024 6.63510.828
．
【答案】（1），；（2）列联表见解析，没有的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关；（3）．
【解析】（1）抽出的青年观众为18人，中年观众12人····2分
（2）列联表如下：
热衷关心民生大事不热衷关心民生大事总计青年61218
中年7512
总计131730
····4分
，····6分
∴没有的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关．····7分
（3）热衷关心民生大事的青年观众有6人，记能胜任才艺表演的四人为，，，，其余两人记为，，则从中选两人，一共有如下15种情况：
，，，，，，，，，，，，，，，····10分
抽出的2人都能胜任才艺表演的有6种情况，····11分
所以．····12分
19．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，平面
平面，，，在棱上运动．
（1）当在何处时，平面；
（2）已知为的中点，与交于点，当平面时，求三棱锥的体积．
【答案】（1）当为中点时，平面；（2）．
【解析】（1）如图，设与相交于点，
当为的中点时，平面，····2分
证明∵四边形是菱形，可得：，
又∵为的中点，可得：，∴为的
中位线，····3分
可得，····4分
又∵平面，平面，∴平面．····6分
（2）为的中点，，则，又，
，且，又，．
．．····9分
又，点为的中点，
到平面的距离为．····11分
．····12分
20．在平面直角坐标系中，点，圆，点是圆上一动点，线段的中垂线与线段交于点．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若直线（斜率存在）与曲线相交于，两点，且存在点（其中，，不共线），使得被轴平分，证明：直线过定点．
B
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知，，圆的半径为，
依题意有：，····1分····3分故点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，即，，．
故点的轨迹的方程为．····5分
（2）令，，因，，不共线，故的斜率不为0，可令的方程为：，则由，得
则，①····7分
被轴平分，，
即，亦即②····8分
而代入②得：
③····9分
①代入③得：····10分
∵直线的斜率存在，∴，∴，此时的方程为：，过定点，综上所述，直线恒过定点．····12分
21．设函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，当时，，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）由题意得，．····1分
当时，当，；当时，；
∴在单调递减，在单调递增····2分
当时，令得，，
①当时，，；当时，；
当时，；
所以f(x )在，单调递增，在单调递减····3分
②当时，，所以在单调递增····4分
③当时，，；
当时，；当时，；
∴在，单调递增，在单调递减．····5分
（2）令，
有．····6分
令，有，
当时，，单调递增．
∴，即．····7分
①当，即时，，在单调递增，
，不等式恒成立····9分
②当，时，有一个解，设为根．
∴有，，单调递减；当时，；单调递增，有．∴当时，不恒成立；····11分综上所述，的取值范围是．····12分
l
（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按
所做第一题计分）
22．【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数，），将曲线经过伸缩变换：得到曲线．
（1）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，求的极坐标方程；
（2）若直线（为参数）与，相交于，两点，且，求的值．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）的普通方程为，
把，代入上述方程得，，
∴的方程为，令，，
所以的极坐标方程为；····5分
（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，
由，得，由，得，
所以，∴，
而，∴或．····10分
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数，．（1）当时，若的最小值为，求实数的值；
（2）当时，若不等式的解集包含，求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1）当时，，
因为的最小值为3，所以，解得或．····5分
（2）当时，即，
当时，，即，因为不等式的解集包含，所以且，
即，故实数的取值范围是．····10分。